一、理论基础

1、樽海鞘群算法

请参考这里。

2、基于阶梯式Tent混沌的模拟退火樽海鞘群算法

（1）Tent混沌映射序列

请参考这里。

（2）“阶梯式”惯性权值

针对SSA算法容易陷入局部最优的缺陷，本文提出“阶梯式”惯性权值调整策略，惯性权值在算法前期取固定最大值用于提高算法的全局探索能力，在算法后期取固定最小值用来提高算法的局部开发能力，其表达式为：$$x_j^i=\frac{1}{2}\left(x_j^i+\omega (t)x_j^{i-1}\right)\text{\hspace{1em}(1)}$$$$\omega (t)=\{\begin{array}{l}{\omega }_{\max },t/T_{\max }\le \lambda \\ {\omega }_{\min },t/T_{\max }>\lambda \end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$其中，${\omega }_{\max }$为最大惯性权值，${\omega }_{\min }$为到最小惯性权值，$t$为当前迭代次数，$T_{\max }$为最大迭代次数。$\lambda \in (0,1)$表示迭代前期时间占整个周期的比例：取$\lambda >0.5$时，算法前期分配了更多的时间比例进行全局搜索，进而扩大寻优范围；取$\lambda >0.5$时，算法后期占用更多的时间进行局部开发，进而寻求更高的收敛精度。这样，通过调整$\lambda$，可有效地兼顾算法的全局探索能力和局部开发能力。通过多次尝试$(0,1)$范围内不同的$\lambda$的取值，观察对比寻优效果，最终确定$\lambda$的取值。

（3）模拟退火算法

模拟退火算法的特点为在一定的概率情况下保留劣质群体，增加种群的多样性，在一定程度上提高了跳出局部最优的能力。在全局寻优方面，本文采取模拟退火算法与SSA算法结合的方式，在SSA算法求出食物源位置之后再进行模拟退火处理，对食物源位置进行调整，其接受劣质群体概率的公式为：$$P=\{\begin{array}{l}1,f_{\text{new}}(X_j)<f(X_j)\\ \exp \left(-\left(f_{\text{new}}(X_j)-f(X_j)\right)/T\right),f_{\text{new}}(X_j)\ge f(X_j)\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$其中，$f_{\text{new}}(X_j)$是模拟退火阶段产生的新种群中第$j$个樽海鞘个体的适应度值，$T$表示第$j$次迭代温度，$f_{\text{new}}(X_j)$的值越小，表示适应度值越好，当$f_{\text{new}}(X_j)<f(X_j)$时，完全接受$f_{\text{new}}(X_j$(替换概率$P$为1)，否则以概率$P$接受劣质解$X_j$。引入模拟退火算法后的SSA算法，在食物源位置周围范围内初始化新的种群，以一定概率下接受劣质解来更新食物源位置，增加了领导者和追随者个体的多样性。

（4）STSA-SSA算法实现步骤

改进的SSA算法(STSA-SSA)具体实现步骤如下：
（1）设置算法参数并初始化种群：种群个数$N$，最大迭代次数$T_{\max }$，可调参数$\lambda$，惯性权值${\omega }_{\max }$和${\omega }_{\min }$；引入Tent混沌映射序列初始化种群，生成一个$N\times d$维的矩阵。
（2）计算适应度值：计算每个樽海鞘个体的适应度值，选取适应度值最小的个体位置作为食物源位置。
（3）领导者和追随者位置更新：选取一半的樽海鞘个体更新领导者位置，可调参数$\lambda$的变化，选定不同的惯性权值根据式(1)更新追随者位置。
（4）食物源位置更新：根据更新后的樽海鞘群个体计算适应度值，若小于原食物源位置的适应度值，则更新食物源位置。
（5）引入模拟退火算法：在原食物源位置周围随机产生一个新的种群，计算新种群个体的适应度值 .若新种群中樽海鞘个体适应度值小于食物源适应度值，则更新食物源位置，否则以式(3)中的概率$P$接受新种群中樽海鞘个体的位置，进行退温操作$t=t\times 0.99$，记录下整个迭代过程中适应度值最小的食物源位置及其适应度值。
（6）若当前迭代次数小于最大迭代次数，重复步骤3~5的迭代过程，直到达到设定的精度要求或最大迭代次数，输出最优个体位置及其适应度值。

