高等数学（第七版）同济大学 习题8-2 个人解答
高等数学（第七版）同济大学 习题8-2
1. 设 a = 3 i − j − 2 k ， b = i + 2 j − k ，求 ( 1 ) a ⋅ b 及 a × b ； ( 2 ) ( − 2 a ) ⋅ 3 b 及 a × 2 b ； ( 3 ) a 、 b 的夹角的余弦 . \begin{aligned}&1. \ 设a=3i-j-2k，b=i+2j-k，求\\\\&\ \ \ \ (1)\ a \cdot b及a \times b；(2)\ (-2a)\cdot 3b及a \times 2b；(3)\ a、b的夹角的余弦.&\end{aligned} 1. 设a=3i−j−2k，b=i+2j−k，求 (1) a⋅b及a×b；(2) (−2a)⋅3b及a×2b；(3) a、b的夹角的余弦.
解：
( 1 ) a ⋅ b = ( 3 , − 1 , − 2 ) ⋅ ( 1 , 2 , − 1 ) = 3 × 1 + ( − 1 ) × 2 + ( − 2 ) × ( − 1 ) = 3 a × b = ∣ i j k 3 − 1 − 2 1 2 − 1 ∣ = ( 5 , 1 , 7 ) . ( 2 ) ( − 2 a ) ⋅ 3 b = − 6 ( a ⋅ b ) = − 6 × = − 18 ， a × 2 b = 2 ( a × b ) = 2 ( 5 , 1 , 7 ) = ( 10 , 2 , 14 ) . ( 3 ) c o s ( a , b ^ ) = a ⋅ b ∣ a ∣ ∣ b ∣ = 3 3 2 + ( − 1 ) 2 + ( − 2 ) 2 1 2 + 2 2 + ( − 1 ) 2 = 3 2 21 . \begin{aligned} &\ \ (1)\ a \cdot b=(3, \ -1, \ -2) \cdot (1, \ 2, \ -1)=3 \times 1+(-1)\times 2+(-2)\times(-1)=3\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ a \times b=\left|\begin{array}{cccc}i & j &k\\3 &-1 &-2\\1 &2 &-1\end{array}\right|=(5, \ 1, \ 7).\\\\ &\ \ (2)\ (-2a) \cdot 3b=-6(a \cdot b)=-6 \times=-18，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ a \times 2b=2(a \times b)=2(5, \ 1, \ 7)=(10, \ 2, \ 14).\\\\ &\ \ (3)\ cos\ (\widehat{a, \ b})=\frac{a \cdot b}{|a|\ |b|}=\frac{3}{\sqrt{3^2+(-1)^2+(-2)^2}\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}}=\frac{3}{2\sqrt{21}}. & \end{aligned} (1) a⋅b=(3, −1, −2)⋅(1, 2, −1)=3×1+(−1)×2+(−2)×(−1)=3 a×b=∣ ∣i31j−12k−2−1∣ ∣=(5, 1, 7). (2) (−2a)⋅3b=−6(a⋅b)=−6×=−18， a×2b=2(a×b)=2(5, 1, 7)=(10, 2, 14). (3) cos (a, b )=∣a∣ ∣b∣a⋅b=32+(−1)2+(−2)212+22+(−1)23=2213.
2. 设 a 、 b 、 c 为单位向量，且满足 a + b + c = 0 ，求 a ⋅ b + b ⋅ c + c ⋅ a . \begin{aligned}&2. \ 设a、b、c为单位向量，且满足a+b+c=0，求a\cdot b+b\cdot c+c\cdot a.&\end{aligned} 2. 设a、b、c为单位向量，且满足a+b+c=0，求a⋅b+b⋅c+c⋅a.
