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BZOJ2303: [Apio2011]方格染色

news 来源：原创 2024/5/4 19:10:02

2303: [Apio2011]方格染色

Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 256 MB
Submit: 1927 Solved: 744
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Description

Sam和他的妹妹Sara有一个包含n × m个方格的
表格。她们想要将其的每个方格都染成红色或蓝色。
出于个人喜好，他们想要表格中每个2 × 2的方形区
域都包含奇数个（1 个或 3 个）红色方格。例如，右
图是一个合法的表格染色方案（在打印稿中，深色代
表蓝色，浅色代表红色）。
可是昨天晚上，有人已经给表格中的一些方格染上了颜色！现在Sam和Sara
非常生气。不过，他们想要知道是否可能给剩下的方格染上颜色，使得整个表格
仍然满足她们的要求。如果可能的话，满足他们要求的染色方案数有多少呢？

Input

输入的第一行包含三个整数n, m和k，分别代表表格的行数、列数和已被染
色的方格数目。
之后的k行描述已被染色的方格。其中第 i行包含三个整数xi, yi和ci，分别
代表第 i 个已被染色的方格的行编号、列编号和颜色。ci为 1 表示方格被染成红
色，ci为 0表示方格被染成蓝色。

Output

输出一个整数，表示可能的染色方案数目 W 模 10^9得到的值。（也就是说，如果 W大于等于10^9，则输出 W被10^9除所得的余数）。

对于所有的测试数据，2 ≤ n, m ≤ 106
，0 ≤ k ≤ 10^6
，1 ≤ xi ≤ n，1 ≤ yi ≤ m。

Sample Input

3 4 3
2 2 1
1 2 0
2 3 1

Sample Output

HINT

数据为国内数据+国际数据+修正版

鸣谢GYZ

Source

【题解】

最近总是犯一些蠢到极点的错误。

不（非常）难得到g[1][1] ^ g[i][1] ^ g[1][j] ^ g[i][j] = [i mod 2 == 0 && j mod 2 == 0]

不（非常）难发现确定了第一列和第一行就确定了整个表格

于是我们可以枚举g]1][1]的状态，通过已知g[i][j]来判断g[1][j]和g[i][1]是否相等，这样形成了

若干组有且仅有两个选项的约束关系(自己与自己绑在一组也是)，答案就是2^(num-1),因为1已经确定了

用加权并查集来维护某个元素与其父亲节点是否相等，0为相等，1为不等

合并时先find两个元素，使之在两代表元素的下面，然后根据关系合并

相等^相等=相等

不等^不等=相等

相等^不等=不等

是很好用的性质

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <cstdlib>
 5 #include <queue>
 6 #include <vector>
 7 #define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
 8 #define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
 9 
10 inline void read(long long &x)
11 {
12     x = 0;char ch = getchar(), c = ch;
13     while(ch < '0' || ch > '9')c = ch, ch = getchar();
14     while(ch <= '9' && ch >= '0')x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
15     if(c == '-')x = -x;
16 }
17 
18 const long long MAXN = 1000000 + 10;
19 const long long MAXM = 1000000 + 10;
20 const long long MAXK = 1000000 + 10;
21 const long long MOD = 1000000000; 
22 
23 long long n,m,ans1,ans2,k;
24 long long x[MAXK], y[MAXK], color[MAXK];
25 long long fa[MAXK << 1], w[MAXK << 1], ok;
26 
27 //0相等，1不等 
28 long long find(long long x)
29 {
30     if(x == fa[x])return x;
31     int f = find(fa[x]);
32     w[x] ^= w[fa[x]];
33     fa[x] = f;
34     return f;
35 }
36 
37 long long pow(long long a, long long b)
38 {
39     long long r = 1, base = a % MOD;
40     for(;b;b >>= 1)
41     {
42         if(b & 1) r *= base, r %= MOD; 
43         base *= base, base %= MOD;
44     }
45     return r % MOD;
46 }
47 
48 long long solution()
49 { 
50     for(register long long i = n + m + 10;i >= 1;-- i)fa[i] = i, w[i] = 0;
51     fa[n + 1] = 1;
52     register long long tmp,f1,f2,now = 0,a;
53     for(register long long i = 1;i <= k;++ i)
54     {
55         if(x[i] == 1 && y[i] == 1)continue;
56         if((x[i] & 1) || (y[i] & 1)) tmp = 0;
57         else tmp = 1;
58         tmp ^= (0 ^ color[i]);
59         f1 = find(x[i]), f2 = find(y[i] + n);
60         a = w[x[i]] ^ w[y[i] + n] ^ tmp;
61         if(f1 == f2 && a)return 0;
62         fa[f2] = f1, w[f2] = a;
63     }
64     for(register long long i = n + m;i >= 1;-- i)
65         if(fa[i] == i)++ now;
66     return pow(2, now - 1);
67 }
68 
69 int main()
70 {
71     read(n), read(m), read(k);
72     for(register long long i = 1;i <= k;++ i)
73     {
74         read(x[i]), read(y[i]), read(color[i]);
75         if(x[i] == 1 && y[i] == 1) 
76             if(!color[i]) ok = 1;
77             else ok = 2;
78     }
79     ans1 = solution();
80     for(register long long i = 1;i <= k;++ i) color[i] ^= 1;
81     ans2 = solution();
82     if(ok == 1) ans2 = 0;
83     if(ok == 2) ans1 = 0; 
84     printf("%lld", (ans1 + ans2) % MOD);
85     return 0;
86 }