人工智能数学基础6：极限、极限运算、ε-δ语言、ε-N语言、级数和函数连续性

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一、极限的定义及四则运算

1. 极限：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”

2. ε-δ（epsilon-delta）语言：epsilon-delta语言是用来描述函数极限的语言，其描述如下：
   对于任意ε＞0，存在δ＞0，当0＜丨x-x0丨＜δ时，有丨f(x)-L丨＜ε。即x无限靠近x0时则函数f（x）的极限为L，记为：
   

3. ε-N语言：用于描述数列的极限，其描述如下：
   所谓xn→x，就是指：“如果对任何ε>0，总存在自然数N，使得当n>N时，不等式|xn-x|<ε恒成立”。
   

4. 极限的四则运算
   两个存在极限的函数，两个函数的和差积商的极限是两个函数各自极限的和差积商（分母不为0）。同样的结论适用于数列极限。
   

5. 无穷小的运算

         定理1：两个无穷小的和是无穷小；有限个无穷小的和也是无穷小；
         定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积是无穷小。

6. 极限的复合运算
   

7. 等价无穷小
   定义：设当x一>x0 时， f(x)和g(x) 均为无穷小量。若 limf(x)/g(x)=1，则称 f(x)和g(x) 是等价无穷小量，记作 f(x)~g(x) （x一>x0）。

当α为实数时：

定理： 如果f(x)≥g(x)，而limf(x)=A，limg(x)=B，那么A≥B。

8. 需要熟记的几个函数极限
   ※ limC = C，C为常数
   ※ limCf(x) = Clim f(x)，C为常数
   
   ※ 假设a为u(x)的极限大于0且不等于1，b为v(x)的极限，则
   

二、级数

1. 级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数，级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系──函数；
2. 级数是指将数列Un的项U1、U2 ，…，Un，…依次用加号连接起来的函数，是数项级数的简称。这些项的和简写为ΣUn，Un称为级数的通项。如果当n→∞ 时 ，数列Un有极限,则说级数收敛，并以 S为其和，记为 ΣUn= S；否则就说级数发散。
3. 级数1/n是发散的，级数n的a次方（a为大于1的整数）之一（即通项的分母是n的a次方）是收敛的 ；
4. 在n和a为大于1的整数情况下，下来通项对应的级数的大小及收敛、发散性排列如下：
   

上图红线左边的级数是收敛的，右边的级数是发散的，当然红线两边的级数之间还可以在两区插入更多符合条件的级数。

三、函数的连续性

3.1、定义

连续的定义1：
设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果：

那么称函数f（x）在点x0连续。

连续的定义2：
定义1与下述定义等价：
设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果

那么称函数f（x）在点x0连续。用‘ε-δ’语言表示如下：
f(x)在点x0连续等价于∀ε>0，∃δ>0，当|x-x0|<δ时，有|f(x)-f(x0)|<ε。

左连续的定义：
如果x—>x0^-时lim f(x)=f(x0^-)存在且等于f(x0)，即
f(x0^-)=f(x0)，
那么就说函数f(x)在点x0左连续。

右连续的定义：
如果x—>x0⁺时limf(x)=f(x0⁺)存在且等于f(x0)，即
f(x0⁺)=f(x0)，
那么就说函数f(x)在点x0右连续。

区间连续的定义：
如果在区间的每点都连续的函数，叫做该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。

区间连续的定义：
如果在区间的每点都连续的函数，叫做该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。

一致连续性：闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。
所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间I上任意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在I上是一致连续的。

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么它在该区间上一致连续。

一切初等函数在定义域上都是连续的。
注：初等函数是由幂函数（power function）、指数函数（exponential function）、对数函数（logarithmic function）、三角函数（trigonometric function）、反三角函数（inverse trigonometric function）与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。

3.2、间断点

3.2.1、定义

设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，在此前提下，如果函数f(x)有下列三种情形之一:
(1)在x=x0没有定义；
(2)虽在x=x0有定义，但x—>x0时lim f(x)不存在；
(3)虽在x=x0有定义，且x—>x0时lim f(x)存在，但x—>x0时limf(x)≠f(x0)

那么函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点。

3.2.2、间断点类型：

x0为函数f(x) 的间断点，则间断点有如下类型：

1. 如果x—>x0时limf(x)为无穷大，则称x0为函数的无穷间断点；
2. 如果x—>x0时f(x)的值反复振荡变化，则称x0为函数的振荡间断点；
3. 如果函数f(x)在x0除没有定义，如果补充定义在该点的函数值且与x—>x0时f(x)的值不相等，则称x0为可去间断点；
4. 如果函数在x0处存在左极限和右极限，但二者不相等，则称x0为函数的跳跃间断点。

以上间断点类型中，如果x0为间断点且函数在x0处存在左极限和右极限，则称x0为第一类间断点，其中左右极限相等的间断点则为可去间断点，不等则为跳跃间断点，其他间断点称为第二类间断点。

3.3、连续函数法则

• 定理一 在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数
• 定理二 连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）
• 定理三 连续函数的复合函数是连续的
• 反函数连续性：如果函数f在其定义域D上严格单调且连续，那么其反函数g也在其定义域f(D)（即f的值域）上严格单调且连续
• 定理四 设函数y=f[g(x)]由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，
  

3.4、重要特性

1. 有界性：闭区间上的连续函数在该区间上一定有界，所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M
2. 最值性：闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值，所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。
3. 介值性：若f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。则对A、B之间的任意实数C，在开区间(a,b)上至少有一点c，使f( c )=C。它包含了两种特殊情况：
   （1）零点定理。
   也就是当f(x)在两端点处的函数值A、B异号时（此时有0在A和B之间），在开区间(a,b)上必存在至少一点ξ，使f(ξ)=0。
   （2）闭区间上的连续函数在该区间上必定取得最大值和最小值之间的一切数值。
4. 一致连续性：闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。
   所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间I上任意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在I上是一致连续的。
5. 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么它在该区间上一致连续

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