PT_连续型随机变量/分布函数/概率密度
文章目录
- PT_连续型随机变量/分布函数/概率密度
- 分布函数
- 分布函数的性质
- 基本性质
- 高级性质
- 右连续性:
- 概率区间:
- 从分布律求对应的分布函数
- 连续型随机变量
- 概率密度函数
- 性质
- 其他性质
- 例
- 密度函数&分布函数&概率间的联系
- 例
PT_连续型随机变量/分布函数/概率密度
- 进一步分为:
-
连续型随机变量(基础阶段讨论)
- 例如,电视机的使用寿命
-
奇异型随机变量
-
分布函数
-
和离散型随机变量不同,连续型随机变量可以充满某个区间
-
分布律的形式无法描述这类随机变量的取值的统计规律性
-
为了统一研究各种类型的随机变量,引入分布函数的概念
- Distribution function 分布函数
-
设 X 是一个随机变量 , x 是任意实数 设X是一个随机变量,x是任意实数 设X是一个随机变量,x是任意实数
-
记函数
F
(
x
)
=
P
(
{
X
⩽
x
}
)
记函数F(x)=P(\set{X\leqslant x})
记函数F(x)=P({X⩽x})
- 定义域 : − ∞ < x < + ∞ 定义域:-\infin<x<+\infin 定义域:−∞<x<+∞
- 值域: F ( x ) ∈ [ 0 , 1 ] F(x)\in[0,1] F(x)∈[0,1]
-
称
X
服从于
F
(
x
)
,
记为
X
∼
F
(
x
)
称X服从于F(x),记为X\sim F(x)
称X服从于F(x),记为X∼F(x)
-
记
D
=
{
X
⩽
x
}
记D=\set{X\leqslant x}
记D={X⩽x}
- 其中 D 表示事件 : X ⩽ x 其中D表示事件:X\leqslant x 其中D表示事件:X⩽x
- 即 , 它是一个试验样本点集合 即,它是一个试验样本点集合 即,它是一个试验样本点集合
- 参数(变量)类型就是概率函数P的参数类型
-
记
D
=
{
X
⩽
x
}
记D=\set{X\leqslant x}
记D={X⩽x}
- 🎈
如果为了同时强调随机变量
X
,
和自变量实数
x
,
那么可以写作
如果为了同时强调随机变量X,和自变量实数x,那么可以写作
如果为了同时强调随机变量X,和自变量实数x,那么可以写作
- F ( X , x ) = P ( { X ⩽ x } ) F(X,x)=P(\set{X\leqslant x}) F(X,x)=P({X⩽x})
- 可以称,F为随机变量X的分布函数
-
记函数
F
(
x
)
=
P
(
{
X
⩽
x
}
)
记函数F(x)=P(\set{X\leqslant x})
记函数F(x)=P({X⩽x})
分布函数的性质
基本性质
-
任何随机变量X都有分布函数
-
函数F(x)成为某个随机变量X的分布函数的条件:
-
值域:
- F ( x ) ∈ [ 0 , 1 ] F(x)\in[0,1] F(x)∈[0,1]
-
极限:
-
lim x → − ∞ F ( x ) = 0 \lim\limits_{x\to -\infin}F(x)=0 x→−∞limF(x)=0
- 可以记为 F ( − ∞ ) = 0 可以记为F(-\infin)=0 可以记为F(−∞)=0
-
lim x → + ∞ F ( x ) = 1 \lim\limits_{x\to +\infin}F(x)=1 x→+∞limF(x)=1
- 可以记为 F ( + ∞ ) = 1 可以记为F(+\infin)=1 可以记为F(+∞)=1
-
-
单调性:
-
F
(
x
)
F(x)
F(x)是单调非减的函数:
- x 1 < x 2 ⇒ F ( x 1 ) ⩽ F ( x 2 ) x_1<x_2\Rightarrow F(x_1)\leqslant F(x_2) x1<x2⇒F(x1)⩽F(x2)
-
因为
,
事件
{
X
⩽
x
1
}
⊂
{
X
⩽
x
2
}
因为,事件\set{X\leqslant x_1}\sub \set{X\leqslant x_2}
因为,事件{X⩽x1}⊂{X⩽x2}