解：
已知 ∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = 1 ， a + b + c = 0 ，所以 ( a + b + c ) ⋅ ( a + b + c ) = 0 ， 即 ∣ a ∣ 2 + ∣ b ∣ 2 + ∣ c ∣ 2 + 2 a ⋅ b + 2 b ⋅ c + 2 c ⋅ a = 0 ，所以 a ⋅ b + b ⋅ c + c ⋅ a = − 1 2 ( ∣ a ∣ 2 + ∣ b ∣ 2 + ∣ c ∣ 2 ) = − 3 2 . \begin{aligned} &\ \ 已知|a|=|b|=|c|=1，a+b+c=0，所以(a+b+c)\cdot(a+b+c)=0，\\\ &\ \ 即|a|^2+|b|^2+|c|^2+2a\cdot b+2b\cdot c+2c\cdot a=0，所以a\cdot b+b\cdot c+c\cdot a=-\frac{1}{2}(|a|^2+|b|^2+|c|^2)=-\frac{3}{2}. & \end{aligned} 已知∣a∣=∣b∣=∣c∣=1，a+b+c=0，所以(a+b+c)⋅(a+b+c)=0， 即∣a∣2+∣b∣2+∣c∣2+2a⋅b+2b⋅c+2c⋅a=0，所以a⋅b+b⋅c+c⋅a=−21(∣a∣2+∣b∣2+∣c∣2)=−23.
3. 已知 M 1 ( 1 , − 1 , 2 ) ， M 2 ( 3 , 3 , 1 ) 和 M 3 ( 3 , 1 , 3 ) ，求与 M 1 M 2 → 、 M 2 M 3 → 同时垂直的单位向量 . \begin{aligned}&3. \ 已知M_1(1, \ -1, \ 2)，M_2(3, \ 3, \ 1)和M_3(3, \ 1, \ 3)，求与\overrightarrow{M_1M_2}、\overrightarrow{M_2M_3}同时垂直的单位向量.&\end{aligned} 3. 已知M1(1, −1, 2)，M2(3, 3, 1)和M3(3, 1, 3)，求与M1M2、M2M3同时垂直的单位向量.
解：
M 1 M 2 → = ( 3 − 1 , 3 − ( − 1 ) , 1 − 2 ) = ( 2 , 4 , − 1 ) ， M 2 M 3 → = ( 3 − 3 , 1 − 3 , 3 − 1 ) = ( 0 , − 2 , 2 ) ， 因为 M 1 M 2 → × M 2 M 3 → 与 M 1 M 2 → ， M 2 M 3 → 同时垂直，所以所求向量可取为 a = ± ( M 1 M 2 → × M 2 M 3 → ) ∣ M 1 M 2 → × M 2 M 3 → ∣ ， 由于 M 1 M 2 → × M 2 M 3 → = ∣ i j k 2 4 − 1 0 − 2 2 ∣ = ( 6 , − 4 , − 4 ) ， ∣ M 1 M 2 → × M 2 M 3 → ∣ = 6 2 + ( − 4 ) 2 + ( − 4 ) 2 = 2 17 ， 则 a = ± 1 2 17 ( 6 , − 4 , − 4 ) = ± ( 3 17 , − 2 17 , − 2 17 ) . \begin{aligned} &\ \ \overrightarrow{M_1M_2}=(3-1, \ 3-(-1), \ 1-2)=(2, \ 4, \ -1)，\overrightarrow{M_2M_3}=(3-3, \ 1-3, \ 3-1)=(0, \ -2, \ 2)，\\\\ &\ \ 因为\overrightarrow{M_1M_2}\times \overrightarrow{M_2M_3}与\overrightarrow{M_1M_2}，\overrightarrow{M_2M_3}同时垂直，所以所求向量可取为a=\frac{\pm(\overrightarrow{M_1M_2}\times \overrightarrow{M_2M_3})}{|\overrightarrow{M_1M_2}\times \overrightarrow{M_2M_3}|}，\\\\ &\ \ 由于\overrightarrow{M_1M_2}\times \overrightarrow{M_2M_3}=\left|\begin{array}{cccc}i & j &k\\2 &4 &-1\\0 &-2 &2\end{array}\right|=(6, \ -4, \ -4)，|\overrightarrow{M_1M_2}\times \overrightarrow{M_2M_3}|=\sqrt{6^2+(-4)^2+(-4)^2}=2\sqrt{17}，\\\\ &\ \ 则a=\frac{\pm 1}{2\sqrt{17}}(6, \ -4, \ -4)=\pm \left(\frac{3}{\sqrt{17}}, \ -\frac{2}{\sqrt{17}}, \ -\frac{2}{\sqrt{17}}\right). & \end{aligned} M1M2=(3−1, 3−(−1), 1−2)=(2, 4, −1)，M2M3=(3−3, 1−3, 3−1)=(0, −2, 2)， 因为M1M2×M2M3与M1M2，M2M3同时垂直，所以所求向量可取为a=∣M1M2×M2M3∣±(M1M2×M2M3)， 由于M1M2×M2M3=∣ ∣i20j4−2k−12∣ ∣=(6, −4, −4)，∣M1M2×M2M3∣=62+(−4)2+(−4)2=217， 则a=217±1(6, −4, −4)=±(173, −172, −172).
