01 数据操作 + 数据预处理

1、数据操作

n维数组，也称为张量（tensor），是机器学习和神经网络的主要数据结构

1.1、创建数组

1.2、访问元素

2、数据操作_Code

代码位置： chapter_preliminaries/ndarray.ipynb

• 深度学习存储和操作数据的主要接口是张量（n维数组）。它提供了各种功能，包括基本数学运算、广播、索引、切片、内存节省和转换其他Python对象。

2.1、张量

张量表示由一个数值组成的数组，这个数组可能有多个维度。

• 具有一个轴的张量对应数学上的向量（vector）；
• 具有两个轴的张量对应数学上的矩阵（matrix）；
• 具有两个轴以上的张量没有特殊的数学名称。

import torch

x = torch.arange(12)
# tensor([ 0,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10, 11])

1、shape ：

通过张量的shape属性来访问张量（沿每个轴的长度）的形状

import torch

x = torch.arange(12)  # tensor([ 0,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10, 11])
print(x.shape)  # torch.Size([12])

2、numel

张量中元素的总数，即形状的所有元素乘积，可以检查它的大小（size）

import torch

x = torch.arange(12)  # tensor([ 0,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10, 11])
print(x.shape)  # torch.Size([12])
print(x.numel())  # 12

3、reshape

改变一个张量的形状而不改变元素数量和元素值，可以调用reshape函数

import torch

x = torch.arange(12)  # tensor([ 0,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10, 11])
print(x.shape)  # torch.Size([12])
print(x.numel())  # 12
x = x.reshape(4, 3)
"""
tensor([[ 0,  1,  2],
        [ 3,  4,  5],
        [ 6,  7,  8],
        [ 9, 10, 11]])
"""

4、zeros

使用全0、全1、其他常量，或者从特定分布中随机采样的数字来初始化矩阵

(1)创建一个形状为（2,3,4）的张量，其中所有元素都设置为0

y = torch.zeros((2, 3, 4))

结果展示：

tensor([[[0., 0., 0., 0.],
         [0., 0., 0., 0.],
         [0., 0., 0., 0.]],

        [[0., 0., 0., 0.],
         [0., 0., 0., 0.],
         [0., 0., 0., 0.]]])

(2)创建一个形状为（2,3,4）的张量，其中所有元素都设置为1

z = torch.ones((2, 3, 4))

tensor([[[1., 1., 1., 1.],
         [1., 1., 1., 1.],
         [1., 1., 1., 1.]],

        [[1., 1., 1., 1.],
         [1., 1., 1., 1.],
         [1., 1., 1., 1.]]])

(3)通过提供包含数值的Python列表（或嵌套列表），来为所需张量中的每个元素赋予确定值

n = torch.tensor([[2, 1, 4, 3], [1, 2, 3, 4], [4, 3, 2, 1]])
print(n)
print(n.shape)
print(n.numel())

结果展示：

tensor([[2, 1, 4, 3],
        [1, 2, 3, 4],
        [4, 3, 2, 1]])
torch.Size([3, 4])
12

（4）通过从某个特定的概率分布中随机采样来得到张量中每个元素的值

m = torch.randn(4, 3)

结果展示：

tensor([[ 1.1251,  0.6748, -0.3697],
        [ 0.7118,  1.1822,  1.3140],
        [-1.1234,  0.8773,  0.2002],
        [-0.0407,  0.3170,  0.6610]])

2.2、算术运算符

1、对于任意具有相同形状的张量， 常见的标准算术运算符（+、-、*、/和**）都可以被升级为按元素运算。

import torch

x = torch.tensor([1.0, 2, 4, 8])
y = torch.tensor([2, 2, 2, 2])
print(x + y, x - y, x * y, x / y, x ** y)  # **运算符是求幂运算

结果展示：

tensor([ 3.,  4.,  6., 10.]) 
tensor([-1.,  0.,  2.,  6.]) 
tensor([ 2.,  4.,  8., 16.]) 
tensor([0.5000, 1.0000, 2.0000, 4.0000]) 
tensor([ 1.,  4., 16., 64.])

