前言

本文是B站《算法导论》MIT公开课的随课笔记，关于内容和笔记格式有问题的朋友欢迎私信交流~
部分内容是阅读《算法导论》原著之后进行的补充

分治法和增量方法等均属于算法设计的方法
分治法的优点之一就是可以利用递归式复杂度分析方法，确定算法运行的时间。

一.基础概念

1. 分治法的适用条件
   对于很多在结构上呈现递归的算法，通常采用分治策略。

递归：为了解决一个给定的问题，算法要一次或多次地递归调用其自身来解决相关的子问题。

2. 分治策略的基本思想
   将原问题划分成n个规模较小而结构与原问题相似的子问题；
   递归地解决这些子问题，再合并其结果，就得到原问题的解。

3. 分治模式及其应用

①分治模式在每一层递归上的三个步骤

【分解】：将原问题分解成一系列子问题
【解决】：递归地解决各个子问题；若子问题足够小，可以直接求解
【合并】：将子问题的结果合并成原问题的解

②分治法的应用——归并排序（merge sort）

<归并排序的模式>

【分解】：将n个元素分成各含n/2个元素的子序列
【解决】：用归并排序对两个子序列递归地排序
【合并】：合并两个已排序好的子序列就可以得到排序结果

在对子序列进行排序的过程中，长度为1则递归结束；单个元素被视为是已经排序好的。

<归并排序的分析>

在归并排序中最重要的步骤是【合并】，即将两个有序表合并成一个有序表，为此引入了一个辅助过程merge(A,p,q,r).

<归并的伪码表示>

• 核心思想就是维护两个指针，顺次比较两个有序数组中的元素，将较小的元素放到最终的数组中，再移动指针，直到所有的元素都已经被复制到新的数组中去了。
• 
• 在上述伪码表示，巧妙地引用了哨兵元素（∞），将两个有序数组的末尾都插入一个哨兵元素，可以避免对数组是否为空进行查询判断、防止越界。

<归并的复杂度分析>

因为我们预先知道只有r-p+1个元素会被放到输出堆中去，因此一旦执行了r-p+1个基本步骤后，算法就停止了。

<归并排序的总步骤>
递归地将当前排序任务划分成两个子任务，再进行有序合并。

二.算法分析

1. 归并排序的递归式表达
   
2. 递归式复杂度分析

①主定理套用规则

如上图递归式的表达式，该递归式符合主定理应用的第二种情况。
其中k=0，所以可以得到最后T(n)的复杂度就是线性对数级别的。

②递归树分析法

三.常见的分治算法

1. 二分查找（binary search）

①算法思路

【分解】：将当前元素和有序数组的中间元素进行比较
【解决】：如果x大于中间元素，在右半边数组中递归查找；如果x小于中间元素，在左半边数组中递归查找；如果x等于中间元素，递归结束。
【合并】：无计算量

②复杂度递归表示

T(n) = T(n/2) + θ(1） = O(logn)

2. 乘方问题

①问题描述

给定一个实数x和一个整数n，求解乘方xⁿ的数值

②一般思路

所谓乘方就是连乘，求解xⁿ，就需要对x连乘n或n-1次，问题复杂度为O(n)

③分治策略

我们希望利用分治策略，能够在非线性时间内解决乘方问题。

<思想雏形>
xⁿ = x^n/2 * x^n/2，先不考虑一些细节问题

将指数n采用分治进行分解，好处在于分解出的子问题规模复杂度减半了，且得到的两个子问题是完全一致的，相当于我们将一个规模为n的问题分解成一个规模为n/2的问题，再加上常数级别的乘法运算量。

<分治模型>
xⁿ = x^n/2 * x^n/2 ，if n 为偶数
xⁿ = x^(n-1)/2 * x^(n-1)/2 * x ，if n 为奇数

<复杂度分析>

T(n) = T(n/2) + θ(1) = O(logn)

3. 斐波那契数（Fibonacci numbers）

①定义

②递归算法及复杂度分析

int Fibonacci(int n){
    if(n == 0)
        return 0;
    if(n == 1)
        return 1;
    return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
    }

所谓递归算法，就是每次计算Fn的时候，就会依次调用Fn-1,Fn-2,…

复杂度分析，直觉来看，每次递归的时候会将原问题转换成一个规模变化不太大的子问题，所以定性分析认为复杂度呈指数级增长。
算法复杂度为Ω（φⁿ）,其中φ = （1+根号2）/ 5

