【线性代数基础进阶】特征值和特征向量-补充+练习
文章目录
- 特征值、特征向量
- 相似矩阵
- 施密特正交化
特征值、特征向量
定义：设
A
=
(
a
i
j
)
A=(a_{ij})
A=(aij)为一个
n
n
n阶矩阵，则行列式
∣
λ
E
−
A
∣
=
∣
λ
−
a
11
−
a
12
⋯
−
a
1
n
−
a
21
λ
−
a
22
⋯
−
a
2
n
⋮
⋮
⋮
−
a
n
1
−
a
n
2
⋯
λ
−
a
n
n
∣
|\lambda E-A|=\begin{vmatrix} \lambda-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda-a_{nn} \end{vmatrix}
∣λE−A∣=∣
∣λ−a11−a21⋮−an1−a12λ−a22⋮−an2⋯⋯⋯−a1n−a2n⋮λ−ann∣
∣
称为矩阵
A
A
A的特征多项式，
∣
λ
E
−
A
∣
=
0
|\lambda E-A|=0
∣λE−A∣=0称为
A
A
A的特征方程
当特征值是二重根时，有可能只有一个线性无关的特征向量，也有可能有两个线性无关的特征向量，这一点在后面的相似对角化问题上是重要的
再解释一下之前的例题
例：
A
A
A为
3
3
3阶矩阵，特征值是
−
1
,
0
,
4
-1,0,4
−1,0,4，如果
A
+
B
=
2
E
A+B=2E
A+B=2E，则
B
B
B的特征值为（）
由于
A
A
A的特征值是
−
1
,
0
,
4
-1,0,4
−1,0,4，则有
∣
λ
1
E
−
A
∣
=
0
的解为
λ
1
=
−
1
,
0
,
4
|\lambda_{1} E-A|=0的解为 \lambda_{1}=-1,0,4
∣λ1E−A∣=0的解为λ1=−1,0,4
因此对于
B
B
B，有特征方程
∣
λ
2
E
−
B
∣
=
0
∣
λ
2
E
−
2
E
+
A
∣
=
0
∣
A
−
(
2
−
λ
2
)
E
∣
=
0
\begin{aligned} |\lambda_{2} E-B|&=0\\ |\lambda_{2} E-2E+A|&=0\\ |A-(2-\lambda_{2})E|&=0\\ \end{aligned}
∣λ2E−B∣∣λ2E−2E+A∣∣A−(2−λ2)E∣=0=0=0
注意 ∣ λ E − A ∣ = 0 |\lambda E-A|=0 ∣λE−A∣=0和 ∣ A − λ E ∣ = 0 |A-\lambda E|=0 ∣A−λE∣=0的解是相同的，只是由定义 A α = λ α A \alpha=\lambda \alpha Aα=λα移项方向不同导致的
都看做
A
A
A的特征方程，则有
λ
1
=
2
−
λ
2
\lambda_{1}=2-\lambda_{2}
λ1=2−λ2
因此
λ
2
=
3
,
2
,
−
2
\lambda_{2}=3,2,-2
λ2=3,2,−2，即
B
B
B的特征值为
3
,
2
,
−
2
3,2,-2
3,2,−2
如果一个矩阵可逆，则特征值全都不为 0 0 0，若有一个为 0 0 0则矩阵不可逆
依据： ∣ A ∣ = ∏ λ i |A|=\prod \lambda_{i} ∣A∣=∏λi
例：已知三阶矩阵 A A A的特征值是 1 , − 1 , 2 1,-1,2 1,−1,2，证明 A + E A+E A+E不可逆， A + 2 E A+2E A+2E可逆
A
A
A的特征值是
1
,
−
1
,
−
2
1,-1,-2
1,−1,−2，可知
A
+
E
A+E
A+E的特征值为
2
,
0
,
3
2,0,3
2,0,3，则有
∣
A
+
E
∣
=
2
×
0
×
−
1
=
0
|A+E|=2\times 0\times -1=0
∣A+E∣=2×0×−1=0
A
+
E
A+E
A+E不可逆。同理
A
+
2
E
A+2E
A+2E的特征值为
3
,
1
,
4
3,1,4
3,1,4，则有
∣
A
+
2
E
∣
=
3
×
1
×
4
=
12
≠
0
|A+2E|=3\times 1\times 4=12\ne 0
∣A+2E∣=3×1×4=12=0
A
+
2
E
A+2E
A+2E可逆
此结论未经过验证，请不要随意使用
