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用贪心算法计算十进制数转二进制数（小数部分）

news 来源：原创 2024/9/28 7:11:00

在上一篇博文用贪心算法计算十进制数转二进制数（整数部分）-CSDN博客中，小编介绍了用贪心算法进行十进制整数转化为二进制数的操作步骤，那么有朋友问我，那十进制小数转二进制，可以用贪心算法来计算吗？我研究了一下，发现也是可以用的，下边介绍一下操作步骤。

一、乘2正向取整法

二、十进制小数转化为二进制小数的数学原理

三、贪心算法

1、贪心算法简介

2、操作步骤

3、结论

一、乘2正向取整法

在介绍贪心算法之前，还是先介绍一下常用的计算方法，就是“乘2取整”法。

这种方法就是把十进制的小数部分乘2，并记录得到的积的整数部分，把积的整数部分减掉，再把积的小数部分进行乘2，并记录得到的积的整数部分，依次乘2取整，直到乘2后得到的积为1，也就是整数部分为1，小数部分为0时，转化完成。转化完成后，从上往下（正向）依次把整数部分排列起来，就是转化后的二进制小数。

注意，并不是所有的十进制小数都能精确地转化为二进制小数。如果出现乘2后的积一直不为1的情况时，此十进制小数就不能精确转化为二进制小数，只能无限接近。

例如，十进制小数0.15就无法精确地转换为二进制，转化的结果为0.001001100110011……循环不尽，无法得到精确转化值。

二、十进制小数转化为二进制小数的数学原理

通过观察图1，可以看出：

$0.6875=1\times 2^{-1}+0\times 2^{-2}+1\times 2^{-3}+1\times 2^{-4}$ （1）

一般的表达式为：

$a=\sum_{i=1}^{i=n}\left ( c_{i}\ast 2^{-i} \right ),c_{i}\in \left \{ 0,1 \right \}$ （2）

十进制小数转化为二进制小数的过程就是把系数 $c_{i}$ 从 $i=1$ 到 $i=n$ （从最高位到最低位）的排列。

在（1）式中， $c_{1}=1,c_{2}=0,c_{3}=1,c_{4}=1$ ，所以 $\left ( 0.6875 \right )_{10}=\left ( 0.1011 \right )_{2}$ 。

如果把（1）式中的系数 $c_{_i}=0$ 的项去掉，那么有

$0.6875=1\times 2^{-1}+1\times 2^{-3}+1\times 2^{-4}$ （3）

也就是把十进制小数转换为二进制小数的过程，实际上就是把十进制小数转换为若干个以2为底的幂运算之和，那么一般表达式为：

$a=\sum_{i=0}^{i=m}2^{-n_{i}}$ （4）

在（3）式中， $n_{0}=1,n_{1}=3,n_{2}=4$ 。也就是在十进制小数0.6825转换为二进制小数后，数位序号为1，3，4的项系数为1，其他项系数都为0（数位序号从左向右依次增1，最低位序号为1），如表1所示，表格中橙色项系数为1，白色项系数为0。

表1 十进制小数0.6875的二进制转换结果
位序号	1	2	3	4
位权重	1/2	1/4	1/8	1/16
项系数	1	0	1	1
二进制数	1	0	1	1

三、贪心算法

那么如何快速计算出（4）式的 $n_{i}$ 呢？与十进制整数转化二进制数类似，也可以用贪心算法进行计算。

1、贪心算法简介

贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的是在某种意义上的局部最优解。

2、操作步骤

假设十进制数为 $a$ ，根据公式（4），用贪心算法思维进行十进制小数转二进制小数计算的步骤为：

（1）先找出 $a$ 中最大的那一项 $2^{-n_{i}}$ ，并记录 $n_{i}$ ；

（2）把最大项的值从 $a$ 中减掉： $a=a-2^{-n_{i}}$

（3）跳转到步骤（1）循环计算，直到 $a=0$ 或 $a\leqslant$ 给定极小值，计算结束。

为了人工计算更直观，我们通常把 $2^{-n_{i}}$ 写为小数形式0.5，0.25，0.125，0.0625，0.03125。

因此（1）式右边的指数形式转化为小数形式

$0.6825=1\times 0.5+0\times 0.25+1\times0.125+1\times 0.0625$ （5）

同样，可以把（3）式改写为：

$0.6825=1\times 0.5+1\times0.125+1\times 0.0625$ （6）

下边以十进制小数 $a=0.6875$ 转化为二进制小数为例，介绍贪心算法的计算步骤：

（1）找出0.6875中最大的项为0.5，也就是 $2^{-1}$ ，记录 $n_{0}=1$ ；

（2） $a=0.6875-0.5=0.1875$ ；

（3）找出0.1875中最大的项为0.125，也就是 $2^{-3}$ ，记录 $n_{1}=3$ ；

（4） $a=0.1875-0.125=0.0625$ ；

（5）找出0.0625中最大的项为0.0625，也就是 $2^{-4}$ ，记录 $n_{1}=4$ ；

（6） $a=0.0625-0.0625=0$ ，计算结束；

计算的结果为：0.6875=0.5+0.125+0.0625= $2^{-1}+2^{-3}+2^{-4}$

二进制小数位序号为1,3,4的项为1，其他位序号的项为0，计算结果为 $\left ( 0.6875 \right )_{10}=\left ( 0.1011 \right )_{2}$ 。

3、结论

对比乘2取整法和贪心法，可以发现，对于可以转化为精确二进制小数的情况来说，贪心算法计算量少，准确率较高，不容易算错，也更直观，更好理解和记忆，但是需要我们事先记住一些常用的 $2^{-n}$ 的值，这样才有助于我们更快找出最大项。表2为 $1\leqslant n\leqslant 5$ 的 $2^{-n}$ 的值。