对网络流的一个小总结
关于网络流的复杂度 一般数据范围低于1k就可能考虑网络流
拆点的技巧
拆点可以限制一条边的流量
一条边连向另一条边 出点---->入点
最大流
我的选择是用 dinic
最小割
1最大全闭合子图 如果两个东西 （选这个必须选另一个） 那么我们可以 转化为最小割
然后dfs去跑 方案
2限制同时选
3限制同时不选
（最小割真的很妙 也很难 真的很考验思维）
十年前有一个考 最小割本质的
最小割的必经边 首先都是要跑 一遍最小割（最大流等于最小割）
最小割的可行边 跑一遍最小割
费用流
最小费用最大流
最大费用最大流
本质是最短路去找一条增广路 但是我们考虑到有负权 （有环的我们另行考虑，下面有解释）
我们选择用spfa 优化
上下界网络流
最主要的思想：
ru ++ chu -- >0 有多余 向超级汇点连边 <0 超级源点向这个点连边 做一个供给的效果
最小费用循环流
经典例题 就是 网络流24题的 餐巾计划问题 我们需要让某条边数流满 而不直接求
如果有负权环的费用流 本质的处理是 把他的负数边留满 那么我们可以向他的 反向边 连 c -inf 的流量
保证它流满
关于二分图
最小点覆盖 最大匹配
最小边覆盖 顶点数-最大匹配数
最大权独立集 顶点数-最大匹配数
最少路径点覆盖 顶点数-最大匹配数
最小路径可重复路径点覆盖 顶点数-传递闭包的最大匹配数
最长反链 =最小可重复路径点覆盖 （比较不常见）
最大团等于补集的 最大全独立集
二分图完备匹配的必经点 可以dfs
二分图完备匹配的必经边 如果满流 正向连边 不在完备匹配的边 反向连边 跑有向图 tarjan
一些新颖的建边技巧 （hard）
差分建边
最小割树 （我们可以询问任意两个点的 最小割） lca处理
我们可以分治处理
然后倍增查询
void build(int l,int r)
{
if(l>=r) return;
int x=pdx[l],y=pdx[l+1];
int cut=Dinic(x,y);
now++;dfs(x);int p=l,q=r;
for(int i=l;i<=r;i++)
if(col[pdx[i]]==now) tdx[p++]=pdx[i];
else tdx[q--]=pdx[i];
for(int i=l;i<=r;i++) pdx[i]=tdx[i];
add_edge(x,y,cut);
add_edge(y,x,cut);
build(l,p-1);build(q+1,r);
}
全局最小割 待补
最大密度子图 待补 （不会，待补）
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可结合二分答案 也是比较经典了
会有线段树建图
可以结合树连剖分（代码hard）