已知 A A A的特征值为 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n} λ1,λ2,⋯,λn，有关系 B = A + α E B=A+\alpha E B=A+αE，则 B B B的特征值为 λ 1 + α , λ 2 + α , ⋯ , λ n + α \lambda_{1}+\alpha,\lambda_{2}+\alpha,\cdots,\lambda_{n}+\alpha λ1+α,λ2+α,⋯,λn+α证明：
对 A A A，有
∣ λ k E − A ∣ = 0 的解为 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n |\lambda_{k} E-A|=0的解为\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n} ∣λkE−A∣=0的解为λ1,λ2,⋯,λn
对 B B B，有
∣ λ q E − B ∣ = ∣ λ q E − A − α E ∣ = ∣ ( λ q − α ) E − A ∣ = 0 \begin{aligned} |\lambda_{q} E-B|&=|\lambda_{q} E-A-\alpha E|\\ &=|(\lambda_{q}-\alpha)E-A|=0 \end{aligned} ∣λqE−B∣=∣λqE−A−αE∣=∣(λq−α)E−A∣=0
都看做 A A A的特征方程，则有 λ k = ( λ q − α ) \lambda_{k}=(\lambda_{q}-\alpha) λk=(λq−α)，因此 B B B的特征值为 λ 1 − α , λ 2 − α , ⋯ , λ n − α \lambda_{1}-\alpha,\lambda_{2}-\alpha,\cdots,\lambda_{n}-\alpha λ1−α,λ2−α,⋯,λn−α其实对于 B = β A + α E , β ≠ 0 B=\beta A+\alpha E,\beta \ne 0 B=βA+αE,β=0也能做，只需要在最后提出 β A \beta A βA前面的系数，但注意 β \beta β本身是矩阵 A A A的系数，放到矩阵里面是每一行都要乘 β \beta β，整个特征向量提出的不是 β \beta β，而是 β n \beta^{n} βn，其中 n n n为 A A A的阶数
相似矩阵
证明：若 A ∼ B A \sim B A∼B，有
-
A
n
∼
B
n
A^{n}\sim B^{n}
An∼Bn
因为 A ∼ B A \sim B A∼B，有 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B，于是
B 2 = ( P − 1 A P ) 2 = ( P − 1 A P ) ( P − 1 A P ) = P − 1 A 2 P B^{2}=(P^{-1}AP)^{2}=(P^{-1}AP)(P^{-1}AP)=P^{-1}A^{2}P B2=(P−1AP)2=(P−1AP)(P−1AP)=P−1A2P -
A
+
k
E
∼
B
+
k
E
A+kE\sim B+kE
A+kE∼B+kE
因为 A ∼ B A \sim B A∼B，有 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B，于是
P − 1 ( A + k E ) P = P − 1 A P + P − 1 ( k E ) P = B + k E P^{-1}(A+kE)P=P^{-1}AP+P^{-1}(kE)P=B+kE P−1(A+kE)P=P−1AP+P−1(kE)P=B+kE - 且条件
A
A
A可逆，
A
−
1
∼
B
−
1
A^{-1}\sim B^{-1}
A−1∼B−1
因为 A ∼ B A \sim B A∼B，有 ∣ A ∣ = ∣ B ∣ |A|=|B| ∣A∣=∣B∣。由 A A A可逆知 B ≠ 0 B \ne 0 B=0，即 B B B必可逆
B − 1 = ( P − 1 A P ) − 1 = P − 1 A − 1 ( P − 1 ) − 1 = P − 1 A − 1 P B^{-1}=(P^{-1}AP)^{-1}=P^{-1}A^{-1}(P^{-1})^{-1}=P^{-1}A^{-1}P B−1=(P−1AP)−1=P−1A−1(P−1)−1=P−1A−1P
对定理的补充
