c++算法学习笔记 (15) 质数
1.试除法判断某个数是否为质数
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 50005;
bool is_prime1(int n)
{ // 暴力写法：O(n)if (n < 2)return false;for (int i = 2; i < n; i++){if (n % i == 0)return false;}return true;
}
// 优化，每次只枚举较小的一个约数
bool is_prime2(int n)
{ // O(根号n)if (n < 2)return false;for (int i = 2; i <= n / i; i++){if (n % i == 0)return false;}return true;
}
int main()
{return 0;
}
2. 分解质因数
给定 n 个正整数 ai，将每个数分解质因数，并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一个正整数 ai。
输出格式
对于每个正整数 ai，按照从小到大的顺序输出其分解质因数后，每个质因数的底数和指数，每个底数和指数占一行。
每个正整数的质因数全部输出完毕后，输出一个空行。
数据范围
1≤n≤100
2≤ai≤2×10^9
输入样例：
2
6
8
输出样例：
2 1
3 12 3
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 50005;
void divide1(int n)
{for (int i = 2; i <= n; i++) // 底数一定为质数（因为从小到大枚举）{ // 暴力 O(n)if (n % i == 0){int s = 0;while (n % i == 0){n /= i;s++;}cout << i << " " << s << endl; // 底数，指数}}cout << endl;
}
// 优化：n中最多只包含一个大于sqrt(n)的质因子（反证：如果有两个，则乘起来>n）
void divide2(int n)
{for (int i = 2; i <= n / i; i++){ // O(logn)~O(根号n)if (n % i == 0){int s = 0;while (n % i == 0){n /= i;s++;}cout << i << " " << s << endl; // 底数，指数}}if (n > 1) // 最后剩下的数要么为1，要么为大于sqrt(n)的质因子cout << n << " " << 1 << endl; // 特殊处理即可cout << endl;
}
int main()
{int n;cin >> n;while (n--){int x;cin >> x;divide2(x);}return 0;
}
3. 筛质数
给定一个正整数 n，请你求出 1∼n中质数的个数。
输入格式
共一行，包含整数 n。
输出格式
共一行，包含一个整数，表示 1∼n 中质数的个数。
数据范围
1≤n≤10^6
输入样例：
8
输出样例：
4#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1000010;
int primes[N], cnt;
bool st[N];
void get_primes1(int n)
{ // O(lnn)for (int i = 2; i <= n; i++){if (st[i] == 0){primes[cnt++] = i; // 存质数}for (int j = i + i; j <= n; j += i){st[j] = true; // 将i的倍数删去}}
}
// 优化：不必枚举2~p-1，只需枚举里面的质数
void get_primes2(int n) // 埃氏筛：原理:在朴素筛法的过程中只用质数项去筛.
{ // O(nloglogn)for (int i = 2; i <= n; i++){if (st[i] == 0){primes[cnt++] = i;for (int j = i + i; j <= n; j += i){st[j] = true; // 将i的倍数删去}}}
}
// 线性筛法
void get_primes3(int n)
{ // 原理:1~n之内的任何一个合数一定会被筛掉,而且筛的时候只用最小质因子来筛,// 然后每一个数都只有一个最小质因子,因此每个数都只会被筛一次,因此线性筛法是线性的.for (int i = 2; i <= n; i++){if (st[i] == 0){primes[cnt++] = i;}for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j += i){st[primes[j] * i] = true;if (i % primes[j] == 0)break;}}
}
int main()
{int n;cin >> n;get_primes2(n);cout << cnt << endl;return 0;
}