二、仿真实验与结果分析

将STSA-SSA与MVO、MFO和SSA进行对比，以文献[1]中表1和表2的F1、F2、F3(单峰函数/30维)、F10、F11、F12(多峰函数/30维)为例，实验设置种群规模为100，最大迭代次数为1000，每种算法独立运算30次，结果显示如下：

函数：F1
MVO：最差值: 0.16708, 最优值: 0.029536, 平均值: 0.10159, 标准差: 0.025637
MFO：最差值: 10000, 最优值: 2.6301e-06, 平均值: 1333.3333, 标准差: 3457.459
SSA：最差值: 9.5666e-09, 最优值: 4.4115e-09, 平均值: 6.5361e-09, 标准差: 1.4628e-09
STSA-SSA：最差值: 2.6884e-92, 最优值: 1.2088e-98, 平均值: 9.0129e-94, 标准差: 4.9075e-93
函数：F2
MVO：最差值: 0.035861, 最优值: 0.006563, 平均值: 0.011629, 标准差: 0.0055055
MFO：最差值: 1.2383e-18, 最优值: 4.235e-21, 平均值: 2.3603e-19, 标准差: 3.1721e-19
SSA：最差值: 1.5893e-05, 最优值: 4.4389e-06, 平均值: 6.5287e-06, 标准差: 2.214e-06
STSA-SSA：最差值: 8.9203e-15, 最优值: 4.6592e-21, 平均值: 3.6398e-16, 标准差: 1.6493e-15
函数：F3
MVO：最差值: 15.0338, 最优值: 1.855, 平均值: 6.0894, 标准差: 2.7983
MFO：最差值: 38335.8903, 最优值: 171.7988, 平均值: 17000.3493, 标准差: 10693.5973
SSA：最差值: 4.8528, 最优值: 0.0021096, 平均值: 1.1182, 标准差: 1.2449
STSA-SSA：最差值: 5.045e-97, 最优值: 1.4767e-98, 平均值: 8.6227e-98, 标准差: 9.4178e-98
函数：F10
MVO：最差值: 0.050032, 最优值: 0.0044728, 平均值: 0.025348, 标准差: 0.012522
MFO：最差值: 5.4708, 最优值: 9.2939e-08, 平均值: 0.31057, 标准差: 1.1632
SSA：最差值: 0.049064, 最优值: 3.2022e-10, 平均值: 0.0082862, 标准差: 0.01157
STSA-SSA：最差值: 6.1288e-09, 最优值: 0, 平均值: 3.3234e-10, 标准差: 1.2586e-09
函数：F11
MVO：最差值: 2.7289, 最优值: 0.0017116, 平均值: 1.0302, 标准差: 0.93786
MFO：最差值: 1.7121, 最优值: 3.5278e-06, 平均值: 0.18911, 标准差: 0.35454
SSA：最差值: 10.749, 最优值: 6.4423e-11, 平均值: 3.3794, 标准差: 2.7545
STSA-SSA：最差值: 1.9876e-10, 最优值: 7.5058e-11, 平均值: 1.157e-10, 标准差: 2.9888e-11
函数：F12
MVO：最差值: 0.019505, 最优值: 0.0013189, 平均值: 0.006964, 标准差: 0.0058636
MFO：最差值: 1.5975, 最优值: 1.0127e-06, 平均值: 0.058764, 标准差: 0.29075
SSA：最差值: 0.021024, 最优值: 7.8156e-11, 平均值: 0.0068636, 标准差: 0.007149
STSA-SSA：最差值: 2.9661, 最优值: 8.1418e-11, 平均值: 0.39841, 标准差: 1.0244

实验结果表明：对于单峰和多峰测试函数，改进后的樽海鞘群算法具有更快的收敛速度和更强的全局寻优能力。

三、参考文献

[1] 周鹏, 董朝轶, 陈晓艳, 等. 基于阶梯式Tent混沌和模拟退火的樽海鞘群算法[J]. 电子学报, 2021, 49(9): 1724-1735.