定理：
A
∼
Λ
⇔
λ
A\sim \Lambda\Leftrightarrow \lambda
A∼Λ⇔λ是
A
A
A的
k
k
k重特征值，则
λ
\lambda
λ有
k
k
k个线性无关的特征向量
⇔
\Leftrightarrow
⇔秩
r
(
λ
i
E
−
A
)
=
n
−
n
i
r(\lambda_{i}E-A)=n-n_{i}
r(λiE−A)=n−ni，
λ
i
\lambda_{i}
λi为
n
i
n_{i}
ni重特征值
注意是 P P P中 α \alpha α与 Λ \Lambda Λ中的 λ \lambda λ相会对应，而不是 P − 1 P^{-1} P−1
施密特正交化
一般地，用数学归纳法可以证明
设
α
1
,
⋯
,
α
m
(
m
≤
n
)
\alpha_1,\cdots,\alpha_{m}(m\leq n)
α1,⋯,αm(m≤n)是
R
n
R^{n}
Rn中的一个线性无关的向量组，若令
β
1
=
α
1
β
2
=
α
2
−
⟨
α
2
,
β
1
⟩
⟨
β
1
,
β
1
⟩
β
1
β
m
=
α
m
−
⟨
α
m
,
β
1
⟩
⟨
β
1
,
β
1
⟩
β
1
−
⟨
α
m
,
β
2
⟩
⟨
β
2
,
β
2
⟩
β
2
−
⋯
−
⟨
α
m
,
β
m
−
1
⟩
⟨
β
m
−
1
,
β
m
−
1
⟩
β
m
−
1
\begin{gather}\beta_1=\alpha_1\\\beta_2=\alpha_{2}-\frac{\langle\alpha_{2},\beta_{1}\rangle}{\langle\beta_{1},\beta_{1}\rangle}\beta_1\\\beta_{m}=\alpha_{m}-\frac{\langle\alpha_{m},\beta_{1}\rangle}{\langle\beta_{1},\beta_{1}\rangle}\beta_{1}-\frac{\langle\alpha_{m},\beta_{2}\rangle}{\langle\beta_{2},\beta_{2}\rangle}\beta_{2}-\cdots-\frac{\langle\alpha_{m},\beta_{m-1}\rangle}{\langle\beta_{m-1},\beta_{m-1}\rangle}\beta_{m-1}\end{gather}
β1=α1β2=α2−⟨β1,β1⟩⟨α2,β1⟩β1βm=αm−⟨β1,β1⟩⟨αm,β1⟩β1−⟨β2,β2⟩⟨αm,β2⟩β2−⋯−⟨βm−1,βm−1⟩⟨αm,βm−1⟩βm−1
则
β
1
,
⋯
,
β
m
\beta_{1},\cdots,\beta_{m}
β1,⋯,βm就是一个正交向量组，若再令
e
i
=
β
i
∣
∣
β
i
∣
∣
(
i
=
1
,
2
,
⋯
,
m
)
e_{i}=\frac{\beta_i}{||\beta_{i}||}(i=1,2,\cdots,m)
ei=∣∣βi∣∣βi(i=1,2,⋯,m)
就得到一个标准的正交向量组
e
1
,
⋯
,
e
m
e_{1},\cdots,e_{m}
e1,⋯,em，且该向量组与
α
1
,
⋯
,
α
m
\alpha_1,\cdots,\alpha_m
α1,⋯,αm等价
例：已知 A A A是三阶实对称矩阵，特征值是 3 , 0 , 0 3,0,0 3,0,0，对应于 λ = 3 \lambda=3 λ=3的特征向量是 α 1 = ( 1 , 1 , 1 ) T \alpha_{1}=(1,1,1)^{T} α1=(1,1,1)T
- 求矩阵 A A A关于 λ = 0 \lambda=0 λ=0的特征向量
- 求矩阵 A A A
- 求正交矩阵 Q Q Q使 Q − 1 A Q = Λ Q^{-1}AQ=\Lambda Q−1AQ=Λ
实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，设
λ
=
0
\lambda=0
λ=0的特征向量
α
=
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
T
\alpha=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}