4. 设质量为 100 k g 的物体从点 M 1 ( 3 , 1 , 8 ) 沿直线移动到点 M 2 ( 1 , 4 , 2 ) ，计算重力所作的功（坐标系长度 单位为 m ，重力方向为 z 轴负方向） . \begin{aligned}&4. \ 设质量为100kg的物体从点M_1(3, \ 1, \ 8)沿直线移动到点M_2(1, \ 4, \ 2)，计算重力所作的功（坐标系长度\\\\&\ \ \ \ 单位为m，重力方向为z轴负方向）.&\end{aligned} 4. 设质量为100kg的物体从点M1(3, 1, 8)沿直线移动到点M2(1, 4, 2)，计算重力所作的功（坐标系长度 单位为m，重力方向为z轴负方向）.
解：
M 1 M 2 → = ( 1 − 3 , 4 − 1 , 2 − 8 ) = ( − 2 , 3 , − 6 ) ， F = ( 0 , 0 , − 100 × 9.8 ) = ( 0 , 0 , − 980 ) ， W = F ⋅ M 1 M 2 → = ( 0 , 0 , − 980 ) ⋅ ( − 2 , 3 , − 6 ) = 5880 ( J ) \begin{aligned} &\ \ \overrightarrow{M_1M_2}=(1-3, \ 4-1, \ 2-8)=(-2, \ 3, \ -6)，F=(0, \ 0, \ -100\times 9.8)=(0, \ 0, \ -980)，\\\\ &\ \ W=F\cdot \overrightarrow{M_1M_2}=(0, \ 0, \ -980) \cdot (-2, \ 3, \ -6)=5880\ (J) & \end{aligned} M1M2=(1−3, 4−1, 2−8)=(−2, 3, −6)，F=(0, 0, −100×9.8)=(0, 0, −980)， W=F⋅M1M2=(0, 0, −980)⋅(−2, 3, −6)=5880 (J)
5. 在杠杆上支点 O 的一侧与点 O 的距离为 x 1 的点 P 1 处，有一与 O P 1 → 成角 θ 1 的力 F 1 作用着；在 O 的另一侧 与点 O 的距离为 x 2 的点 P 2 处，有一与 O P 2 → 成角 θ 2 的力 F 2 作用着（图 8 − 27 ），问 θ 1 、 θ 2 、 x 1 、 x 2 、 ∣ F 1 ∣ 、 ∣ F 2 ∣ 符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？ \begin{aligned}&5. \ 在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x_1的点P_1处，有一与\overrightarrow{OP_1}成角\theta_1的力F_1作用着；在O的另一侧\\\\&\ \ \ \ 与点O的距离为x_2的点P_2处，有一与\overrightarrow{OP_2}成角\theta_2的力F_2作用着（图8-27），问\theta_1、\theta_2、x_1、x_2、\\\\&\ \ \ \ |F_1|、|F_2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？&\end{aligned} 5. 在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1的点P1处，有一与OP1成角θ1的力F1作用着；在O的另一侧 与点O的距离为x2的点P2处，有一与OP2成角θ2的力F2作用着（图8−27），问θ1、θ2、x1、x2、 ∣F1∣、∣F2∣符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？
解：
已知固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又因为对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡 的条件为 ∣ F 1 ∣ x 1 s i n θ 1 − ∣ F 2 ∣ x 2 s i n θ 2 = 0 ，即 ∣ F 1 ∣ x 1 s i n θ 1 = ∣ F 2 ∣ x 2 s i n θ 2 . \begin{aligned} &\ \ 已知固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又因为对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡\\\\ &\ \ 的条件为|F_1|x_1sin\ \theta_1-|F_2|x_2sin\ \theta_2=0，即|F_1|x_1sin\ \theta_1=|F_2|x_2sin\ \theta_2. & \end{aligned} 已知固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又因为对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡 的条件为∣F1∣x1sin θ1−∣F2∣x2sin θ2=0，即∣F1∣x1sin θ1=∣F2∣x2sin θ2.
