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矩阵的迹（Trace）

news 来源：原创 2024/9/29 0:52:50

矩阵的迹（Trace）

flyfish

矩阵的迹（Trace）是指一个方阵（即行数和列数相同的矩阵）对角线元素之和。就是在一个正方形的数字表格里，沿着从左上角到右下角的对角线，把这条线上所有的数字加起来，得到的和就是这个矩阵的迹。

简单例子
假设我们有一个3x3的矩阵：

$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$
矩阵的迹就是对角线上的元素之和，也就是1、5和9的和：
$\text{Tr}(A) = 1 + 5 + 9 = 15$

矩阵的迹等于其特征值之和

计算矩阵的迹
假设我们有一个2x2的矩阵：
$\begin{pmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

import numpy as np
# 定义矩阵
A = np.array([[4, 1], [2, 3]])
# 计算矩阵的迹
trace_A = np.trace(A)
# 计算矩阵的特征值
eigenvalues_A = np.linalg.eigvals(A)
# 计算特征值之和
sum_eigenvalues = np.sum(eigenvalues_A)
print(trace_A, eigenvalues_A, sum_eigenvalues)

7 [5. 2.] 7.0

矩阵 $A$ 的特征值通过解矩阵的特征多项式得到。具体步骤如下：

步骤：

特征多项式：定义特征值 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值，如果存在非零向量 $\mathbf{v}$ 使得 $\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$ 。这可以转换为以下方程：
$\lambda I) \mathbf{v} = 0$
其中， $I$ 是单位矩阵。
行列式：为了有非零解，矩阵 $\lambda I)$ 的行列式必须为零，即：
$\det(A - \lambda I) = 0$
解多项式：上面的行列式是一个关于 $\lambda$ 的多项式方程，称为特征多项式。解这个多项式方程可以得到矩阵的特征值。

具体例子

对矩阵 $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ ，我们来计算特征值：

特征多项式：
$\lambda I = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1 \\ 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix}$
行列式：
$\det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1 \\ 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix} = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 \cdot 1$
展开多项式：
$\lambda)(3 - \lambda) - 2 = 12 - 4\lambda - 3\lambda + \lambda^2 - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10$
求根：
$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0$
求解这个二次方程可以得到特征值：
$\lambda = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}$

所以特征值是：
$\lambda_1 = 5, \lambda_2 = 2$

线性变换的固有尺度：特征值描述了线性变换在某些方向上的缩放因子。如果 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值，意味着存在一个向量 $\mathbf{v}$ 使得 $\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$ 。向量 $\mathbf{v}$ 在变换 $A$ 下只会被拉伸或压缩，而不会改变方向。
对角化：特征值可以用来对矩阵进行对角化。如果矩阵 $A$ 可以对角化，那么 $A = PDP^{-1}$ ，其中 $D$ 是对角矩阵，对角线上的元素是 $A$ 的特征值。对角化在简化矩阵的高次幂和指数矩阵计算中非常有用。

特征值提供了缩放因子的信息，而特征向量提供了变换方向的信息。也可以从特征向量的角度看特征值。

使用特征值和特征向量对矩阵进行对角化

假设我们有以下矩阵 $A$ ：
$\begin{pmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

步骤：

计算矩阵 ( A ) 的特征值。
计算与特征值对应的特征向量。
组成矩阵 ( P ) 和对角矩阵 ( D )。
验证 $A = PDP^{-1}$ 。

1. 计算特征值

特征值 (\lambda) 满足：
$\det(A - \lambda I) = 0$
其中 ( I ) 是单位矩阵：
$\det \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1 \\ 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix} = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 \cdot 1 = \lambda^2 - 7\lambda + 10$
解得特征值 $\lambda_1 = 5$ 和 $\lambda_2 = 2$ 。

2. 计算特征向量

对于 $\lambda_1 = 5$ ：
$5I)\mathbf{v} = 0$
$\begin{pmatrix} 4 - 5 & 1 \\ 2 & 3 - 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = 0$
解得特征向量：
$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
对于 $\lambda_2 = 2$ ：
$2I)\mathbf{v} = 0$
$\begin{pmatrix} 4 - 2 & 1 \\ 2 & 3 - 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = 0$
解得特征向量：
$\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

3. 组成矩阵 ( P ) 和对角矩阵 ( D )

特征向量组成矩阵 ( P )：
$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
特征值组成对角矩阵 ( D )：
$\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

4. 验证 $A = PDP^{-1}$

我们计算 ( P^{-1} )：
$P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{(1 \cdot 2 - (-1) \cdot 1)} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/3 & 1/3 \\ -1/3 & 1/3 \end{pmatrix}$
现在我们验证 $A = PDP^{-1}$ ：
$PDP^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2/3 & 1/3 \\ -1/3 & 1/3 \end{pmatrix}$
首先计算 ( PD )：
$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$
然后计算 $PD \cdot P^{-1}$ ：
$PD \cdot P^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2/3 & 1/3 \\ -1/3 & 1/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (5 \cdot 2/3 + (-2) \cdot (-1/3)) & (5 \cdot 1/3 + (-2) \cdot 1/3) \\ (5 \cdot 2/3 + 4 \cdot (-1/3)) & (5 \cdot 1/3 + 4 \cdot 1/3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$
验证得 $PDP^{-1} = A$ 。