【优化数学模型】3. 基于Python的整数规划-指派问题求解
【优化数学模型】3. 基于Python的整数规划-指派问题求解
- 一、整数规划
- 1. 概述
- 2. 指派问题
- 二、示例：指派问题
- 三、使用Python求解指派问题
- 1. 初始化 LP 模型
- 2. 定义决策变量
- 3. 定义目标函数
- 4. 定义约束条件
- 5. 求解模型
一、整数规划
1. 概述
线性规划模型中的决策变量取值范围是连续型的，这些模型的最优解不一定是整数，但是对于许多实际问题来说，变量取整数时才有意义，例如不可分解产品的数目，如药品数、床位数、病种数、人员数等，或只能用整数来记数的对象。因此有必要在线性规划模型中增加这些决策变量为整数的约束条件限制。我们称这类含有整数决策变量的规划问题为整数规划(Integer Programming, IP)。
2. 指派问题
指派问题(Assignment Problem) 是 0-1 整数规划模型最为常见的应用类型之一。
许多实际应用问题可以归结为如下形式：
将不同的任务分派给若干人员完成。由于任务的难易程度以及人员的素质高低各不相同，因此每个人完成不同任务的效率存在差异。于是，如何分派人员完成各种任务才能使得总体工作效率最高成为一项值得研究的课题。这类问题通常被称为指派问题。
标准指派问题可以描述如下：
拟指派 N N N 个人 A 1 A_1 A1, A 2 A_2 A2, … , A N A_N AN去完成 M M M 项不同的任务 B 1 B_1 B1, B 2 B_2 B2, … , B N B_N BN, N ≥ M。要求每项工作必须且仅需一个人去完成，而每个人的能力至多能完成上述各项任务中的一项任务。已知派遣 A n A_n An 完成工作 B m B_m Bm 的效率为 c n m c_{nm} cnm，建立模型确定具体指派方式使整体工作效率最高。
二、示例：指派问题
药厂需要将 4 种药品的生产任务分配给 4 台机器。下表显示 4 台机器执行 4 种药品生产的成本。
| 项目 | 药品A | 药品B | 药品C | 药品D |
|---|---|---|---|---|
| 机器 1 | 1 | 2 | 1 | 9 |
| 机器 2 | 4 | 5 | 2 | 2 |
| 机器 3 | 7 | 3 | 9 | 3 |
| 机器 4 | 2 | 3 | 5 | 1 |
目标是制定一套生产分配，以最大限度地降低获得所有 4 种药品的总成本。
三、使用Python求解指派问题
1. 初始化 LP 模型
导入 pulp 模块，使用 LpProblem 类创建最小化 LP 问题。
from pulp import *machineries=[1,2,3,4]
drugs=[1,2,3,4]costs=[[1,2,1,9],[4,5,2,2],[7,3,9,3],[2,3,5,1]]prob = LpProblem("Assignment Problem", LpMinimize)
2. 定义决策变量
costs= makeDict([machineries, drugs], costs, 0)assign = [(w, j) for w in machineries for j in drugs]vars = LpVariable.dicts("Assign", (machineries, drugs), 0, None, LpBinary)
3. 定义目标函数
prob += (lpSum([vars[w][j] * costs[w][j] for (w, j) in assign]),"Sum_of_Assignment_Costs",
)
4. 定义约束条件
添加两种类型的约束：
每个药品只能分配给一个机器约束
每个机器只能被分配到一个药品
for j in drugs:prob+= lpSum(vars[w][j] for w in machineries) == 1for w in machineries:prob+= lpSum(vars[w][j] for j in drugs) == 1
5. 求解模型
prob.solve()for v in prob.variables():print(v.name, "=", v.varValue)print("Value of Objective Function = ", value(prob.objective))
输出结果：
Output:
Assign_1_1 = 1.0
Assign_1_2 = 0.0
Assign_1_3 = 0.0
Assign_1_4 = 0.0
Assign_2_1 = 0.0
Assign_2_2 = 0.0
Assign_2_3 = 1.0
Assign_2_4 = 0.0
Assign_3_1 = 0.0
Assign_3_2 = 1.0
Assign_3_3 = 0.0
Assign_3_4 = 0.0
Assign_4_1 = 0.0
Assign_4_2 = 0.0
Assign_4_3 = 0.0
Assign_4_4 = 1.0
Value of Objective Function = 7.0
从上面的结果可以推断出，机器 1 将被分配给药品A，机器 2 将被分配给药品C，机器 3 将被分配给药品B，而 机器 4 将被分配到药品D。