6. 求向量 a = ( 4 , − 3 , 4 ) 在向量 b = ( 2 , 2 , 1 ) 上的投影 . \begin{aligned}&6. \ 求向量a=(4, \ -3, \ 4)在向量b=(2, \ 2, \ 1)上的投影.&\end{aligned} 6. 求向量a=(4, −3, 4)在向量b=(2, 2, 1)上的投影.
解：
P r j b a = a ⋅ b ∣ b ∣ = ( 4 , − 3 , 4 ) ⋅ ( 2 , 2 , 1 ) 2 2 + 2 2 + 1 2 = 2 \begin{aligned} &\ \ Prj_ba=\frac{a\cdot b}{|b|}=\frac{(4, \ -3, \ 4)\cdot (2, \ 2, \ 1)}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=2 & \end{aligned} Prjba=∣b∣a⋅b=22+22+12(4, −3, 4)⋅(2, 2, 1)=2
7. 设 a = ( 3 , 5 , − 2 ) ， b = ( 2 , 1 , 4 ) ，问 λ 与 μ 有怎样的关系，能使得 λ a + μ b 与 z 轴垂直？ \begin{aligned}&7. \ 设a=(3, \ 5, \ -2)，b=(2, \ 1, \ 4)，问\lambda与\mu有怎样的关系，能使得\lambda a+\mu b与z轴垂直？&\end{aligned} 7. 设a=(3, 5, −2)，b=(2, 1, 4)，问λ与μ有怎样的关系，能使得λa+μb与z轴垂直？
解：
λ a + μ b = λ ( 3 , 5 , − 2 ) + μ ( 2 , 1 , 4 ) = ( 3 λ + 2 μ , 5 λ + μ , − 2 λ + 4 μ ) ，要使 λ a + μ b 与 z 轴垂直， 即要 ( λ a + μ b ) ⊥ ( 0 , 0 , 1 ) ，即 ( λ a + μ b ) ⋅ ( 0 , 0 , 1 ) = 0 ， ( 3 λ + 2 μ , 5 λ + μ , − 2 λ + 4 μ ) ⋅ ( 0 , 0 , 1 ) = 0 ， 所以 − 2 λ + 4 μ = 0 ，因此当 λ = 2 μ 时能使 λ a + μ b 与 z 轴垂直。 \begin{aligned} &\ \ \lambda a+\mu b=\lambda(3, \ 5, \ -2)+\mu(2, \ 1, \ 4)=(3\lambda+2\mu, \ 5\lambda+\mu, \ -2\lambda+4\mu)，要使\lambda a+\mu b与z轴垂直，\\\\ &\ \ 即要(\lambda a+\mu b) \bot (0, \ 0, \ 1)，即(\lambda a+\mu b) \cdot (0, \ 0, \ 1)=0，(3\lambda+2\mu, \ 5\lambda+\mu, \ -2\lambda+4\mu) \cdot (0, \ 0, \ 1)=0，\\\\ &\ \ 所以-2\lambda+4\mu=0，因此当\lambda=2\mu时能使\lambda a+\mu b与z轴垂直。 & \end{aligned} λa+μb=λ(3, 5, −2)+μ(2, 1, 4)=(3λ+2μ, 5λ+μ, −2λ+4μ)，要使λa+μb与z轴垂直， 即要(λa+μb)⊥(0, 0, 1)，即(λa+μb)⋅(0, 0, 1)=0，(3λ+2μ, 5λ+μ, −2λ+4μ)⋅(0, 0, 1)=0， 所以−2λ+4μ=0，因此当λ=2μ时能使λa+μb与z轴垂直。
8. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角 . \begin{aligned}&8. \ 试用向量证明直径所对的圆周角是直角.&\end{aligned} 8. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角.
