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猿创征文 |【算法面试入门必刷】动态规划-线性dp（一）

news 来源：原创 2024/4/26 4:36:04

【算法面试入门必刷】动态规划-线性dp（一）

前言
算法入门刷题训练
- 题目AB34：跳台阶
- - 题目分析
  - 理论准备
  - 题解
小结

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【算法面试入门必刷】动态规划-线性dp（一）

前言

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算法入门刷题训练

题目AB34：跳台阶

题目分析

描述
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。
数据范围：1≤n≤40
要求：时间复杂度：O(n)O(n) ，空间复杂度： O(1)O(1)

这道跳台阶的题目属于动态规划的入门题目，起初可以通过类似的入门题目的训练达到熟练掌握DP解题步骤的目的。分析题目可知，青蛙跳上一个n级台阶一共有两种方式：一个是从n-1阶台阶跳上来，一个是从n-2阶台阶上跳上来。因此我们只要求出跳上n-1阶台阶的方式以及跳上n-2阶台阶的方式，就得出了最后的答案，因此类推公式即：f(n) = f(n-1) + f(n-2)

理论准备

任何算法都有相对应的算法模板或者有规律的解题步骤。对于动态规划来讲，做DP相关的算法题要熟练掌握下面DP解题步骤，这样有助于在面对到各种各样的题目时能够提高解题效率：

DP解题步骤:

首先要确定dp数组：是一维，二维还是三维；以及下标的含义是什么？
根据确定好的dp数组，给出递推公式，也叫状态转移方程。
确定dp数组是否需要初始化，初始化为多少。
确定遍历的顺序；这一步在背包相关的DP题目中非常重要。
根据测试用例进行验证

题解

具体的解决方案如下：

首先确定dp数组：是一维，二维还是三维；以及下标的含义是什么？

// 这里使用一维dp即可
// dp[i] 表示青蛙跳上一个i级台阶总共有dp[i]种跳法
vector<int> dp(number+1);

根据确定好的dp数组，给出递推公式。

// 根据题目分析我们得出了以下递推公式
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];

确定dp数组是否需要初始化，初始化为多少。

// 根据本题的边界条件，需要特殊处理下标小于3的dp值
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;

确定遍历的顺序；这一步在背包相关的DP题目中非常重要。

// 本题从小到大遍历即可
for(int i{3};i <= number;++i){
    dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
}

根据测试用例进行验证：选择所有的测试用例带入验证即可。
完整代码如下：

class Solution {
public:
    int jumpFloor(int number) {
        if(number <= 2){
            return number;
        }
        vector<int> dp(number+1);
        
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        
        for(int i{3};i <= number;++i){
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        
        return dp[number];
    }
};