最长上升子序列(LIS)
最长上升子序列 ( L I S ) (LIS) (LIS),就是求一个序列的最长子序列,满足子序列中的元素严格单调递增。
一般求法
设 f i f_i fi表示前 i i i个元素中包含第 i i i个元素的最长上升子序列的长度。则可列出DP式:
f i = min f j + 1 f_i=\min f_j+1 fi=minfj+1,其中 j j j满足 1 ≤ j < i 1\leq j<i 1≤j<i且 a i > a j a_i>a_j ai>aj
这样求LIS最简单,时间复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[10005],f[10005];
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
f[1]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<i;j++)
if(a[i]>a[j]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
}
printf("%d",f[n]);
return 0;
}
特殊求法
对于一个序列,假设已经求出了前 i i i个数的最长上升子序列,在加入第 i + 1 i+1 i+1个数时,在当前数列中找到第一个大于等于它的数。如果有,则用新加入的数替换;否则将新加入的数放在队尾。
我们来一个例子:
对于序列 1 , 2 , 5 , 7 , 4 , 5 , 3 1,2,5,7,4,5,3 1,2,5,7,4,5,3
- 加入第一个元素 1 1 1,目前最长上升子序列为 1 1 1
- 加入第二个元素 2 2 2,目前最长上升子序列为 1 , 2 1,2 1,2
- 加入第三个元素 5 5 5,目前最长上升子序列为 1 , 2 , 5 1,2,5 1,2,5
- 加入第四个元素 7 7 7,目前最长上升子序列为 1 , 2 , 5 , 7 1,2,5,7 1,2,5,7
- 加入第五个元素 4 4 4,目前最长上升子序列为 1 , 2 , 4 , 7 1,2,4,7 1,2,4,7
- 加入第六个元素 5 5 5,目前最长上升子序列为 1 , 2 , 4 , 5 , 7 1,2,4,5,7 1,2,4,5,7
- 加入第七个元素 3 3 3,目前最长上升子序列为 1 , 2 , 3 , 5 , 7 1,2,3,5,7 1,2,3,5,7
虽然最终得到的序列不是最长上升子序列,但该序列的长度与最长上升子序列相同。如果题目只是求LIS的长度,则用这个方法可以解决,而且时间复杂度为 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)。这个解释起来比较繁琐,但仔细想想,多试几个例子就可以理解它是可行的。
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,l=1,x,a[10005];
int main()
{
scanf("%d",&n);
scanf("%d",&a[l]);
for(int i=2;i<=n;i++){
scanf("%d",&x);
if(x>a[l]) a[++l]=x;
else{
int t=lower_bound(a+1,a+l+1,x)-a;
a[t]=x;
}
}
printf("%d",l);
return 0;
}