java数据结构-8皇后问题和N 皇后问题
文章目录
- 第一题：8皇后问题
- 代码
- 第二题： N 皇后问题
- 代码与思路
- 代码1
- 代码２
第一题：8皇后问题
八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。
该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，
使其不能互相攻击，即：任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。
代码
package com.recursion;
public class Queue8 {
//定义一个max表示共有多少个皇后
int max = 8;
//定义数组array, 保存皇后放置位置的结果,比如 arr = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3}
int[] array = new int[max];
static int count = 0;
static int judgeCount = 0;
public static void main(String[] args) {
//测试一把 ， 8皇后是否正确
Queue8 queue8 = new Queue8();
queue8.check(0);
System.out.printf("一共有%d解法", count);
System.out.printf("一共判断冲突的次数%d次", judgeCount); // 1.5w
}
//编写一个方法，放置第n个皇后
//特别注意： check 是 每一次递归时，进入到check中都有 for(int i = 0; i < max; i++)，因此会有回溯
private void check(int n) {
if(n == max) { //n = 8 , 其实8个皇后就既然放好
print();
return;
}
//依次放入皇后，并判断是否冲突
for(int i = 0; i < max; i++) {
//先把当前这个皇后 n , 放到该行的第1列
array[n] = i;
//判断当放置第n个皇后到i列时，是否冲突
if(judge(n)) { // 不冲突
//接着放n+1个皇后,即开始递归
check(n+1); //
}
//如果冲突，就继续执行 array[n] = i; 即将第n个皇后，放置在本行得 后移的一个位置
}
}
//查看当我们放置第n个皇后, 就去检测该皇后是否和前面已经摆放的皇后冲突
/**
*
* @param n 表示第n个皇后
* @return
*/
private boolean judge(int n) {
judgeCount++;
for(int i = 0; i < n; i++) {
// 说明
//1. array[i] == array[n] 表示判断 第n个皇后是否和前面的n-1个皇后在同一列
//2. Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i]) 表示判断第n个皇后是否和第i皇后是否在同一斜线
// n = 1 放置第 2列 1 n = 1 array[1] = 1
// Math.abs(1-0) == 1 Math.abs(array[n] - array[i]) = Math.abs(1-0) = 1
//3. 判断是否在同一行, 没有必要，n 每次都在递增
if(array[i] == array[n] || Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i]) ) {
return false;
}
}
return true;
}
//写一个方法，可以将皇后摆放的位置输出
private void print() {
count++;
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
System.out.print(array[i] + " ");
}
System.out.println();
}
}
第二题： N 皇后问题
题目51
n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
示例：
输入：4
输出：[
[".Q..", // 解法 1
"...Q",
"Q...",
"..Q."],
["..Q.", // 解法 2
"Q...",
"...Q",
".Q.."]
]
解释: 4 皇后问题存在两个不同的解法。
代码与思路
官方题解
N皇后问题与8皇后问题不同的是，N皇后问题的棋盘是变化的！这一点要注意。
基于集合的回溯
代码1
class Solution {
public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
List<List<String>> solutions = new ArrayList<List<String>>();
int[] queens = new int[n];//index表示第几行,index对应的数字表示第几列
Arrays.fill(queens, -1);//填充为-1
Set<Integer> columns = new HashSet<Integer>();//列集合
Set<Integer> diagonals1 = new HashSet<Integer>();//斜线为从左上到右下方向
Set<Integer> diagonals2 = new HashSet<Integer>();//斜线为从右上到左下方向
backtrack(solutions, queens, n, 0, columns, diagonals1, diagonals2);
return solutions;
}
public void backtrack(List<List<String>> solutions, int[] queens, int n, int row,
Set<Integer> columns, Set<Integer> diagonals1, Set<Integer> diagonals2) {
if (row == n) {//N皇后问题,有几个皇后就有几行,注意不是8皇后问题
List<String> board = generateBoard(queens, n);//返回字符串的集合
solutions.add(board);//添加到结果中
} else {
for (int i = 0; i < n; i++) {
//判断当前列是否被占用,比较简单
if (columns.contains(i)) {
continue;
}
//非常巧妙的方法,在o(1)时间复杂度内判断一个位置是否可以放置皇后
int diagonal1 = row - i;
if (diagonals1.contains(diagonal1)) {
continue;
}
//非常巧妙的方法，要记住!