- P ( { X ⩽ x 1 } ) ⩽ P ( { X ⩽ x 2 } ) P(\set{X\leqslant x_1})\leqslant P(\set{X\leqslant x_2}) P({X⩽x1})⩽P({X⩽x2})
- F ( x 1 ) = P ( { X ⩽ x 1 } ) F(x_1)=P(\set{X\leqslant x_1}) F(x1)=P({X⩽x1})
- F ( x 2 ) = P ( { X ⩽ x 2 } ) F(x_2)=P(\set{X\leqslant x_2}) F(x2)=P({X⩽x2})
- 所以 F ( x 1 ) ⩽ F ( x 2 ) 所以F(x_1)\leqslant F(x_2) 所以F(x1)⩽F(x2)
-
F
(
x
)
F(x)
F(x)是单调非减的函数:
高级性质
- 指证明需要高级知识的性质,包括以下几条:
右连续性:
-
F ( x ) 是右连续的 F(x)是右连续的 F(x)是右连续的
-
🎈即,如果 x 在 x = k x在x=k x在x=k处的某个邻域 U = U ( k , δ ) U={U}(k,\delta) U=U(k,δ) 有定义,存在右极限
-
lim x → k + F ( x ) = F ( k ) \lim_{x\to k^+}F(x)=F(k) \\ x→k+limF(x)=F(k)
-
比如: F ( x + 0 ) = F ( x ) F(x+0)=F(x) F(x+0)=F(x)
-
-
例如:
-
F ( x ) = { 0 , x ⩽ 0 A x 2 + B , 0 < x ⩽ 1 1 x > 1 F(x)= \begin{cases} 0,&x\leqslant0 \\Ax^2+B,&0<x\leqslant1 \\1& x>1 \end{cases} F(x)=⎩ ⎨ ⎧0,Ax2+B,1x⩽00<x⩽1x>1
-
上面这个分布函数的分段定义涵盖了实数区间R
-
利用右连续性求解A,B
-
由于 F ( x ) 在 x = 0 处和 x = 1 处均有定义 由于F(x)在x=0处和x=1处均有定义 由于F(x)在x=0处和x=1处均有定义
-
lim x → 0 + F ( x ) = F ( 0 ) \lim\limits_{x\to 0^+}F(x)=F(0) x→0+limF(x)=F(0)
- B = 0 B=0 B=0
-
lim x → 1 + F ( x ) = F ( 1 ) \lim\limits_{x\to1+}F(x)=F(1) x→1+limF(x)=F(1)
- A+B=1
-
即:A=1,B=0
-
-
-
概率区间:
-
对于 ∀ x 1 < x 2 ; P ( { x 1 < x ⩽ x 2 } ) = F ( x 2 ) − F ( x 1 ) \forall x_1<x_2;P(\set{x_1<x\leqslant x_2})=F(x_2)-F(x_1) ∀x1<x2;P({x1<x⩽x2})=F(x2)−F(x1)
-
有分布函数可以确定随机变量在某一个区间内的取值概率
- X取值落在某一个区间的概率,用这个性质求解是方便的
- 🎈注意左开右闭区间才可以直接套用
-
对于任意的 x , P ( { X = x } ) = F ( x ) − F ( x − 0 ) 对于任意的x,P(\set{X=x})=F(x)-F(x-0) 对于任意的x,P({X=x})=F(x)−F(x−0)
-
例:
-
对于分布函数
-
F ( x ) = { 0 , x ⩽ 0 x 2 , 0 < x ⩽ 1 1 x > 1 F(x)= \begin{cases} 0,&x\leqslant0 \\x^2,&0<x\leqslant1 \\1& x>1 \end{cases} F(x)=⎩ ⎨ ⎧0,x2,1x⩽00<x⩽1x>1
-
P ( 0.2 < x ⩽ 0.8 ) = F ( 0.8 ) − F ( 0.2 ) = 0.6 P(0.2<x\leqslant0.8)=F(0.8)-F(0.2)=0.6 P(0.2<x⩽0.8)=F(0.8)−F(0.2)=0.6
-
-
从分布律求对应的分布函数
-
一般的,对于随机变量X的为:
-
