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2019 ICPC 徐州区域赛 - C ＜3 numbers（素数密度）

news 来源：原创 2024/5/13 9:14:05

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题目大意

给出一个区间 $[L, R]$ ，问区间内的“小于3数”的个数是否小于 $\frac{1}{3}$ 。（实际上就是 $1$ 和所有素数）

解题思路

根据素数分布规律，素数越往后越分散。也可以自己推了一下，假设 $x = 1$ ，当 $y = 48$ 时，素数刚好占这个区间的三分之一，也就是按规律推广到一般情况，当 $y - x + 1 > 48$ ，自己尝试一下打印个数，肯定是小于 $\frac{1}{3}$ ，就肯定是 $Y e s$ 。如果不是，考虑到数据范围到 $1 e 9$ ，因此使用区间素数筛选即可。

代码:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e8; //maxn是b-a的最大值，即求素数的区间数量级
const int N=1e5;
bool is_prime[N]; //存[2,sqrt(b)]内的所有素数
bool is_prime_small[maxn]; //判断[a,b]范围内的每个数是不是素数
ll prime_num=0; //该区间素数的个数
//对区间[a,b)内的整数执行筛法，is_prime[i-a]=true  ---  表示i是素数 注意这里下标偏移了a，所以从0开始。
void segment_sieve(ll a,ll b) {
    for(ll i=2;i*i<=b;++i) is_prime_small[i]=true; //对[2,sqrt(b)]的初始化全为质数
    for(ll i=0;i<=b-a;++i) is_prime[i]=true; //对下标偏移后的[a,b]进行初始化

    for(ll i=2;i*i<=b;++i) {
        if(is_prime_small[i]) {
            for(ll j=2*i;j*j<=b;j+=i) is_prime_small[j]=false;  //筛选[2,sqrt(b)];
            //(a+i-1)/i得到最接近a的i的倍数，最低是i的2倍，然后筛选
            for(ll j=max(2LL,(a+i-1)/i)*i;j<=b;j+=i) is_prime[j-a]=false;
        }
    }
    for(ll i=a; i<=b; ++i)
        if(is_prime[i-a])
            if(i!=1)  
                prime_num++;
}
int main(){
    int n,x,y;
    cin>>n;
    while(n--){
        cin>>x>>y;
        if((y-x+1)>48) cout<<"Yes"<<endl;
        else{
            prime_num=0;
            segment_sieve(x,y);
            if(x==1) prime_num++; ///注意这里一定要特判不然WA到哭
            if(prime_num*3<y-x+1) cout<<"Yes"<<endl;
            else cout<<"No"<<endl;
        }
    }
    return 0;
}