α=(x1,x2,x3)T，则有
x
1
+
x
2
+
x
3
=
0
x_{1}+x_{2}+x_{3}=0
x1+x2+x3=0
解得
α
2
=
(
−
1
,
1
,
0
)
T
,
α
3
=
(
−
1
,
0
,
1
)
T
\alpha_{2}=(-1,1,0)^{T},\alpha_{3}=(-1,0,1)^{T}
α2=(−1,1,0)T,α3=(−1,0,1)T，所以矩阵
A
A
A关于
λ
=
0
\lambda=0
λ=0的特征向量为
k
2
α
2
+
k
3
α
3
,
k
2
,
k
3
不全为
0
k_{2}\alpha_{2}+k_{3}\alpha_{3},k_{2},k_{3}不全为0
k2α2+k3α3,k2,k3不全为0
由
A
α
=
λ
α
,
A
α
1
=
3
α
1
,
A
α
2
=
0
,
A
α
3
=
0
A \alpha=\lambda \alpha,A \alpha_{1}=3\alpha_{1},A \alpha_{2}=0,A \alpha_{3}=0
Aα=λα,Aα1=3α1,Aα2=0,Aα3=0，有
A
(
α
1
,
α
2
,
α
3
)
=
(
α
1
,
α
2
,
α
3
)
(
3
0
0
)
A
(
α
1
,
α
2
,
α
3
)
=
(
3
α
1
,
0
,
0
)
A
=
(
3
α
1
,
0
,
0
)
(
α
1
,
α
2
,
α
3
)
=
(
3
0
0
3
0
0
3
0
0
)
(
1
−
1
−
1
1
1
0
1
0
1
)
−
1
=
(
3
0
0
3
0
0
3
0
0
)
⋅
1
3
(
1
1
1
−
1
2
−
1
−
1
−
1
2
)
=
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)
\begin{aligned} A(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})&=(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})\begin{pmatrix} 3 & & \\ & 0 & \\ & & 0 \end{pmatrix}\\ A(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})&=(3\alpha_{1},0,0)\\ A&=(3\alpha_{1},0,0)(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})\\ &=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\\ &=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}
A(α1,α2,α3)A(α1,α2,α3)A=(α1,α2,α3)⎝
⎛300⎠
⎞=(3α1,0,0)=(3α1,0,0)(α1,α2,α3)=⎝
⎛333000000⎠
⎞⎝
⎛111−110−101⎠
⎞−1=⎝
⎛333000000⎠
⎞⋅31⎝
⎛1−1−112−11−12⎠
⎞=⎝
⎛111111111⎠
⎞
对
λ
=
0
\lambda=0
λ=0，
α
2
,
α
3
\alpha_{2},\alpha_{3}
α2,α3不正交，则
β
2
=
α
2
=
(
−
1
,
1
,
0
)
T
β
3
=
α
3
−
<
α
3
,
β
2
>
<
β
2
,
β
2
>
β
2
=
(
−
1
0
1
)
−
1
2
(
−
1
1
0
)
=
1
2
(
−
1
−
1
2
)
\begin{aligned} \beta_{2}&=\alpha_{2}=(-1,1,0)^{T}\\ \beta_{3}&=\alpha_{3}-\frac{\left<\alpha_{3},\beta_{2}\right>}{\left<\beta_{2},\beta_{2}\right>}\beta_{2}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}- \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}