P ( X = x k ) = p k , k = 1 , 2 , ⋯ P(X=x_k)=p_k,k=1,2,\cdots P(X=xk)=pk,k=1,2,⋯
-
F ( x ) = P ( X ⩽ x ) = ∑ x k ⩽ x P ( X = x k ) = ∑ x ⩽ x p k 其中 p k = P ( X = x k ) 这种转换得到的是一个跳跃性的函数 F ( x ) , 跳跃点分布在 x = x k 处 而且跳跃的高度为 p k F(x)=P(X\leqslant x)=\sum\limits_{x_k\leqslant x}P(X=x_k)=\sum\limits_{x\leqslant x}p_k \\其中p_k=P(X=x_k) \\这种转换得到的是一个跳跃性的函数F(x),跳跃点分布在x=x_k处 \\而且跳跃的高度为p_k F(x)=P(X⩽x)=xk⩽x∑P(X=xk)=x⩽x∑pk其中pk=P(X=xk)这种转换得到的是一个跳跃性的函数F(x),跳跃点分布在x=xk处而且跳跃的高度为pk
-
显然,离散型随机变量的函数不是连续函数
- 它们一般为阶梯函数
-
连续型随机变量
概率密度函数
-
设随机变量X的分布函数是F(x)
-
如果存在一个**非负可积函数 f ( x ) , 使得任意 x ∈ R f(x),使得任意x\in R f(x),使得任意x∈R**有
-
F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x)=\int_{-\infin}^{x}f(t)dt F(x)=∫−∞xf(t)dt
-
X 是连续性随机变量 X是连续性随机变量 X是连续性随机变量
-
f ( x ) 是随机变量 X 的概率密度函数 f(x)是随机变量X的概率密度函数 f(x)是随机变量X的概率密度函数,检查密度函数(密度)
-
F ( x ) 是 f ( x ) 的积分上限函数 F(x)是f(x)的积分上限函数 F(x)是f(x)的积分上限函数
-
性质
-
非负性
- 对于任意 x ∈ R , f ( x ) ⩾ 0 对于任意x\in R,f(x)\geqslant 0 对于任意x∈R,f(x)⩾0
-
规范性:
- ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-\infin}^{+\infin}f(x)dx=1 ∫−∞+∞f(x)dx=1
-
F ( x ) 和 f ( x ) 之间的关系 F(x)和f(x)之间的关系 F(x)和f(x)之间的关系
-
设其中X为连续型随机变量时,有:
-
对于任意实数 : a , b ( a ⩽ b ) 对于任意实数:a,b(a\leqslant b) 对于任意实数:a,b(a⩽b)
-
P ( a < X ⩽ b ) = ∫ a b f ( x ) d x P(a<X\leqslant b)=\int_{a}^{b}f(x)dx P(a<X⩽b)=∫abf(x)dx
-
推导:
-
P ( a < X ⩽ b ) = F ( b ) − F ( a ) = ∫ − ∞ b f ( x ) d x − ∫ − ∞ a f ( x ) d x = ∫ − ∞ b f ( x ) d x + ∫ a − ∞ f ( x ) d x = ∫ a b f ( x ) d x P(a<X\leqslant b)=F(b)-F(a) =\int_{-\infin}^bf(x)dx-\int_{-\infin}^{a}f(x)dx \\=\int_{-\infin}^bf(x)dx+\int_{a}^{-\infin}f(x)dx \\=\int_{a}^{b}f(x)dx P(a<X⩽b)=F(b)−F(a)=∫−∞bf(x)dx−∫−∞af(x)dx=∫−∞bf(x)dx+∫a−∞f(x)dx=∫abf(x)dx
-
再回头看规范性:
- P ( Ω ) = P ( − ∞ < X < + ∞ ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 P(\Omega)=P(-\infin<X<+\infin)=\int_{-\infin}^{+\infin}f(x)dx=1 P(Ω)=P(−∞<X<+∞)=∫−∞+∞f(x)dx=1