2、“按元素”方式可以应用更多的计算，包括像求幂这样的一元运算符。

• torch.exp(x)

import torch

x = torch.tensor([1.0, 2, 4, 8])
print(torch.exp(x))

tensor([2.7183e+00, 7.3891e+00, 5.4598e+01, 2.9810e+03])

3、除了按元素计算外，我们还可以执行线性代数运算，包括向量点积和矩阵乘法。

• cat : 可以把多个张量连结（concatenate）在一起

我们只需要提供张量列表，并给出沿哪个轴连结。

如：

下面的例子分别演示了,当我们

• 沿行（轴-0，形状的第一个元素）
• 按列（轴-1，形状的第二个元素）

连结两个矩阵

import torch

X = torch.arange(12, dtype=torch.float32).reshape((3,4))
Y = torch.tensor([[2.0, 1, 4, 3], [1, 2, 3, 4], [4, 3, 2, 1]])
X1 = torch.cat((X, Y), dim=0)  # dim=0 : 按行
Y1 = torch.cat((X, Y), dim=1)  # dim=1 : 按列
print("X:", X)
print("Y:", Y)
print("X1:", X1)
print("Y1:", Y1)

结果展示：

一个输出张量的轴-0长度（6）是两个输入张量轴-0长度的总和（3+3）；

第二个输出张量的轴-1长度（8）是两个输入张量轴-1长度的总和（4+4）。

X: tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
        [ 4.,  5.,  6.,  7.],
        [ 8.,  9., 10., 11.]])
Y: tensor([[2., 1., 4., 3.],
        [1., 2., 3., 4.],
        [4., 3., 2., 1.]])
X1: tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
        [ 4.,  5.,  6.,  7.],
        [ 8.,  9., 10., 11.],
        [ 2.,  1.,  4.,  3.],
        [ 1.,  2.,  3.,  4.],
        [ 4.,  3.,  2.,  1.]])
Y1: tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.,  2.,  1.,  4.,  3.],
        [ 4.,  5.,  6.,  7.,  1.,  2.,  3.,  4.],
        [ 8.,  9., 10., 11.,  4.,  3.,  2.,  1.]])

4、我们想通过逻辑运算符构建二元张量。 以X == Y为例

X = torch.arange(12, dtype=torch.float32).reshape((3, 4))
Y = torch.tensor([[2.0, 1, 4, 3], [1, 2, 3, 4], [4, 3, 2, 1]])
print(X == Y)

结果展示：

tensor([[False,  True, False,  True],
        [False, False, False, False],
        [False, False, False, False]])

5、对张量中的所有元素进行求和，会产生一个单元素张量。

X = torch.arange(12, dtype=torch.float32).reshape((3, 4))
print(X.sum())

tensor(66.)

2.3、广播机制

在某些情况下，即使形状不同，我们仍然可以通过调用 广播机制（broadcasting mechanism）来执行按元素操作。

这种机制的工作方式如下：

• 首先，通过适当复制元素来扩展一个或两个数组， 以便在转换之后，两个张量具有相同的形状。
• 其次，对生成的数组执行按元素操作。

# a和b分别是和矩阵
a = torch.arange(3).reshape((3, 1))
b = torch.arange(2).reshape((1, 2))
print(a)
print(b)
print(a + b)

结果展示：

tensor([[0],
        [1],
        [2]])
tensor([[0, 1]])
tensor([[0, 1],
        [1, 2],
        [2, 3]])

2.4、索引和切片

就像在任何其他Python数组中一样，张量中的元素可以通过索引访问。

1、如用[-1]选择最后一个元素，用[1:3]选择第二个和第三个元素

X = torch.arange(12, dtype=torch.float32).reshape((3, 4))
print(X)
print(X[-1])
print(X[1:3])

结果展示：

tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
        [ 4.,  5.,  6.,  7.],
        [ 8.,  9., 10., 11.]])
tensor([ 8.,  9., 10., 11.])
tensor([[ 4.,  5.,  6.,  7.],
        [ 8.,  9., 10., 11.]])

2、通过指定索引来将元素写入矩阵。

X = torch.arange(12, dtype=torch.float32).reshape((3, 4))
X[1, 2] = 9
print(X)

tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
        [ 4.,  5.,  9.,  7.],
        [ 8.,  9., 10., 11.]])