在算法分析设计中，我们更加倾向于多项式复杂度的算法，而非指数级增长的算法。

③自下而上/动态规划算法

const int maxn = 105;
int Fibonacci(int n){
    int dp[maxn];
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 1;
    for(int i = 2;i<=n;i++){
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
    return dp[n];
    }

很显然，在这样的动态规划思想下（当前问题的解收到前几个子问题的解的影响），时间复杂度为O(n)，也就是线性复杂度。

优化：当然空间复杂度还可以继续优化，因为每一次问题的解只收到前两个问题状态的解的影响，所以可以只保留两个临时变量进行动态迭代。
这样空间复杂度就从线性变成常数级别。

④logn时间算法

利用一种特殊的矩阵结构，可以将斐波那契数列的求解问题转换成logn的时间复杂度下的矩阵幂乘问题。

证明：
【方法论】对于这样结构的结论，我们常常使用数学归纳法进行证明。

进行归纳时核心还是使用了斐波那契数列的定义式，当n≥2的时候，有Fn = Fn-1 + Fn-2 成立

4. 矩阵乘法问题

（1）问题描述

输入：A = [aij]，B = [bij]；i,j = 1,2,…,n

输出：C = [cij] = A·B
其中，根据矩阵的乘法运算，cij = Σaik·bkj

（2）问题求解

①标准算法 O(n³)

按照矩阵乘法的定义，矩阵的每一个i行j列的元素，都是矩阵A的第i行元素和矩阵B的第j列的元素做相应的点乘运算的结果。

第一层和第二层循环控制A中的行和B中的列；

第三层循环控制向量点乘运算时选取的每个分量元素。

void matrix_multiple(int a[],int b[],int& c[]){
    for(int i = 1;i<=n;i++){
        for(int j = 1;j<=n;j++){
            c[i][j] = 0;
            for(int k = 1;k<=n;k++){
                c[i][j] += a[i][k]*b[k][j];
            }
        }
    }
}

②分治算法1

将分治法引入到矩阵求解的问题中来，分治法的常用思路就是将一个规模为n的问题分割为规模为n/2的两部分。

那么对于一个nxn的矩阵乘法问题，我们希望把它分解成一个n/2 x n/2 的子矩阵相乘的问题，从而引出分块矩阵的乘积。

按照分块矩阵的定义以及运算规则，就有
r = ae + bg；s = af+bh；t = ce + dg；u = cf + dh

根据分块矩阵的运算规律，就可以得到完成一次矩阵乘法需要8次递归的矩阵乘法以及四次矩阵的加法运算，矩阵的加法运算是平方级别的。

T(n) = 8T(n/2) + θ(n)
根据这个复杂度的递推公式，由主方法的结论，最后这个算法的复杂度依然为立方级别。

③分治算法2----斯特拉森算法

核心思路：对于上面的递归式T(n) = 8T(n/2) + θ(n)，我们希望尽可能减少乘法的次数

构造了7个多项式，每个多项式都只进行了一次乘法和常数次加减法，所以每个多项式运算的复杂度是基本一致的。
保持矩阵的乘法及其分块不变：
P1 = a*（f-h）
P2 = （a+b）* h
P3 = (c+d) * e
P4 = d * (g-e)
P5 = (a+d) * (e+h)
P6 = (b-d) * (g+h)
P7 = (a-c) * (e + f)

然后我们的结果矩阵的四个分块就可以由上述矩阵多项式进行表示
r = P5+P4-P2+P6
s = P1 + P2
t = P3+p4
u = P5+P1-P3-P7

算法思路

【分解】：将用于计算的两个矩阵A和B进行分块；计算一些和运算，比如说(f-h),(c+d)等------θ(n²)
【解决】：分别递归地处理乘积，得到P1，P2，…，P7
【合并】：根据Pi（i=1-7）的组合得到结果矩阵的各个分块r,s,t,u。-------θ(n²)

复杂度分析
T(n) = 7T(n/2) + θ(n²)
根据主方法的结论，最后得到的算法复杂度复杂度大约是θ(n^2.81)的水平，可以看出该复杂度是多项式地小于立方级别。

后记

1. 视频该一节中最后还有一个关于集成电路布局的算法设计，很有意思，而且也可以把分治法、主方法判断复杂度串联起来，也可以学会一种算法优化的思路，因为牵扯到很多作图（因为懒），笔者没有把这一部分笔记整理了，有兴趣的同学可以直接看原视频的讲解。
   算法导论-MIT-分治法

2. 建议在看那些案例讲解之前一定要先把主方法给弄懂，至少要记住相关结论。