-
-
-
F ( x ) 是连续函数 F(x)是连续函数 F(x)是连续函数
-
f ( x ) 在 x 0 处连续时 , f ( x 0 ) = F ′ ( x 0 ) f(x)在x_0处连续时,f(x_0)=F'(x_0) f(x)在x0处连续时,f(x0)=F′(x0)
-
F ( x + Δ x ) − F ( x ) = ∫ x x + Δ x f ( t ) d t → Δ x → 0 0 F(x+\Delta x)-F(x)=\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt\xrightarrow{\Delta x\to 0}0 F(x+Δx)−F(x)=∫xx+Δxf(t)dtΔx→00
-
-
∀ 常数 c , P ( X = c ) = 0 \forall 常数c, P(X=c)=0 ∀常数c,P(X=c)=0
-
对于 Δ x > 0 0 ⩽ P ( X = c ) < P ( c − Δ x < x ⩽ c ) = F ( x ) − F ( c − Δ x ) = 0 ( Δ x → 0 + ) 由夹逼法则 , P ( X = c ) = 0 对于\Delta x>0 \\0\leqslant P(X=c)<P(c-\Delta x<x\leqslant c)=F(x)-F(c-\Delta x)=0(\Delta x\to 0^+) \\ 由夹逼法则,P(X=c)=0 对于Δx>00⩽P(X=c)<P(c−Δx<x⩽c)=F(x)−F(c−Δx)=0(Δx→0+)由夹逼法则,P(X=c)=0
-
可见,连续型随机变量取一个具体值的概率是0
- 但是,对于连续型随机变量取值的每一次观察将导致一个概率为0事件发生
- 这表明:
- 概率为0的事件不一定是不可能事件
- 同样,概率为1的事件也不一定是必然事件
- 但是有时候是确定可能或不可能
- 若 a ∈ { x ∣ f ( x ) > 0 } 若a\in\set{x|f(x)>0} 若a∈{x∣f(x)>0},则事件P(X=a)是有可能发生的
- 若 a ∈ { x ∣ f ( x ) = 0 } , 则事件 P ( X = a ) 是不可能发生 若a\in \set{x|f(x)=0},则事件P(X=a)是不可能发生 若a∈{x∣f(x)=0},则事件P(X=a)是不可能发生
- 从几何角度理解,概率密度>0的区间上是随机变量可能的取值范围
- 而概率密度区间为=0的区间是随机变量不可能取值的区间
-
基于此有:
-
P ( a ⩽ X < b ) = P ( { X = a } ∪ { a < X < b } ) = P ( X = a ) + P ( a < X < b ) = P ( a < X < b ) P(a\leqslant X<b)=P(\set{X=a}\cup \set{a<X<b})=P(X=a)+P(a<X<b)=P(a<X<b) P(a⩽X<b)=P({X=a}∪{a<X<b})=P(X=a)+P(a<X<b)=P(a<X<b)
-
类似的:
- P ( a < X < b ) = P ( a < X ⩽ b ) = P ( a ⩽ X < b ) = P ( a ⩽ X ⩽ b ) P(a<X<b)=P(a<X\leqslant b)=P(a\leqslant X<b)=P(a\leqslant X\leqslant b) P(a<X<b)=P(a<X⩽b)=P(a⩽X<b)=P(a⩽X⩽b)
-
-
-
其他性质
-
改变密度函数 f ( x ) 在有限个点处的函数值 ( 并且保证这些值非负 ) 改变密度函数f(x)在有限个点处的函数值(并且保证这些值非负) 改变密度函数f(x)在有限个点处的函数值(并且保证这些值非负)
-
比如得到新的函数 g ( x ) 比如得到新的函数g(x) 比如得到新的函数g(x)
-
根据概率密度的定义,g(x)也是X的概率密度函数
-
因此,改变有限个点处的密度函数值不会影响分布函数
-
即不同的密度函数可能得到相同的分布函数!