3、如果我们想为多个元素赋值相同的值，我们只需要索引所有元素，然后为它们赋值。

例如，[0:2, :]访问第1行和第2行，其中“:”代表沿轴1（列）的所有元素。

虽然我们讨论的是矩阵的索引，但这也适用于向量和超过2个维度的张量。

(1) X[0:2, :]

X = torch.arange(12, dtype=torch.float32).reshape((3, 4))
X[0:2, :] = 12
print(X)

tensor([[12., 12., 12., 12.],
        [12., 12., 12., 12.],
        [ 8.,  9., 10., 11.]])

(2) X[0:2, 2:4]

X = torch.arange(12, dtype=torch.float32).reshape((3, 4))
X[0:2, 2:4] = 12
print(X)

tensor([[ 0.,  1., 12., 12.],
        [ 4.,  5., 12., 12.],
        [ 8.,  9., 10., 11.]])

2.5、节省内存

运行一些操作可能会导致为新结果分配内存。

例如，如果我们用Y = X + Y，我们将取消引用Y指向的张量，而是指向新分配的内存处的张量。

id() ： 提供了内存中引用对象的确切地址

1、Y = Y + X

before = id(Y)
Y = Y + X
print(id(Y) == before)  # False

这可能是不可取的，原因有两个：

• 首先，我们不想总是不必要地分配内存。 在机器学习中，我们可能有数百兆的参数，并且在一秒内多次更新所有参数。 通常情况下，我们希望原地执行这些更新。
• 其次，如果我们不原地更新，其他引用仍然会指向旧的内存位置， 这样我们的某些代码可能会无意中引用旧的参数。

2、可以使用切片表示法将操作的结果分配给先前分配的数组

例如Y[:] = <expression>。 为了说明这一点，我们首先创建一个新的矩阵Z，其形状与另一个Y相同， 使用zeros_like来分配一个全0的块。

Z = torch.zeros_like(Y)
print('id(Z):', id(Z))
Z[:] = X + Y
print('id(Z):', id(Z))

结果展示：

id(Z): 140316199714544
id(Z): 140316199714544

3、如果在后续计算中没有重复使用X， 我们也可以使用X[:] = X + Y或X += Y来减少操作的内存开销。

before = id(X)
X += Y
print(id(X) == before)  # True

2.6、转换为其他Python对象

1、将深度学习框架定义的张量转换为NumPy张量（ndarray）很容易，反之也同样容易。

torch张量和numpy数组将共享它们的底层内存，就地操作更改一个张量也会同时更改另一个张量。

A = X.numpy()
B = torch.tensor(A)
print(type(A), type(B))

(numpy.ndarray, torch.Tensor)

2、要将大小为1的张量转换为Python标量，我们可以调用item函数或Python的内置函数。

a = torch.tensor([3.5])
print(a, a.item(), float(a), int(a))

结果展示：

(tensor([3.5000]), 3.5, 3.5, 3)

3、数据预处理

3.1、读取数据

（1）创建数据

存储在csv文件

import os


# 1、创建数据集
os.makedirs(os.path.join('..', 'data'), exist_ok=True)
data_file = os.path.join('..', 'data', 'house_tiny.csv')
with open(data_file, 'w') as f:
    f.write('NumRooms,Alley,Price\n')  # 列名
    f.write('NA,Pave,127500\n')  # 每行表示一个数据样本
    f.write('2,NA,106000\n')
    f.write('4,NA,178100\n')
    f.write('NA,NA,140000\n')

（2）读取数据

要从创建的CSV文件中加载原始数据集，我们导入pandas包并调用read_csv函数。

data = pd.read_csv(data_file)
print(data)

结果展示：

   NumRooms Alley   Price
0       NaN  Pave  127500
1       2.0   NaN  106000
2       4.0   NaN  178100
3       NaN   NaN  140000

进程已结束，退出代码为 0

3.2、除去缺失值

“NaN”项代表缺失值。

为了处理缺失的数据，典型的方法包括插值法和删除法

• 插值法用一个替代值弥补缺失值
• 删除法则直接忽略缺失值

在这里，我们将考虑插值法：

​ 通过位置索引iloc，我们将data分成inputs和outputs， 其中前者为data的前两列，而后者为data的最后一列。 对于inputs中缺少的数值，我们用同一列的均值替换“NaN”项。

