非参数秩方法，即不假定总体分布的具体形式，从数据本身获得所需信息，适用范围广，但忽略了分布类型，针对性差。

本文主要参考《数据分析》范金城，梅长林主编. -2版.

两种处理方法比较的秩检验

首先理解「秩」是什么，秩即顺序，是数据排序之后的位置。比如N个数据{3，2，4，1，5}，若按从小到大排序可以得到排序结果{1，2，3，4，5}，也就是第一个数据3的秩S₁为3，以此类推S₂=2，S₃=4，S₄=1，S₅=5。

此节即通过秩来比较两种不同处理方法的优劣，也就是将N个数据分为两组，两组分别用两种不同的处理方法，分别为$n$和$m$个（$m$=N-$n$），共$C_N^n$种分法，每种分配方式出现概率为$\frac{1}{C_N^n}$。

检验零假设$H_0$：两方法处理效果无显著差异。由于分组是随机的，则秩$(S_1,S_2,\cdot \cdot \cdot ,S_n)$的零分布 P H 0 { S 1 = s 1 , S 2 = s 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , S n = s n } = 1 C N n P_{H_0}\{S_1=s_1,S_2=s_2,···,S_n=s_n\}=\frac{1}{C_N^{n}} PH0​​{S1​=s1​,S2​=s2​,⋅⋅⋅,Sn​=sn​}=CNn​1​。

Wilcoxon秩和检验

1. 单边假设检验

单边假设即在实验前认为新方法比旧方法好，比如是旧方法的改进版。备择假设$H_1$：新方法优于对照方法。

N个数据分为$n$和$m$个，排序后得到秩，秩分别记为$(S_1,S_2,\cdot \cdot \cdot ,S_n)$和$(R_1,R_2,\cdot \cdot \cdot ,R_m)$，记秩和为$W$，即$W_s=S_1+S_2+\cdot \cdot \cdot +S_n$，同理$W_r=R_1+R_2+\cdot \cdot \cdot +R_m$，得到各种组合情况下的秩和后，即可得到对应零分布。

其实$W_s$和$W_r$的零分布是相同的，用来检验$H_0$也是等价的，即可以算$n$和$m$中较小一个即可。

根据零分布计算$p$值， p = P H 0 { W s ≥ w s } p=P_{H_0}\{W_s≥w_s\} p=PH0​​{Ws​≥ws​}，与题目给的显著水平$\alpha$比较，若$p<\alpha$，则拒绝$H_0$，认为新方法比就方法好，否则接受$H_0$，认为两者不存在显著差异。

• 习题2.1.(1)：求$m$=2，$n$=4情况下，Wilcoxon秩和统计量$W_s$和$W_r$的零分布。
  解：$(S_1$,$S_2$,$S_3$,$S_4)$取各组值对应$W_s$如下表所示：

由上表得$W_s$的零分布，如下表所示：

$(R_1$,$R_2)$取各组值对应$W_r$如下表所示：

由上表得$W_r$的零分布，如下表所示：

2. 双边假设检验

双边假设检验即两种方法对我们来说都是新方法，实验前不知道哪个更优。备择假设$H_1$：两方法有显著差异。

同样两组，换了符号为A、B，$W_A$为A组秩和，零分布求法一致，概率值 P H 0 { W A ≥ w A } P_{H_0}\{W_A≥w_A\} PH0​​{WA​≥wA​}和 P H 0 { W A ≤ w A } P_{H_0}\{W_A≤w_A\} PH0​​{WA​≤wA​}，$p$值为这两个概率值中小于1/2的那个的2倍。

同样与显著水平$\alpha$比较，若$p<\alpha$，则拒绝$H_0$，否则接受$H_0$，不再赘述。

3. 结点处理

上述方法是不存在结点的情况，所谓结点可理解为排序相同的点，比如对实验结果排序时，是按档次评价的，若干个结果的属于一个档次，秩相同。

设$d$个个体形成一个结点，对应位置$l,l+1,\cdot \cdot \cdot ,l+d-1$，比如ABBC对应秩为1224。

使用中间秩=$l+\frac{d-1}{2}$，记中间秩和为$W_s^{\ast }$和$W_r^{\ast }$，有

期望$E(W_s^{\ast })=\frac{1}{2}n(N+1)$

方差$Var(W_s^{\ast })=\frac{1}{12}mn(N+1)-\frac{mn{\sum }_{i=1}^l{d}_i^3-d_i}{12N(N-1)}$

用标准正态分布代替，$\Phi (c)=P_{H_0}(\frac{W_s^{\ast }-E(W_s^{\ast })}{\sqrt{Var(W_s^{\ast })}}\le c)$

$p=1-\Phi (c)$，与题目显著水平$\alpha$比较，若$p<\alpha$则拒绝$H_0$，反之接受$H_0$

公式很多很复杂，考前摇一摇。

• 习题2.4：为了比较两种不同的心理咨询方法的效果,将80位接受心理咨询的人随机地分为两组，每组40人，其中一组接受一般的心理咨询，另一组接受特殊的心理咨询,试验结束后,将每个人的心理调整效果做仔细评估,并分为好、较好、较差和差四档,数据如表2.23所示.
  