解：
如图
8
−
7
，设
A
B
是圆
O
的直径，
C
点在圆周上，要证
∠
A
C
B
=
π
2
，只要证
A
C
→
⋅
B
C
→
=
0
即可，
A
C
→
⋅
B
C
→
=
(
A
O
→
+
O
C
→
)
⋅
(
B
O
→
+
O
C
→
)
=
A
O
→
⋅
B
O
→
+
A
O
→
⋅
O
C
→
+
O
C
→
⋅
B
O
→
+
∣
O
C
→
∣
2
=
−
∣
A
O
→
∣
2
+
A
O
→
⋅
O
C
→
−
A
O
→
⋅
O
C
→
+
∣
O
C
→
∣
2
=
0
，所以
A
C
→
⊥
B
C
→
，
∠
A
C
B
为直角。
\begin{aligned} &\ \ 如图8-7，设AB是圆O的直径，C点在圆周上，要证\angle ACB=\frac{\pi}{2}，只要证\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=0即可，\\\\ &\ \ \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC})\cdot (\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC})=\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{BO}+\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{BO}+|\overrightarrow{OC}|^2=\\\\ &\ \ -|\overrightarrow{AO}|^2+\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{OC}+|\overrightarrow{OC}|^2=0，所以\overrightarrow{AC}\bot \overrightarrow{BC}，\angle ACB为直角。 & \end{aligned}
如图8−7，设AB是圆O的直径，C点在圆周上，要证∠ACB=2π，只要证AC⋅BC=0即可， AC⋅BC=(AO+OC)⋅(BO+OC)=AO⋅BO+AO⋅OC+OC⋅BO+∣OC∣2= −∣AO∣2+AO⋅OC−AO⋅OC+∣OC∣2=0，所以AC⊥BC，∠ACB为直角。
9. 已知向量 a = 2 i − 3 j + k ， b = i − j + 3 k 和 c = i − 2 j ，计算： ( 1 ) ( a ⋅ b ) c − ( a ⋅ c ) b ； ( 2 ) ( a + b ) × ( b + c ) ； ( 3 ) ( a × b ) ⋅ c . \begin{aligned}&9. \ 已知向量a=2i-3j+k，b=i-j+3k和c=i-2j，计算：\\\\&\ \ \ \ (1)\ (a\cdot b)c-(a\cdot c)b；(2)\ (a+b)\times (b+c)；(3)\ (a\times b)\cdot c.&\end{aligned} 9. 已知向量a=2i−3j+k，b=i−j+3k和c=i−2j，计算： (1) (a⋅b)c−(a⋅c)b；(2) (a+b)×(b+c)；(3) (a×b)⋅c.
解：
( 1 ) a ⋅ b = ( 2 , − 3 , 1 ) ⋅ ( 1 , − 1 , 3 ) = 8 ， a ⋅ c = ( 2 , − 3 , 1 ) ⋅ ( 1 , − 2 , 0 ) = 8 ， ( a ⋅ b ) c − ( a ⋅ c ) b = 8 ( 1 , − 2 , 0 ) − 8 ( 1 , − 1 , 3 ) = ( 0 , − 8 , − 24 ) = − 8 j − 24 k . ( 2 ) a + b = ( 2 , − 3 , 1 ) + ( 1 , − 3 , 3 ) = ( 3 , − 4 , 4 ) ， b + c = ( 1 , − 1 , 3 ) + ( 1 , − 2 , 0 ) = ( 2 , − 3 , 3 ) ， ( a + b ) × ( b + c ) = ∣ i j k 3 − 4 4 2 − 3 3 ∣ = ( 0 , − 1 , − 1 ) = − j − k . ( 3 ) ( a × b ) ⋅ c = ∣ 2 − 3 1 1 − 1 3 1 − 2 0 ∣ = 2. \begin{aligned} &\ \ (1)\ a \cdot b=(2, \ -3, \ 1)\cdot (1, \ -1, \ 3)=8，a \cdot c=(2, \ -3, \ 1)\cdot (1, \ -2, \ 0)=8，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ (a\cdot b)c-(a\cdot c)b=8(1, \ -2, \ 0)-8(1, \ -1, \ 3)=(0, \ -8, \ -24)=-8j-24k.