β2β3=α2=(−1,1,0)T=α3−⟨β2,β2⟩⟨α3,β2⟩β2=⎝
⎛−101⎠
⎞−21⎝
⎛−110⎠
⎞=21⎝
⎛−1−12⎠
⎞
这里只是为了求出一个向量，所以矩阵的系数在后面都可以省略
单位化
γ
1
=
1
3
(
1
1
1
)
,
γ
2
=
1
2
(
−
1
1
0
)
,
γ
3
=
1
6
(
−
1
−
1
2
)
\gamma_{1}= \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\gamma_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\gamma_{3}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}
γ1=31⎝
⎛111⎠
⎞,γ2=21⎝
⎛−110⎠
⎞,γ3=61⎝
⎛−1−12⎠
⎞
令
Q
=
(
γ
1
,
γ
2
,
γ
3
)
=
(
1
3
−
1
2
−
1
6
1
3
1
2
−
1
6
1
3
0
2
6
)
Q=(\gamma_{1},\gamma_{2},\gamma_{3})=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}
Q=(γ1,γ2,γ3)=⎝
⎛313131−21210−61−6162⎠
⎞
有
Q
−
1
A
Q
=
(
3
0
0
)
Q^{-1}AQ=\begin{pmatrix} 3 & & \\ & 0 & \\ & & 0 \end{pmatrix}
Q−1AQ=⎝
⎛300⎠
⎞
例：已知 A A A是三阶实对称矩阵，秩为 2 2 2， λ = 6 \lambda=6 λ=6是 A A A的二重特征值，对应的特征向量是 α 1 = ( 1 , 1 , 0 ) T \alpha_{1}=(1,1,0)^{T} α1=(1,1,0)T和 α 2 = ( 2 , 1 , 1 ) T \alpha_{2}=(2,1,1)^{T} α2=(2,1,1)T，求 A A A的另一特征值的对应的特征向量
该题可以被分作两道题
已知 A A A是三阶实对称矩阵，秩为 2 2 2， λ = 6 \lambda=6 λ=6是 A A A的二重特征值，求 A A A的另一特征值
已知 A A A是三阶实对称矩阵， λ = 6 \lambda=6 λ=6是 A A A的二重特征值，对应的特征向量是 α 1 = ( 1 , 1 , 0 ) T \alpha_{1}=(1,1,0)^{T} α1=(1,1,0)T和 α 2 = ( 2 , 1 , 1 ) T \alpha_{2}=(2,1,1)^{T} α2=(2,1,1)T，求 A A A的另一特征向量
第一题
由于
A
A
A是三阶实对称矩阵，秩为
2
2
2，有
∣
A
∣
=
0
=
∏
1
3
λ
i
|A|=0=\prod\limits_{1}^{3}\lambda_{i}
∣A∣=0=1∏3λi
矩阵不满秩即行列式为 0 0 0，行列式为 0 0 0，矩阵一定有特征值 0 0 0
因此另一特征值为 0 0 0
第二题
令该特征向量为
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
T
(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}
(x1,x2,x3)T，有
{
x
1
+
x
2
=
0
2
x
1
+
x
2
+
x
3
=
0
\left\{\begin{aligned}&x_{1}+x_{2}=0\\ &2x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\end{aligned}\right.
{x1+x2=02x1+x2+x3=0
对应矩阵
(
1
1
0
2
1
1
)
→
(
1
1
0
0
1
−
1
)
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}
(121101)→(10110−1)
因此，特征向量为
(
−
1
,
1
,
1
)
T
(-1,1,1)^{T}
(−1,1,1)T
同一个 λ \lambda λ对应的系数矩阵，若该矩阵有 n n n个自由变量，则该特征值对应有 n n n个特征向量