统计信号处理基础 习题解答10-6
题目
在例10.1中，把数据模型修正为：
其中
是WGN，如果
，那么方差
，如果
，那么方差
。求PDF 
。把它与经典情况PDF 
进行比较，在经典的情况下A是确定性的，
是WGN，它的方差
为：a. 
; b. 
解答：
经典情况下，
是WGN，也就是：
而经典情况下，A是确定的，因此可以转换为：
又因为
是WGN，属于独立同分布，因此：
因此，经典条件下
，表示无条件PDF，可以看成是未知参数
的函数，用于参数估计时，也称之为似然函数。
而在贝叶斯情况下，A也是随机变量，且根据题目设定，
的方差与A的取值有关，因此两者就不独立了，进一步可以表示为：
因此：
由于在确定条件A下，
之间相互独立，因此，联合概率密度也可以直接相乘，进一步可以表示为：
对比可以发现，当
时：
但
时：
需要进一步注意的是，尽管当
时，在函数形式上两者相等，即：
，但两者的物理意义是不同的。具体的描述可以参考书（10.7）公式后的描述。
是关于A的函数，即A是个确定性参数，但A有不同取值。
是在不同A的取值，
这一组取值的概率大小，此时属于无条件PDF。取
最大值对应的A，就是极大似然估计下的
；
是一种条件概率，即随机变量为A时，
的概率大小，此时属于条件PDF。但由于此时随机变量取A的概率还不知道。因此，要在A在不同取值
概率的情况下，整体
也是关于随机变量A的函数。求该整体
最大值对应的A，对应就是MAP估计下的
。