• 关键代码：

# 3、处理缺失值
inputs, outputs = data.iloc[:, 0:2], data.iloc[:, 2]
inputs = inputs.fillna(inputs.mean())
# mean()函数功能：求取均值
# fillna() 使用指定的方法填充NA/NaN值。

• 运行结果：

   NumRooms Alley
0       3.0  Pave
1       2.0   NaN
2       4.0   NaN
3       3.0   NaN

• 整体代码：

import os
import pandas as pd


# 1、创建数据集
os.makedirs(os.path.join('..', 'data'), exist_ok=True)
data_file = os.path.join('..', 'data', 'house_tiny.csv')
with open(data_file, 'w') as f:
    f.write('NumRooms,Alley,Price\n')  # 列名
    f.write('NA,Pave,127500\n')  # 每行表示一个数据样本
    f.write('2,NA,106000\n')
    f.write('4,NA,178100\n')
    f.write('NA,NA,140000\n')


# 2、读取数据
# 基于pandas
data = pd.read_csv(data_file)
print(data)

# 3、处理缺失值
inputs, outputs = data.iloc[:, 0:2], data.iloc[:, 2]
inputs = inputs.fillna(inputs.mean())
# mean()函数功能：求取均值
# fillna() 使用指定的方法填充NA/NaN值。
print(inputs)

对于inputs中的类别值或离散值，我们将“NaN”视为一个类别。

由于“巷子类型”（“Alley”）列只接受两种类型的类别值“Pave”和“NaN”， pandas可以自动将此列转换为两列“Alley_Pave”和“Alley_nan”。

巷子类型为“Pave”的行会将“Alley_Pave”的值设置为1，“Alley_nan”的值设置为0。

缺少巷子类型的行会将“Alley_Pave”和“Alley_nan”分别设置为0和1。

代码：

inputs = pd.get_dummies(inputs, dummy_na=True)
print(inputs)

处理前：

   NumRooms Alley
0       3.0  Pave
1       2.0   NaN
2       4.0   NaN
3       3.0   NaN

处理后：

   NumRooms  Alley_Pave  Alley_nan
0       3.0           1          0
1       2.0           0          1
2       4.0           0          1
3       3.0           0          1

3.3、转换为张量格式

现在inputs和outputs中的所有条目都是数值类型，它们可以转换为张量格式。

关键代码：

import torch

# 4、转换为张量格式
x, y = torch.tensor(inputs.values), torch.tensor(outputs.values)
print(x)
print(y)

结果展示：

tensor([[3., 1., 0.],
        [2., 0., 1.],
        [4., 0., 1.],
        [3., 0., 1.]], dtype=torch.float64)
tensor([127500, 106000, 178100, 140000])

PS：64位浮点数相对较占内存，我们平时使用中使用32位即可

完整代码：

import os
import pandas as pd
import torch


# 1、创建数据集
os.makedirs(os.path.join('..', 'data'), exist_ok=True)
data_file = os.path.join('..', 'data', 'house_tiny.csv')
with open(data_file, 'w') as f:
    f.write('NumRooms,Alley,Price\n')  # 列名
    f.write('NA,Pave,127500\n')  # 每行表示一个数据样本
    f.write('2,NA,106000\n')
    f.write('4,NA,178100\n')
    f.write('NA,NA,140000\n')


# 2、读取数据
# 基于pandas
data = pd.read_csv(data_file)
print(data)

# 3、处理缺失值
inputs, outputs = data.iloc[:, 0:2], data.iloc[:, 2]
inputs = inputs.fillna(inputs.mean())
# mean()函数功能：求取均值
# fillna() 使用指定的方法填充NA/NaN值。
print(inputs)

inputs = pd.get_dummies(inputs, dummy_na=True)
print(inputs)

# 4、转换为张量格式
x, y = torch.tensor(inputs.values), torch.tensor(outputs.values)
print(x)
print(y)

02 线性代数

1、标量

我们称仅包含一个数值的叫标量（scalar）。

• 数学表示法中标量变量由普通小写字母表示（例如，x、y和z）

标量由只有一个元素的张量表示。 在下面的代码中，我们实例化两个标量:

import torch

x = torch.tensor(3.0)
y = torch.tensor(2.0)

x + y, x * y, x / y, x**y

结果展示：

(tensor(5.), tensor(6.), tensor(1.5000), tensor(9.))

