数理统计（一）-期望和方差
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关键词：期望 ，方差，表达符号
1.期望的由来：
假若通俗的讲概率P是对每一个可能发生事件的描述，那么他是存在一定的缺陷的，因为他无法整体（指的是所有事件）的事件发生的情况进行公平衡量。因此我们需要引入一个新的衡量制度---期望
什么是期望
在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。换句话说，期望是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。需要注意的是，期望并不一定等同于常识中的“期望”。“期望”也许与每一个结果都不相等。
例子：掷一枚六面筛子，其点数的期望是3.5，计算方式如下：
对于掷筛子来讲，我每次投掷骰子可能最后得到的结果值是3.5（此处和实际情况有所偏离，因为骰子数为整数，此处仅为一个估计值，也可以看为每投一次最终得到的数值为3&4的可能性比较大）
总结：期望是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。
期望的计算公式
期望和均值有些类似，甚至计算方式也类似，但它描述的是概率分布。为了求出期望，需要将每个数值x乘以该数值的发生概率，然后将所有结果求和。
下图是一张拉老虎机的结果概率图，x表示赢钱的数量，P(X=x)表示概率（每一类事件发生的概率均不一样）：
E(X) = (-1*0.977) + (4*0.008) + (9*0.008) + (14*0.006) + (19*0.001) = -0.77
这个结果表示：你能够期望在每一局赔掉0.77元。（也可以通俗的讲你每次赔钱的数值为0.77）
期望指出一个变量的典型值或平均值，但并不提供有关数值分散性的任何信息，也就是说期望并不能反映一个变量未来的变化情况。一个游戏者玩老虎机，并不是为了每一局游戏输掉0.77元，他更希望的是能有好运气赢得更多的钱。这个时候方差就起作用了。
2.方差的由来：每个数值与平均值间距离大小（均为正数）
Var(x) =E[(x-μ)^2]=E[(x-_x_)^2]
=∑{[(x-μ)^2]*P(X)}(此处推导见：)
其中μ是期望E(x)的另外一种写法。E(x)=μ
接着上面老虎机收益的例子，求出老虎机收益的方差如下：
Var(x) =E(x-μ)2
= (-1+0.77)2 * 0.977 + (4+0.77)2*0.008 + (9+0.77)2*0.008 + (14+0.77)2*0.006)+ (19+0.77)2*0.001
= 2.6971
标准差是取方差的平方根，计算公式如下：
标准差的计算公式
变化的期望和方差
如果上面拉老虎机的规则变化了，赌资增加了，变化后的结果概率图如下：
计算可得出：
E(Y) = -0.85, Var(Y) = 67.4275
通过前后两次期望、方差的对比，可以发现它们之间的如下关系：
E(Y) = 5 * E(X) + 3,
Var (Y) = 5*5* Var(X)
新旧期望、方差如果基础概率保持不变，那么它们之间必定存在以下关系：
这就是所谓的线性变化，因为X发生的是线性变化，即基础概率保持不变，但数值变为新值，其形式为：aX + b。
独立观测值
如果老虎机的游戏规则保持不变，但游戏者同时玩多个老虎机，并且每个老虎机的期望、方差都分别为E(x)、Var(x)。这时每个老虎机的随机变量值都是一个随机变量值，表示为x1,x2,...xn。这时，期望、方差存在以下关系：
