ROCKET PROPULSION ELEMENTS——DEFINITIONS AND FUNDAMENTALS笔记

火箭推进理论包括力学、热力学、化学

单位换算

磅力 $lbf$
磅，磅质量 $lbm$，$lb$，$pounds$，$lbs$

$1slug=\frac{1lbf}{1ft/s^2}$
$1kg=\frac{1N}{1m/s^2}$

$1lbf=4.45N$
$1ft=30.48cm$
$1slug=14.593904kg$

$1cal=4.184J$
$1erg=10^{-7}J$
$1eV=1.60218\times 10^{-19}J$
$1Btu=1055.05585J$

$1lb=0.454kg$
$1kg=2.20462262lb$

定义

总冲（量）$I_t={\int }_0^{t}Fdt$

质量比冲 $I_s=\frac{{\int }_0^{t}Fdt}{\int \dot{m}dt}$，单位$m/s$
重量比冲 $I_s=\frac{{\int }_0^{t}Fdt}{\int \dot{m}gdt}$，单位$s$
书中的比冲指重量比冲，对于固发，重量比冲往往根据总冲 与 发动机初始与最终重量之差 来计算
推进剂总流量 $\dot{m}$

等效推进剂总重量 $w=I_t/I_s$
推进剂重量流量 $\dot{w}=\dot{m}g$

体积流量是指流经管道横截面的流体的体积与该体积通过截面所用的时间之比。$m^3/t$
质量流量是指流经管道横截面的流体的质量与该体积通过截面所用的时间之比。$kg/s$

等效排气速度 $c=F/\dot{m}$

推进剂比耗量为比冲倒数

质量比为最终质量与初始质量之比 $MR=m_f/m_o$
总的质量比为各级质量比之积

举例：三级火箭质量分别是$m_0,m_1,m_2$
各级质量比为：$(m_1+m_2)/(m_0+m_1+m_2)$、$m_2/(m_1+m_2)$
总质量比为：$m_2/(m_0+m_1+m_2)$

推进剂质量分数 为推进剂质量与初始质量之比 $\zeta =(m_o-m_f)/m_0=m_p/m_o$
推进剂质量$m_p$

推进系统死重包括：贮存推进剂、燃烧推进剂所需的硬件

冲重比为总冲与初始重量之比
推重比为推力与初始重量之比
初始重量 $w_0=(m_f+m_p)g$

补充

重量（weight）：由于引力（Gravity ）而作用到物体上的力
$W=mg$，$g$为重力（Gravity ）加速度

测量 measurements
标准 standard
国际单位制 International System of Units (SI)
公制 metric system；SI只是公制中的一种
英制 British Imperial Units，美国采用英制

视重，表观重量（apparent weight）：体重计的读出的重量（由于体重计与人整体作变速运动，所以体重计对人的支撑力是变化）
人静止时，$F_N=mg$
人在下蹲时，经历先加速后减速最后静止，三个阶段
（以向下为正）
向下加速，速度向下，加速度方向向下，$mg-F_N=ma$，$F_N<mg$，失重weightlessness
向下减速，速度向下，加速度方向向上，$mg-F_N=-ma$，$F_N>mg$，超重overweight

地球上物体所受的重力只是引力的一个分量

质量有三个属性：惯性质量、主动引力质量、被动引力质量

惯性质量（inertial mass）：$F=ma$

引力质量（gravitational mass）主要可以分为主动引力质量和被动引力质量两种，前者决定物体产生的引力场的强弱，后者决定物体在处于其他引力场时受到的引力大小
$F=G\frac{M_1{M}_2}{r^2}$

狭义相对论提出，物体质量随其运动速度的增加而增加
$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}$，静止质量$m_0$
狭义相对论提出，质能方程
$E=m{c}^2$
由上面两个方程可以得出
$m_0{c}^2=\sqrt{E^2-p^2{c}^2}$，$p=mv$

广义相对论中的等效原理：惯性质量和引力质量是等价

推力

假设推力与质量流量恒定，气体出口速度均匀并指向轴向，总推力为：
$F=\dot{m}{v}_2+(p_2-p_3)A_2$
当$p_2=p_3$，则称发动机喷管具有最佳膨胀比
第一项为动量推力，是推进剂质量流量与排气相对飞行器的速度之积
第二项为压差推力，喷管出口面积乘以排气压力与环境压力之差

燃烧室内表面的压力$p_1$是最高的
喷管喉部压力$p_t$
喷管出口压力$p_2$
大气压$p_3$随高度增加而降低

补充—拉瓦尔喷管

拉瓦尔喷管，渐缩渐阔喷管（de Laval nozzle，convergent-divergent nozzle，CD nozzle，con-di nozzle）

拉瓦尔喷管三段中的流体为：亚音速、音速、超音速

等熵流动方程
$\frac{dp}{p}=\gamma \frac{d\rho }{\rho }$
$dp=c^{2}d\rho$
其中，$\gamma =C_p/C_v，c=\sqrt{\gamma \frac{p}{\rho }}=\sqrt{\gamma RT}$，$c$为音速