  解：N=80，$n$=$m$=40，$l$=4，$d_1$=12，$d_2$=16，$d_3$=31，$d_4$=21。
  计算中间秩如下所示：
  好：$1+\frac{12-1}{2}=6.5$
  较好：$13+\frac{16-1}{2}=20.5$
  较差：$29+\frac{31-1}{2}=44$
  差：$60+\frac{21-1}{2}=70$
  秩和$W_s^{\ast }=8\times 6.5+10\times 20.5+14\times 44+8\times 70=1433$
  期望$E(W_s^{\ast })=1620$
  方差$Var(W_s^{\ast })=9855$
  p = P H 0 { W s ∗ ≥ 1433 } = P H 0 ( W s ∗ − E ( W s ∗ ) V a r ( W s ∗ ) ≥ 1433 − 1620 99.272 ) ≈ 1 − Φ ( − 1.87 ) = 0.03 < 0.10 p=P_{H_0}\{W_s^*≥1433\}=P_{H_0}(\frac{W_s^*-E(W_s^*)}{\sqrt{Var(W_s^*)}}≥\frac{1433-1620}{99.272})≈1-\Phi(-1.87)=0.03<0.10 p=PH0​​{Ws∗​≥1433}=PH0​​(Var(Ws∗​) ​Ws∗​−E(Ws∗​)​≥99.2721433−1620​)≈1−Φ(−1.87)=0.03<0.10
  由于$p<\alpha$，故拒绝$H_0$，认为特殊心理咨询方法优于一般方法。

Smirnov检验

当一组数据分散性小，一组数据分散性大时， Wilcoxon秩和检验不能区分这种差异。使用Smirnov检验能很好反映两种方法处理效果的各种差异。

定义经验分布函数 F k ( x ) = # { x i ≤ x } k F_k(x)=\frac{\#\{x_i≤x\}}{k} Fk​(x)=k#{xi​≤x}​，其中 # { x i ≤ x } \#\{x_i≤x\} #{xi​≤x}表示$x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_k$中小于等于$x$的个数。比如1、2、3的经验函数分别为$\frac{1}{3}$、$\frac{2}{3}$、$1$。

定义统计量$D_{m,n}=max|G_m(x)-F_n(x)|$，即取两组经验分布函数差值的最大值。

p = P H 0 { D m , n ≥ c } p=P_{H_0}\{D_{m,n}≥c\} p=PH0​​{Dm,n​≥c}，$p<\alpha$时拒绝$H_0$，反之接受$H_0$。

• 习题2.5：下面是1996年华北五省市区和华东七省市的国民生产总值(GDP)的指数(前一年为100);
  华北五省市区GDP指数: 109. 2，114.3，113.5，111.0，112.7
  华东七省市的GDP指数: 113.0，112.2，112.7，114 4，115.4，113.4，112.2
  利用Smirnov检验法检验这两个地区的GDP指数是否有显著差异($\alpha$=0.10).

解：
将数据排序后得到秩，A：1 2 5 9 10；B：3 3 5 7 8 11 12

由上表的$D_{7,5}$的观测值$d=\frac{2}{5}$
p = P H 0 { D 7 , 5 ≥ 2 5 } = 1 12 < α p=P_{H_0}\{D_{7,5}≥\frac{2}{5}\}=\frac{1}{12}<\alpha p=PH0​​{D7,5​≥52​}=121​<α
故拒绝$H_0$，认为这两个地区GDP有显著差异。

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成对分组设计下两种处理方法的比较

成对分组把数据分为若干组，每个组中的差异都很小，称为齐性组。再把齐性组分为两部分，分别接受两种方法的实验，检验两种方法效果差异。

符号检验

令$I_i=\{\begin{array}{l}1，第i对个体中,新方法效果优于对照方法\\ 0，否则\end{array}$
记统计量$S_N={\sum }_{i=1}^N{I}_i$
可以理解为每一对做差，取正号的总数，即符号检验。

由于每一对中两个数据随机分给两种实验方法，概率为$\frac{1}{2}$，有
P H 0 { S N = k } = 1 2 N C N k P_{H_0}\{S_N=k\}=\frac{1}{2^N}C_N^k PH0​​{SN​=k}=2N1​CNk​，$k=0,1,\cdot \cdot \cdot ,N$
p = P H 0 { S N ≥ c } p=P_{H_0}\{S_N≥c\} p=PH0​​{SN​≥c}
同样的，$p<\alpha$时拒绝$H_0$，反之接受$H_0$。