-
🎈一个随机变量的分布函数是确定的,但是它的概率密度却不是唯一的
-
-
例
-
f ( x ) = { 1 , 0 < x < 1 0 , e l s e g ( x ) = { 1 , 0 ⩽ x ⩽ 1 0 , e l s e f(x)= \begin{cases} 1, &0<x<1 \\0, &else \end{cases} \\ g(x)= \begin{cases} 1, &0\leqslant x\leqslant 1 \\0, &else \end{cases} f(x)={1,0,0<x<1elseg(x)={1,0,0⩽x⩽1else
-
f ( x ) , g ( x ) ( 作为概率密度 ) 在是不同的两个函数 , 但是它们有相同的分布函数 f(x),g(x)(作为概率密度)在是不同的两个函数,但是它们有相同的分布函数 f(x),g(x)(作为概率密度)在是不同的两个函数,但是它们有相同的分布函数
-
F ( x ) = { 0 , x < 0 x , 0 ⩽ x ⩽ 1 1 , x > 0 F(x)= \begin{cases} 0, &x<0 \\x, &0\leqslant x\leqslant 1 \\1, &x>0 \end{cases} F(x)=⎩ ⎨ ⎧0,x,1,x<00⩽x⩽1x>0
F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( x ) d x 由于 f ( x ) 是个分段函数 , 因此积分的时候也要相应的分段 f ( x ) 在不同段 ( x 落在不同区间 ) 下的积分如下 { F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( x ) d x = ∫ − ∞ x 0 d x = C ∣ − ∞ x = C − C = 0 , x < 0 F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( x ) d x = ∫ − ∞ 0 0 d x + ∫ 0 x 1 d x = 0 + x ∣ 0 x = x − 0 = x , 0 ⩽ x ⩽ 1 F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( x ) d x = ∫ − ∞ 0 0 d x + ∫ 0 1 1 d x + ∫ 1 x 0 d x = x ∣ 0 1 = 1 , x > 0 F(x)=\int_{-\infin}^{x}f(x)dx \\由于f(x)是个分段函数,因此积分的时候也要相应的分段 \\f(x)在不同段(x落在不同区间)下的积分如下 \\ \begin{cases} F(x)=\int_{-\infin}^{x}f(x)dx=\int_{-\infin}^{x}0dx=C|_{-\infin}^{x}=C-C&=0,&x<0 \\F(x)=\int_{-\infin}^{x}f(x)dx=\int_{-\infin}^{0}0dx+\int_{0}^{x}1dx=0+x|_{0}^{x}=x-0&=x,&0\leqslant x\leqslant 1 \\F(x)=\int_{-\infin}^{x}f(x)dx=\int_{-\infin}^{0}0dx+\int_{0}^{1}1dx+\int_{1}^{x}0dx=x|_{0}^{1}&=1,&x>0 \end{cases} F(x)=∫−∞xf(x)dx由于f(x)是个分段函数,因此积分的时候也要相应的分段f(x)在不同段(x落在不同区间)下的积分如下⎩ ⎨ ⎧F(x)=∫−∞xf(x)dx=∫−∞x0dx=C∣−∞x=C−CF(x)=∫−∞xf(x)dx=∫−∞00dx+∫0x1dx=0+x∣0x=x−0F(x)=∫−∞xf(x)dx=∫−∞00dx+∫011dx+∫1x0dx=x∣01=0,=x,=1,x<00⩽x⩽1x>0
F ( x ) = { 0 , x ⩽ 0 x , 0 < x < 1 1 , x ⩾ 0 F(x)= \begin{cases} 0, &x\leqslant 0 \\x, &0< x< 1 \\1, &x\geqslant 0 \end{cases} F(x)=⎩ ⎨ ⎧0,x,1,x⩽00<x<1x⩾0
- 两种写法在邻接出 F ( 0 ) = 0 ; F ( 1 ) = 1 都是一致的 两种写法在邻接出F(0)=0;F(1)=1都是一致的 两种写法在邻接出F(0)=0;F(1)=1都是一致的
密度函数&分布函数&概率间的联系
-
由密度函数 f 积分 ( 变上限积分 ) 得到分布函数 F 由密度函数f积分(变上限积分)得到分布函数F 由密度函数f积分(变上限积分)得到分布函数F
- 注意,密度函数的一条性质中有一个定积分(规范性:从 − ∞ → + ∞ -\infin\to +\infin −∞→+∞),区别于变上限积分
-
求解随机变量落在给定区间内的概率
- 由分布函数 F 作差计算 由分布函数F作差计算 由分布函数F作差计算
- 也可以直接通过密度函数,通过定积分来计算
例