2、向量

你可以将向量视为标量值组成的列表。 我们将这些标量值称为向量的元素（element）或分量（component）。

• 在数学表示法中，我们通常将向量记为粗体、小写的符号 （例如，x、y和z)）

我们通过一维张量处理向量。一般来说，张量可以具有任意长度，取决于机器的内存限制。

x = torch.arange(4)
x

tensor([0, 1, 2, 3])

2.1、长度、维度和形状

• len(x)
• x.shape

示例程序：

import torch

x = torch.arange(4)
print(x)
print(x[3])

#  2.1、长度、维度和形状
print(len(x))
print(x.shape)

结果展示：

tensor([0, 1, 2, 3])
tensor(3)
4
torch.Size([4])

3、矩阵

• 创建矩阵
• 转置矩阵
• 对称矩阵

示例代码：

import torch


# 3、矩阵
A = torch.arange(20).reshape(5, 4)
print(A)
# 转置矩阵
print(A.T)

# 对称矩阵
B = torch.tensor([[1, 2, 3], [2, 0, 4], [3, 4, 5]])
print(B)
print(B == B.T)

运行结果：

tensor([[ 0,  1,  2,  3],
        [ 4,  5,  6,  7],
        [ 8,  9, 10, 11],
        [12, 13, 14, 15],
        [16, 17, 18, 19]])
tensor([[ 0,  4,  8, 12, 16],
        [ 1,  5,  9, 13, 17],
        [ 2,  6, 10, 14, 18],
        [ 3,  7, 11, 15, 19]])
tensor([[1, 2, 3],
        [2, 0, 4],
        [3, 4, 5]])
tensor([[True, True, True],
        [True, True, True],
        [True, True, True]])

3.1、张量

就像向量是标量的推广，矩阵是向量的推广一样，我们可以构建具有更多轴的数据结构。 张量（本小节中的“张量”指代数对象）为我们提供了描述具有任意数量轴的n维数组的通用方法。 例如，向量是一阶张量，矩阵是二阶张量。 张量用特殊字体的大写字母表示（例如，X、Y和Z）

PS:

此时你可能会对“张量、标量、向量”的概念产生疑惑

我们回顾前文：n维数组，也称为张量（tensor），是机器学习和神经网络的主要数据结构

当我们开始处理图像时，张量将变得更加重要，图像以n维数组形式出现， 其中3个轴对应于高度、宽度，以及一个通道（channel）轴， 用于表示颜色通道（红色、绿色和蓝色）

下面我们先学习一些张量的基础知识：

先创建一个张量：

X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
print(X)

结果展示：

tensor([[[ 0,  1,  2,  3],
         [ 4,  5,  6,  7],
         [ 8,  9, 10, 11]],

        [[12, 13, 14, 15],
         [16, 17, 18, 19],
         [20, 21, 22, 23]]])

3.2、张量算法的基本性质

1、同形状矩阵的二元计算

A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
B = A.clone()  # 通过分配新内存，将A的一个副本分配给B
print(A)
print(A + B)

运行结果：

tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
        [ 4.,  5.,  6.,  7.],
        [ 8.,  9., 10., 11.],
        [12., 13., 14., 15.],
        [16., 17., 18., 19.]])
tensor([[ 0.,  2.,  4.,  6.],
        [ 8., 10., 12., 14.],
        [16., 18., 20., 22.],
        [24., 26., 28., 30.],
        [32., 34., 36., 38.]])

2、Hadamard积

两个矩阵的按元素乘法称为Hadamard积

print(A * B)

运行结果：

tensor([[  0.,   1.,   4.,   9.],
        [ 16.,  25.,  36.,  49.],
        [ 64.,  81., 100., 121.],
        [144., 169., 196., 225.],
        [256., 289., 324., 361.]])