动量守恒方程
$u^{\prime }=u+(\frac{\Delta v}{\Delta x})\Delta x$
$p^{\prime }=p+(\frac{\Delta p}{\Delta x})\Delta x$
$A^{\prime }=A$
$\frac{\Delta x}{\Delta t}=v$
$m=\rho \Delta xA$

$F=ma=m\frac{\Delta v}{\Delta t}$
$pA-p^{\prime }{A}^{\prime }=m\frac{v^{\prime }-v}{\Delta t}$，将上面前三个方程代入得
$pA-(p+(\frac{\Delta p}{\Delta x})\Delta x)A=m\frac{(\frac{\Delta v}{\Delta x})\Delta x}{\Delta t}$，再代入后两个方程得
$-\frac{\Delta p}{\Delta x}=\rho v\frac{\Delta v}{\Delta x}$
$-\frac{dp}{dx}=\rho v\frac{dv}{dx}$
$\rho vdv=-dp$

连续性方程（质量守恒方程）
$\dot{m}=\rho vA=C$，$\dot{m}$为质量流量
$ln\rho +lnv+lnA=lnC$
$d(ln\rho +lnv+lnA)=0$
$\frac{d\rho }{\rho }+\frac{dv}{v}+\frac{dA}{A}=0$

由动量守恒方程、等熵流动方程联立得
$dp=c^{2}d\rho ,\rho vdv=-dp$
$-\rho vdv=c^{2}d\rho$
$-\rho M^{2}dv=vd\rho$
$-M^{2}dv/v=d\rho /\rho$
再将上面方程代入质量守恒方程得
$-M^{2}dv/v=d\rho /\rho ,\frac{d\rho }{\rho }+\frac{dv}{v}+\frac{dA}{A}=0$
$-M^{2}dv/v+\frac{dv}{v}+\frac{dA}{A}=0$
$(1-M^2)dv/v=-dA/A$

$(1-M^2)dv/v=-dA/A$
如果流动为超音速（$M>1$），若截面积增大（$dA>0$），则$dv>0$，即速度增加
如果流动为超音速（$M>1$），若截面积减小（$dA<0$），则$dv<0$，即速度减小
如果流动为亚音速（$M<1$），若截面积增大（$dA>0$），则$dv<0$，即速度减小
如果流动为亚音速（$M<1$），若截面积减小（$dA<0$），则$dv>0$，即速度增加
动量守恒$\rho vdv=-dp$，由于$\rho v>0$，因此$dv$与$dp$反号，即速度增加，压力减小；速度减小，压力增加

亚音速流可视为不可压缩流，密度恒定，而质量守恒$\rho vA=C$，因此面积减小时，速度增大；面积增大时，速度减小。

超音速流为可压缩流，密度变化，质量守恒$\rho vA=C$，因此面积减小时，$\rho v$增大；面积增大时，$\rho v$减小。
如果流动为超音速（$M>1$）$-M^{2}dv/v=d\rho /\rho$，则$-\rho /v>d\rho /dv$，$0>d\rho /dv$，因此$dv$与$d\rho$反号。
如果流动为超音速（$M>1$），$-M^{2}dv/v=d\rho /\rho$，则$|d(ln\rho )|>|d(lnv)|$，即速度变化量远小于密度变化量，$\rho v$的变化主要取决于$d\rho$。
因此，面积增大，$\rho v$增大，则$d\rho >0,dv<0$；面积减小，$\rho v$减小，则$d\rho <0,dv>0$。

https://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/airplane/conmo.html
https://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/airplane/isentrop.html
https://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/airplane/tunnozt.html

排气速度

等效排气速度 $c=v_2+(p_2-p_3)A_2/\dot{m}$

特征排气速度 $c^{\ast }=p_1{A}_t/\dot{m}$

能量与效率

射流功率为单位时间内输出的喷射物质动能
对于恒定的气体喷射速度$v$，射流功率$P_{jet}=\frac{\dot{m}{v}^2}{2}$

比功率为射流功率除以推进剂系统装填质量

化学火箭发动机输入功率 $P_{chem}=\dot{m}{Q}_{R}J$
单位质量化学推进剂能获得的最大能量为其燃烧反应热$Q_R$

化学火箭发动机燃烧效率是单位质量推进剂的实际反应热与理论反应热之比
燃烧效率乘以$P_{chem}$即为可用功率，可用功率被转换为排气射流的动能

化学火箭发动机内效率 ${\eta }_{int}=P_{jet}/({\eta }_{comb}{P}_{chem})$

推进剂热量 = 燃烧室可用能量 + 燃烧损失（不良混合、不完全燃烧）
燃烧室可用能量 = 排气射流总能量 + 壁面热量损失
排气射流总能量 = 排气射流动能 + 排气射流不可用热能
排气射流动能 = 可用于推进飞行器的能量 + 排气残余动能

飞行器功率 $P_{vehicle}=Fv$
推进效率 ${\eta }_p=P_{vehicle}/(P_{vehicle}+(\dot{w}/g_0)(c-u{)}^2/2)$