• 习题2.7.(1)：对$N$=4时求符号检验统计量$S_N$的零分布。
  解：
  P H 0 { S N = 0 } = 1 2 0 C 4 0 = 1 16 P_{H_0}\{S_N=0\}=\frac{1}{2^0}C_4^0=\frac{1}{16} PH0​​{SN​=0}=201​C40​=161​
  P H 0 { S N = 1 } = 1 2 1 C 4 1 = 4 16 P_{H_0}\{S_N=1\}=\frac{1}{2^1}C_4^1=\frac{4}{16} PH0​​{SN​=1}=211​C41​=164​
  P H 0 { S N = 2 } = 1 2 2 C 4 2 = 6 16 P_{H_0}\{S_N=2\}=\frac{1}{2^2}C_4^2=\frac{6}{16} PH0​​{SN​=2}=221​C42​=166​
  P H 0 { S N = 3 } = 1 2 3 C 4 3 = 4 16 P_{H_0}\{S_N=3\}=\frac{1}{2^3}C_4^3=\frac{4}{16} PH0​​{SN​=3}=231​C43​=164​
  P H 0 { S N = 4 } = 1 2 4 C 4 4 = 1 16 P_{H_0}\{S_N=4\}=\frac{1}{2^4}C_4^4=\frac{1}{16} PH0​​{SN​=4}=241​C44​=161​

Wilcoxon符号秩检验

符号检验中并未考虑差值的大小，Wilcoxon符号秩检验进一步考虑了差异值。

令$N_{+}$=新方法与对照方法效果度量值之差为正的配对数
对每个差值的绝对值赋予秩，并根据原差值赋予正负号，得到符号秩。

记$S_1<S_2<\cdot \cdot \cdot S_{N+}$表示为正的秩，为负用$R$表示。
零分布 P H 0 = { V s = v } = # { v ; N } 2 N P_{H_0}=\{V_s=v\}=\frac{\#\{v;N\}}{2^N} PH0​​={Vs​=v}=2N#{v;N}​，其中n=0,1,···,$\frac{N(N+1)}{2}$
其中， # { v ; N } \#\{v;N\} #{v;N}表示所有可能出现的$2^N$种符号秩情形中，正号秩之和为$v$的个数。

定义秩和统计量$V_s=S_1+S_2+\cdot \cdot \cdot +S_{N_{+}}$
p = P H 0 { V s ≥ c } p=P_{H_0}\{V_s≥c\} p=PH0​​{Vs​≥c}

• 习题2.9：对$N$=4，求Wilcoxon符号秩统计量$V_s$的零分布。
  解：符号秩各种取值情况如下表所示：

得$V_s$零分布：

多种处理方法比较

前面都是两种处理方法的比较，现介绍三种及以上处理方法的比较。

Kruskal-Wallis检验

假设$H_0$：各处理方法的效果无显著差异。
令$R_i^{+}$表示各组秩和

统计量$K=\frac{12}{N(N+1)}{\sum }_{i=1}^s\frac{R_{i+}^2}{n_i}-3(N+1)$

$p$由 P H 0 { K ≥ c } P_{H_0}\{K≥c\} PH0​​{K≥c}确定。

援引书上例子：

分组设计下多种处理方法的比较

即将成对分组应用到多种处理方法中。

令$R_{ij}$表示第$j$组中接受第$i$种方法检验的个体的秩。
各组中$s$个个体随机指定给$s$个方法，即$s!$种分配法。
P H 0 { R 11 = r 11 , R s 1 = r s 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , R 1 N = r 1 N , R s N = r s N } = ( 1 s ! ) N P_{H_0}\{R_{11}=r_{11},R_{s1}=r_{s1},···,R_{1N}=r_{1N},R_{sN}=r_{sN}\}={(\frac{1}{s!})}^N PH0​​{R11​=r11​,Rs1​=rs1​,⋅⋅⋅,R1N​=r1N​,RsN​=rsN​}=(s!1​)N

Friedman检验

设接受第$i$个方法实验的$N$个个体的秩的平均值为$R_{i\cdot }$（i=1,2,···,s）
$R_{i\cdot }=\frac{1}{N}(R_{i1}+R_{i2}+\cdot \cdot \cdot +R_{iN})$

统计量$Q=\frac{12}{Ns(s+1)}{\sum }_{i=1}^s{R}_{i+}^2-3N(s+1)$
其中$R_i^{+}$仍是表示各组秩和

$p$由 P H 0 { Q ≥ c } P_{H_0}\{Q≥c\} PH0​​{Q≥c}确定。

仍援引书上例子（计算量太大了，都是计算机算）

本文主要介绍了非参数秩方法中各种检测方法的原理，其实都有相应的封装可以调用的，比如Python中的Scipy库，下次介绍Scipy中具体编程应用（挖个坑）。

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