蓝桥杯杯赛之深度优先搜索优化《1.分成互质组》 《 2.小猫爬山》【dfs】【深度搜索剪枝优化】【搜索顺序】

思想

1. 本质为两种搜索顺序：

• 枚举当前元素可以放入哪一组
• 枚举每一组可以放入哪些元素

2. 操作为两种

• 放入当前组
• 新开一个组

例题

1. 分成互质组

题目链接

https://www.acwing.com/problem/content/1120/

题目描述

【解法一】

枚举每一组可以放哪些元素

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 11;
int g[N][N];
int a[N];
bool st[N];
int n;
int ans = N;
int gcd(int a, int b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
bool check(int g[], int x, int k) {for(int i = 0; i < k; i ++)if(gcd(g[i], x) > 1)	return false;return true;
}
void dfs(int gu, int gid, int start, int cnt) {if(gu >= ans)	return ;    //剪枝， 若当前分组大于答案，那么不如之前的也没必要枚举了if(cnt == n)	ans = min(ans, gu);bool flag = true;	//从start开始找，是否有元素不能入当前组for(int i = start; i < n; i ++) {if(!st[i] && check(g[gu], a[i], gid)) {st[i] = true;g[gu][gid] = a[i];dfs(gu, gid + 1, i + 1, cnt + 1);//恢复现场st[i] = false;flag = false; }} //操作二：新开数组if(flag) dfs(gu + 1, 0, 0, cnt);
}
int main() {cin >> n;for(int i = 0; i < n; i ++)	cin >> a[i];//当前在第几组，第几个数，从哪个位置开始选，已经选好几个数 dfs(1, 0, 0, 0);	cout << ans; return 0;
}

【解法二】

枚举当前元素可以放入哪个组

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;const int N = 10;
int a[N];
vector<int> g[N];   //互质组
int n;
int ans = N;int gcd(int a, int b){return b?gcd(b, a%b) : a;
}bool check(int c,int x){for(int i=0;i<g[c].size();i++){if(gcd(g[c][i],x)>1) return false;}return true;
}void dfs(int u, int k){ //当前为第u个数， 已开辟的组的个数if(u==n){ans=min(ans,k);return;}//每个元素的方法即 -> 放到当前已经存在的组中  或者  放到新开的组中//操作一：放入已经存在的组中for(int i=0; i < k; i ++){if(check(i, a[u])){g[i].push_back(a[u]);dfs(u + 1, k);g[i].pop_back();}}//可见这里的k代表着的是当前开辟数组的个数//操作二：新开一个组g[k].push_back(a[u]);dfs(u+1, k + 1);g[k].pop_back();
}int main(){cin>>n;for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];dfs(0, 0);cout<<ans;return 0;
}

2. 小猫爬山

题目链接

https://www.acwing.com/problem/content/167/

题目描述

输入样例：

5 1996
1
2
1994
12
29

输出样例：

2

【思路】

第一步很容易会误以为这是一道背包问题，不过看了眼数据范围，容量太大，而n的范围很小，故为一道dfs搜搜问题

这里根据数据范围我们必然需要优化，分析可以优化的点：

• ① 要求最小车辆，那么如果我们搜索某种决策时当前的车辆数已经大于ans了，那么必然不是最优解，直接退出即可
• ② 对于dfs决策时，要想使得决策的分支少点，那么从根开始越少的话，那么必然分支也会更少，想到从此处进行优化的话，那么若是优先考虑重量大的，可以实现，因为在已有的车辆中选择可放入的重量大的可选车辆少

下面展示代码：

【WA代码】

枚举每一组可以放入哪些元素

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 20;
int n, W;
int w[N];
int g[N][N];
bool st[N];
int ans = N;void dfs(int gu, int ct, int start, int cnt) {if(gu >= ans)	return ;if(cnt == n) {ans = min(ans, gu);return;}bool flag = true;	//判断是否可以放进去当前组//操作一：加入当前组 for(int i = start; i < n; i ++) {if(!st[i] && ct + w[i] <= W) {st[i] = true;dfs(gu, ct + w[i], start + 1, cnt + 1);//恢复现场st[i] = false; flag = false;}}//操作二：新开组if(flag) 	dfs(gu + 1, 0, 0, cnt);}int main() {cin >> n >> W;for(int i = 0; i < n; i ++)	cin >> w[i];	//为了使得决策少点，优化时间，选择先放重量大的sort(w, w + n, greater<int>());//从第gu个组开始，当前在判断第gid个数，已经匹配的数字， 从哪个数开始 dfs(1, 0, 0, 0);cout << ans;return 0;
}

【AC代码】

枚举当前元素可以放入哪些组

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 20;
int n, W;
int w[N];
int sum[N]; //第i辆车的重量
bool st[N];
int ans = N;void dfs(int u, int k) {    //u代表当前遍历的数，k代表当前已有分组数量if(k >= ans)    return;if(u == n)  {// ans = min(ans, k);   //因为有上步条件制约，故不需要minans = k;return;}   //操作一：放入某个已有的车辆for(int i = 0; i < k; i ++) {if(sum[i] + w[u] <= W) {sum[i] += w[u];dfs(u + 1, k);//恢复现场sum[i] -= w[u];}}//操作二： 放不下，新开车辆sum[k] = w[u];dfs(u + 1, k + 1);sum[k] = 0;}int main() {cin >> n >> W;for(int i = 0; i < n; i ++)	cin >> w[i];	//为了使得决策少点，优化时间，选择先放重量大的sort(w, w + n, greater<int>());dfs(0, 0);cout << ans;return 0;
}