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最小生成树的常用算法模板

news 来源：原创 2024/5/18 20:24:21

生成树：有原图中的所有n个点，但只有n-1条边，且任意两个点能连通，不能有环
最小生成树：边权值之和最小的生成树

1、所有最小生成树算法

最小生成树问题一般都使用无向图，基本不会遇到有向图的问题。
在这里插入图片描述

2、朴素版 Prim 算法

稠密图就用Prim算法。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;

int g[N][N];
int n, m;
int dist[N];
bool st[N];

int prim()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;
        
        if (i && dist[t] == INF) return INF;
        if (i) res += dist[t];		// 注意更新 res 的位置，一定要在更新 dist 数组之前。若先更新dist，可能存在边权更小的自环，导致 dist[t] 被自环更新
        
        for (int j = 1; j <= n; j++) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
        
        st[t] = true;
    }
    return res;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    memset(g, 0x3f, sizeof g);
    
    while (m--)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        g[b][a] = g[a][b] = min(g[a][b], c);
    }
    
    int t = prim();
    
    if (t == INF) cout << "impossible" << endl;
    else cout << t << endl;
    
    return 0;
}

3、克鲁斯卡尔算法（Kruskal）

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 200010;

int n, m;
int p[N];

struct Edge
{
    int a, b, w;
    
    bool operator<(const Edge& W) const
    {
        return w < W.w;
    }
}edges[N];

int find(int x)
{
    if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        edges[i] = {a, b, c};
    }
    
    sort(edges, edges + m);
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
    
    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
        
        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b)
        {
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt++;
        }
    }
    
    if (cnt < n - 1) cout << "impossible" << endl;
    else cout << res << endl;
    
    return 0;
}