int diagonal2 = row + i;
if (diagonals2.contains(diagonal2)) {
continue;
}
queens[row] = i;//row表示行,0,1,2,...,字母i表示在当前行中的位置
columns.add(i);//将当前列占用
diagonals1.add(diagonal1);//将当前斜线占用
diagonals2.add(diagonal2);//将当前斜线占用
//继续下一行
backtrack(solutions, queens, n, row + 1, columns, diagonals1, diagonals2);
//下面这四行我也不太看得懂!
queens[row] = -1;
columns.remove(i);
diagonals1.remove(diagonal1);
diagonals2.remove(diagonal2);
}
}
}
//玩转字符串,也很重要
public List<String> generateBoard(int[] queens, int n) {
List<String> board = new ArrayList<String>();
for (int i = 0; i < n; i++) {
char[] row = new char[n];
Arrays.fill(row, '.');
row[queens[i]] = 'Q';
board.add(new String(row));
}
return board;
}
}
代码２
class Solution {
public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
// 这个数组用于记录每行中皇后所在的位置
int[] queens=new int[n];
// 官方在这里用-1填充queens数组，但是和下面的状态重置一样，没有必要
// Arrays.fill(queens,-1);
List<List<String>> results=new ArrayList<>();
solveNQueens(results,queens,n,0,0,0,0);
return results;
}
/**
* int n：总行数
* int row：当前行数
* int columns：不可选的列
* int diagonals1：不可选的左斜边
* int diagonals2：不可选的右斜边
*/
public void solveNQueens(List<List<String>> results,int[] queens,int n,int row,int columns,int diagonals1,int diagonals2){
// 如果能到达这一步，说明搜索已经到底了，我们已经记录下了一个可行的方案
if(row==n){
// 直接生成一个结果，并放入结果集中
results.add(generateString(queens));
// 方法终止
return;
}
// 1<<n-1 是为了转化一个长度为n的，每位上都是1的二进制数，用于定位可以放置皇后的位置
// 这里用于定位所有可选的位置，这里有一步取反，千万不要忽视了！
// 上面我们用 1 表示不可选的位置，但是这里我们取反后，用1表示可选的位置
int availableLocations=((1<<n)-1)&(~(columns|diagonals1|diagonals2));
// 我们通过下面的操作来保持之前所有的行对下一行的影响
// 左斜边因为下降了一行需要左移一位
diagonals1<<=1;
// 右斜边因为下降了一行需要右移一位
diagonals2>>=1;
// 开始检查每个可选的位置
while(availableLocations!=0){
// 定位最后一个1的位置，这个操作可以自己手写验证一下（不要忘了把负数转成补码）
// 这个定位的意思是，生成的这个二进制数只有最后一个1还为1，其他位都变成了0
int position=availableLocations&(-1*availableLocations);
// 这个方法是统计一个二进制数中所有的“1”的个数
int columnNum=Integer.bitCount(position-1);
// 将这个位置添加到记录数组中
queens[row]=columnNum;
// 将这一位从可选取的位中移除
// 减1把最后一个1拆成后面的多个1，再经过一次与操作把这些多出来的1全部清除
availableLocations=availableLocations&(availableLocations-1);
// 沿着这个位置向下搜索，可选行和可选列的直接在参数上变化即可，这样就不需要手动重置状态了
solveNQueens(results,queens,n,row+1,columns|position,diagonals1|position<<1,diagonals2|position>>1);
// 官方在这里曾经重置过数组queens的状态，但实际上没这个必要，每次循环上一次的结果都会被覆盖
// queens[row]=-1;
}
}
// 生成字符串
public List<String> generateString(int[] queens){
List<String> result=new ArrayList<>();
for(int i:queens){
char[] chars=new char[queens.length];
Arrays.fill(chars,'.');
chars[i]='Q';
result.add(String.valueOf(chars));
}
return result;
}
}
转自_xiayilive