f ( x ) = { a x + b , 0 < x < 2 0 , e l s e P ( 1 < X < 3 ) = 0.25 f(x)=\begin{cases} ax+b,&0<x<2 \\0,&else \end{cases} \\P(1<X<3)=0.25 f(x)={ax+b,0,0<x<2elseP(1<X<3)=0.25
-
根据规范性:
-
∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 再结合密度函数 f ( x ) 分段区间 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 0 + ∫ 0 2 f ( x ) d x + 0 = 1 ( a x 2 2 + b x ) ∣ 0 2 = 2 a + 2 b = 1 a + b = 1 2 结合给出的特殊概率 : P ( 1 < X < 3 ) = 0.25 P ( 1 < X < 3 ) = ∫ 1 3 f ( x ) d x = ∫ 1 2 f ( x ) d x + 0 = ∫ 1 2 ( a x + b ) d x = 0.25 ( a x 2 2 + b x ) ∣ 1 2 = 2 a + 2 b − ( 1 2 a + b ) = 3 2 a + b = 0.25 a = − 0.5 , b = 1 \int_{-\infin}^{+\infin}f(x)dx=1 \\再结合密度函数f(x)分段区间 \\\int_{-\infin}^{+\infin}f(x)dx=0+\int_{0}^{2}f(x)dx+0=1 \\(\frac{ax^2}{2}+bx)|_0^2=2a+2b=1 \\a+b=\frac{1}{2} \\结合给出的特殊概率: \\P(1<X<3)=0.25 \\P(1<X<3)=\int_{1}^{3}f(x)dx=\int_{1}^{2}f(x)dx+0=\int_{1}^{2}(ax+b)dx=0.25 \\(\frac{ax^2}{2}+bx)|_1^2=2a+2b-(\frac{1}{2}a+b)=\frac{3}{2}a+b=0.25 \\a=-0.5,b=1 ∫−∞+∞f(x)dx=1再结合密度函数f(x)分段区间∫−∞+∞f(x)dx=0+∫02f(x)dx+0=1(2ax2+bx)∣02=2a+2b=1a+b=21结合给出的特殊概率:P(1<X<3)=0.25P(1<X<3)=∫13f(x)dx=∫12f(x)dx+0=∫12(ax+b)dx=0.25(2ax2+bx)∣12=2a+2b−(21a+b)=23a+b=0.25a=−0.5,b=1
-
f ( x ) = { − 1 2 x + 1 , 0 < x < 2 0 , e l s e F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( x ) d x = { ∫ − ∞ 0 f ( x ) d x = 0 , x ⩽ 0 ∫ − ∞ 0 f ( x ) d x + ∫ 0 x ( − 1 2 x + 1 ) d x = 0 + − x 2 4 + x = − x 2 4 + x , 0 < x < 2 ∫ − ∞ 0 f ( x ) d x + ∫ 0 2 f ( x ) d x + ∫ 2 x f ( x ) d x = 0 + 1 + 0 = 1 , x ⩾ 2 f(x)=\begin{cases} -\frac{1}{2}x+1,&0<x<2 \\0,&else \end{cases} \\F(x)=\int_{-\infin}^{x}f(x)dx= \\ \begin{cases} \int_{-\infin}^{0}f(x)dx=0,&x\leqslant0 \\ \int_{-\infin}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{x}(-\frac{1}{2}x+1)dx=0+\frac{-x^2}{4}+x=\frac{-x^2}{4}+x,&0<x<2 \\\int_{-\infin}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{2}f(x)dx+\int_{2}^{x}f(x)dx=0+1+0=1,&x\geqslant 2 \end{cases} f(x)={−21x+1,0,0<x<2elseF(x)=∫−∞xf(x)dx=⎩ ⎨ ⎧∫−∞0f(x)dx=0,∫−∞0f(x)dx+∫0x(−21x+1)dx=0+4−x2+x=4−x2+x,∫−∞0f(x)dx+∫02f(x)dx+∫2xf(x)dx=0+1+0=1,x⩽00<x<2x⩾2
-
P ( X > 1.5 ) = 1 − P ( X ⩽ 1.5 ) = 1 − F ( 1.5 ) = 1 16 = 0.0625 P(X>1.5)=1-P(X\leqslant 1.5)=1-F(1.5)=\frac{1}{16}=0.0625 P(X>1.5)=1−P(X⩽1.5)=1−F(1.5)=161=0.0625
-