\\\\ &\ \ (2)\ a+b=(2, \ -3, \ 1)+(1, \ -3,\ 3)=(3, \ -4, \ 4)，b+c=(1, \ -1, \ 3)+(1, \ -2, \ 0)=(2, \ -3, \ 3)，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ (a+b)\times (b+c)=\left|\begin{array}{cccc}i & j &k\\3 &-4 &4\\2 &-3 &3\end{array}\right|=(0, \ -1, \ -1)=-j-k.\\\\ &\ \ (3)\ (a\times b)\cdot c=\left|\begin{array}{cccc}2 &-3 &1\\1 &-1 &3\\1 &-2 &0\end{array}\right|=2. & \end{aligned} (1) a⋅b=(2, −3, 1)⋅(1, −1, 3)=8，a⋅c=(2, −3, 1)⋅(1, −2, 0)=8， (a⋅b)c−(a⋅c)b=8(1, −2, 0)−8(1, −1, 3)=(0, −8, −24)=−8j−24k. (2) a+b=(2, −3, 1)+(1, −3, 3)=(3, −4, 4)，b+c=(1, −1, 3)+(1, −2, 0)=(2, −3, 3)， (a+b)×(b+c)=∣ ∣i32j−4−3k43∣ ∣=(0, −1, −1)=−j−k. (3) (a×b)⋅c=∣ ∣211−3−1−2130∣ ∣=2.
10. 已知 O A → = i + 3 k ， O B → = j + 3 k ，求 △ O A B 的面积 . \begin{aligned}&10. \ 已知\overrightarrow{OA}=i+3k，\overrightarrow{OB}=j+3k，求\triangle OAB的面积.&\end{aligned} 10. 已知OA=i+3k，OB=j+3k，求△OAB的面积.
解：
S △ O A B = 1 2 ∣ O A → × O B → ∣ ， O A → × O B → = ∣ i j k 1 0 3 0 1 3 ∣ = ( − 3 , − 3 , 1 ) ， ∣ O A → × O B → ∣ = ( − 3 ) 2 + ( − 3 ) 2 + 1 = 19 . 所以， S △ O A B = 19 2 . \begin{aligned} &\ \ S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}|，\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}=\left|\begin{array}{cccc}i & j &k\\1 &0 &3\\0 &1 &3\end{array}\right|=(-3, \ -3, \ 1)，\\\\ &\ \ |\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}|=\sqrt{(-3)^2+(-3)^2+1}=\sqrt{19}.所以，S_{\triangle OAB}=\frac{\sqrt{19}}{2}. & \end{aligned} S△OAB=21∣OA×OB∣，OA×OB=∣ ∣i10j01k33∣ ∣=(−3, −3, 1)， ∣OA×OB∣=(−3)2+(−3)2+1=19.所以，S△OAB=219.
11. 已知 a = ( a x , a y , a z ) ， b = ( b x , b y , b z ) ， c = ( c x , c y , c z ) ，试利用行列式的性质证明： ( a × b ) ⋅ c = ( b × c ) ⋅ a = ( c × a ) ⋅ b . \begin{aligned}&11. \ 已知a=(a_x, \ a_y, \ a_z)，b=(b_x, \ b_y, \ b_z)，c=(c_x, \ c_y, \ c_z)，试利用行列式的性质证明：\\\\&\ \ \ \ \ (a\times b)\cdot c=(b\times c)\cdot a=(c\times a)\cdot b.&\end{aligned} 11. 已知a=(ax, ay, az)，b=(bx, by, bz)，c=(cx, cy, cz)，试利用行列式的性质证明： (a×b)⋅c=(b×c)⋅a=(c×a)⋅b.