3、张量*标量

将张量乘以或加上一个标量不会改变张量的形状

a = 2
A = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
print(A + a)
print(a * A)

运行结果：

tensor([[[ 2,  3,  4,  5],
         [ 6,  7,  8,  9],
         [10, 11, 12, 13]],

        [[14, 15, 16, 17],
         [18, 19, 20, 21],
         [22, 23, 24, 25]]])
tensor([[[ 0,  2,  4,  6],
         [ 8, 10, 12, 14],
         [16, 18, 20, 22]],

        [[24, 26, 28, 30],
         [32, 34, 36, 38],
         [40, 42, 44, 46]]])

4、降维

4.1、求和

import torch
import numpy as np

# x = np.arange(4)
# x,x.sum()
# 这里规避一个错误，我们调用的是 torch.arange() 而非 numpy ，否则后面代码花里胡哨的错误
x = torch.arange(4, dtype=torch.float32)
x, x.sum()x = np.arange(4)
x,x.sum()

运行结果：

(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor(6.))

我们可以表示任意形状张量的元素和

A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
A, A.shape, A.sum()

运行结果：

(tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
         [ 4.,  5.,  6.,  7.],
         [ 8.,  9., 10., 11.],
         [12., 13., 14., 15.],
         [16., 17., 18., 19.]]),
 torch.Size([5, 4]),
 tensor(190.))

4.2、降维

默认情况下，调用求和函数会沿所有的轴降低张量的维度，使它变为一个标量。

我们还可以指定张量沿哪一个轴来通过求和降低维度。

（1）沿轴0

以矩阵为例，为了通过求和所有行的元素来降维（轴0），我们可以在调用函数时指定axis=0。

• 由于输入矩阵沿0轴降维以生成输出向量，因此输入轴0的维数在输出形状中消失。

A_sum_axis0 = A.sum(axis=0)
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape

运行结果：

(tensor([40., 45., 50., 55.]), torch.Size([4]))

（2）沿轴1

A_sum_axis1 = A.sum(axis=1)
A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape

运行结果：

(tensor([ 6., 22., 38., 54., 70.]), torch.Size([5]))

（3）沿行和列

沿着行和列对矩阵求和，等价于对矩阵的所有元素进行求和。

A.sum(axis=[0, 1])

运行结果：

tensor(190.)

（4）求平均值

# 将总和除以元素总数来计算平均值
A.mean(), A.sum() / A.numel()

运行结果：

(tensor(9.5000), tensor(9.5000))

计算平均值的函数也可以沿指定轴降低张量的维度。

(tensor([ 8.,  9., 10., 11.]), tensor([ 8.,  9., 10., 11.]))

4.3、非降维求和

有时在调用函数来计算总和或均值时保持轴数不变会很有用(或者说我们在运算时，不想把维度丢掉，想保持轴数不变)。

A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
"""
tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
        [ 4.,  5.,  6.,  7.],
        [ 8.,  9., 10., 11.],
        [12., 13., 14., 15.],
        [16., 17., 18., 19.]])
"""
sum_A = A.sum(axis=1, keepdims=True)
sum_A

tensor([[ 6.],
        [22.],
        [38.],
        [54.],
        [70.]])

通过广播将A除以sum_A

A / sum_A

tensor([[0.0000, 0.1667, 0.3333, 0.5000],
        [0.1818, 0.2273, 0.2727, 0.3182],
        [0.2105, 0.2368, 0.2632, 0.2895],
        [0.2222, 0.2407, 0.2593, 0.2778],
        [0.2286, 0.2429, 0.2571, 0.2714]])

如果我们想沿某个轴计算A元素的累积总和， 比如axis=0（按行计算），我们可以调用cumsum函数。 此函数不会沿任何轴降低输入张量的维度。

A.cumsum(axis=0)

tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
        [ 4.,  6.,  8., 10.],
        [12., 15., 18., 21.],
        [24., 28., 32., 36.],
        [40., 45., 50., 55.]])

4.4 点积（Dot Product）

点积是相同位置的按元素乘积的和

y = torch.ones(4, dtype = torch.float32)
x, y, torch.dot(x, y)  # 对 x， y两个张量，相同位置的按元素乘积，再求和

(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor([1., 1., 1., 1.]), tensor(6.))

我们可以通过执行按元素乘法，然后进行求和来表示两个向量的点积

x*y, torch.sum(x*y)

(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor(6.))tensor(6.)