解：
因 ( a × b ) ⋅ c = ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ ， ( b × c ) ⋅ a = ∣ b x b y b z c x c y c z a x a y a z ∣ ， ( c × a ) ⋅ b = ∣ c x c y c z a x a y a z b x b y b z ∣ ， 根据行列式性质可知 ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ b x b y b z c x c y c z a x a y a z ∣ = ∣ c x c y c z a x a y a z b x b y b z ∣ ， 所以， ( a × b ) ⋅ c = ( b × c ) ⋅ a = ( c × a ) ⋅ b \begin{aligned} &\ \ 因(a\times b)\cdot c=\left|\begin{array}{cccc}a_x &a_y &a_z\\b_x &b_y &b_z\\c_x &c_y &c_z\end{array}\right|，(b \times c)\cdot a=\left|\begin{array}{cccc}b_x &b_y &b_z\\c_x &c_y &c_z\\a_x &a_y &a_z\end{array}\right|，(c\times a)\cdot b=\left|\begin{array}{cccc}c_x &c_y &c_z\\a_x &a_y &a_z\\b_x &b_y &b_z\end{array}\right|，\\\\ &\ \ 根据行列式性质可知\left|\begin{array}{cccc}a_x &a_y &a_z\\b_x &b_y &b_z\\c_x &c_y &c_z\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}b_x &b_y &b_z\\c_x &c_y &c_z\\a_x &a_y &a_z\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}c_x &c_y &c_z\\a_x &a_y &a_z\\b_x &b_y &b_z\end{array}\right|，\\\\ &\ \ 所以，(a\times b)\cdot c=(b\times c)\cdot a=(c\times a)\cdot b & \end{aligned} 因(a×b)⋅c=∣ ∣axbxcxaybycyazbzcz∣ ∣，(b×c)⋅a=∣ ∣bxcxaxbycyaybzczaz∣ ∣，(c×a)⋅b=∣ ∣cxaxbxcyaybyczazbz∣ ∣， 根据行列式性质可知∣ ∣axbxcxaybycyazbzcz∣ ∣=∣ ∣bxcxaxbycyaybzczaz∣ ∣=∣ ∣cxaxbxcyaybyczazbz∣ ∣， 所以，(a×b)⋅c=(b×c)⋅a=(c×a)⋅b
12. 试用向量证明不等式： a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 ≥ ∣ a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ∣ ，其中 a 1 ， a 2 ， a 3 ， b 1 ， b 2 ， b 3 为任意实数，并指出等号成立的条件 . \begin{aligned}&12. \ 试用向量证明不等式：\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2} \ge |a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3|，其中a_1，a_2，a_3，\\\\&\ \ \ \ \ \ b_1，b_2，b_3为任意实数，并指出等号成立的条件.&\end{aligned} 12. 试用向量证明不等式：a12+a22+a32b12+b22+b32≥∣a1b1+a2b2+a3b3∣，其中a1，a2，a3， b1，b2，b3为任意实数，并指出等号成立的条件.
解：
设向量 a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) ， b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) ，由 a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ c o s ( a , b ^ ) 可知， ∣ a ⋅ b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ ∣ c o s ( a , b ^ ) ∣ ≤ ∣ a ∣ ∣ b ∣ ， 从而 ∣ a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ∣ ≤ a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 ，当 a 1 ， a 2 ， a 3 与 b 1 ， b 2 ， b 3 成比例，即 a 1 b 1 = a 2 b 2 = a 3 b 3 时， 上述等式成立。 \begin{aligned} &\ \ 设向量a=(a_1, \ a_2, \ a_3)，b=(b_1, \ b_2, \ b_3)，由a\cdot b=|a|\ |b|\ cos\ (\widehat{a, \ b})可知，|a\cdot b|=|a|\ |b|\ |cos\ (\widehat{a, \ b})| \le |a|\ |b|，\\\\ &\ \ 从而|a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3| \le \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}，当a_1，a_2，a_3与b_1，b_2，b_3成比例，即\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}时，\\\\ &\ \ 上述等式成立。 & \end{aligned} 设向量a=(a1, a2, a3)，b=(b1, b2, b3)，由a⋅b=∣a∣ ∣b∣ cos (a, b )可知，∣a⋅b∣=∣a∣ ∣b∣ ∣cos (a, b )∣≤∣a∣ ∣b∣， 从而∣a1b1+a2b2+a3b3∣≤a12+a22+a32b12+b22+b32，当a1，a2，a3与b1，b2，b3成比例，即b1a1=b2a2=b3a3时， 上述等式成立。