4.5、矩阵-向量积

PS：

比如: α=(1,2,3), β=(4,5,6)

则 α, β的内积等于 1 * 4 +2 * 5 + 3 * 6 = 32

示例：

当我们为矩阵A和向量x调用torch.mv(A, x)时，会执行矩阵-向量积。 注意，A的列维数（沿轴1的长度）必须与x的维数（其长度）相同。

A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
x = torch.arange(4, dtype=torch.float32)
A, x ,A.shape, x.shape

(tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
         [ 4.,  5.,  6.,  7.],
         [ 8.,  9., 10., 11.],
         [12., 13., 14., 15.],
         [16., 17., 18., 19.]]),
 tensor([0., 1., 2., 3.]),
 torch.Size([5, 4]),
 torch.Size([4]))

torch.mv(A, x)

tensor([ 14.,  38.,  62.,  86., 110.])

4.6、矩阵-矩阵乘法

我们可以将矩阵-矩阵乘法AB看作是简单地执行m次矩阵-向量积，并将结果拼接在一起，形成一个n×m矩阵。

A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
B = torch.ones(4, 3)
B, torch.mm(A, B)

(tensor([[1., 1., 1.],
         [1., 1., 1.],
         [1., 1., 1.],
         [1., 1., 1.]]),
 tensor([[ 6.,  6.,  6.],
         [22., 22., 22.],
         [38., 38., 38.],
         [54., 54., 54.],
         [70., 70., 70.]]))

矩阵-矩阵乘法可以简单地称为矩阵乘法，不应与”Hadamard积”混淆。

4.7、范数

• 向量的范数可以简单形象的理解为向量的长度，或者向量到零点的距离，或者相应的两个点之间的距离。
• 向量的范数定义：向量的范数是一个函数||x||,满足非负性||x||>=0，三角不等式||x+y||<=||x||+||y||。

范数在机器学习中的应用：

​ 范数和L2范数，用于机器学习的L1正则化、L2正则化。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。

参考博客：范数在深度学习中的应用 - 知乎 (zhihu.com)

4.7.1、范数和目标

在深度学习中，我们经常试图解决优化问题： 最大化分配给观测数据的概率; 最小化预测和真实观测之间的距离。 用向量表示物品（如单词、产品或新闻文章），以便最小化相似项目之间的距离，最大化不同项目之间的距离。 目标，或许是深度学习算法最重要的组成部分（除了数据），通常被表达为范数。

补充：按特定轴求和

视频链接：按特定轴求和_哔哩哔哩_bilibili

4、线性代数QA

视频链接：线性代数 QA_哔哩哔哩_bilibili

选择框架，学pytorch or tensorflow or …?

==》 学开车，选什么车都行，每隔一个时段都有新的流行的工具产生，会用工具，而不限制于工具

5、小结

• 标量、向量、矩阵和张量是线性代数中的基本数学对象。
• 向量泛化自标量，矩阵泛化自向量。
• 标量、向量、矩阵和张量分别具有零、一、二和任意数量的轴。
• 一个张量可以通过sum和mean沿指定的轴降低维度。
• 两个矩阵的按元素乘法被称为他们的Hadamard积。它与矩阵乘法不同。
• 在深度学习中，我们经常使用范数，如L1范数、L2范数和Frobenius范数。
• 我们可以对标量、向量、矩阵和张量执行各种操作。

03 微积分

• 1. 导数和微分
• 2. 偏导数
• 3. 梯度
• 4. 链式法则
• 5. 小结
• 6. 练习

04 自动微分

• 1. 一个简单的例子
• 2. 非标量变量的反向传播
• 3. 分离计算
• 4. Python控制流的梯度计算
• 5. 小结
• 6. 练习

05 概率

• 1. 基本概率论
  • 1.1. 概率论公理
  • 1.2. 随机变量
• 2. 处理多个随机变量
  • 2.1. 联合概率
  • 2.2. 条件概率
  • 2.3. 贝叶斯定理
  • 2.4. 边际化
  • 2.5. 独立性
  • 2.6. 应用

• 3. 期望和方差

• 4. 小结

• 5. 练习

06 查阅文档

• 1. 查找模块中的所有函数和类
• 2. 查找特定函数和类的用法
• 3. 小结
• 4. 练习