一节课说明一类奥数题系列——约数与倍数
小学奥数-约数与倍数
约数和倍数：若整数 a 能够被 b 整除，a 叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个叫做这几
个数的最大公约数。a,b两数的最大公约数记作(a,b)。最小公倍数记作[a,b]。
例如：12 的约数有 1、2、3、4、6、12
18 的约数有：1、2、3、6、9、18
12 和 18 的公约数有：1、2、3、6
12 和 18 最大的公约数是：6
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几
个数的最小公倍数。
12 的倍数有：12、24、36、48……
18 的倍数有：18、36、54、72……
12 和 18 的公倍数有：36、72、108……
12 和 18 最小的公倍数是 36
约数数量：
一个数可表示为manboc…其中m，n，o为质数。
约数的数量就是选不同指数组合的数量。其中m的指数可以选0到a，共a+1种。n的指数有b+1种。
所以约数数量=(a+1)*(b+1)*(c+1)*…
几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
两个数的差是最大公约数的倍数。最大公约数小于等于两个数的差。
几个数都乘以一个自然数 k，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以k。
两个数分别乘以互质的两个数，最大公约数不变。
完全平方数的约数个数为奇数，其它数的约数个数为偶数
最大公约数*最小公倍数=两个数的乘积
设x=ka，y=kb。其中k是最大公约数。
因为a，b互质。a，b最小公倍数为a*b。
xy最小公倍数为kab。kab*k=x*y
例题1：已知两数最大公约是6，最小公倍是90，其中一个数是18，另一个数是多少？
答：6*90/18=30
分数最小公倍数=分子最小公倍数/分母最大公约数
证明※※※※※
设两个数最简分数为a/b,c/d。最小公倍数为x/y。(x/y)/(a/b), (x/y)/(c/d)为正整数。(
(x/y)/(a/b)=(x*b)/(y*a)。因为ab不能约分，xy不能约分，则x是a的倍数，b是y的倍数
同理，x是c的倍数，b是x的倍数。
说明x是a,c的公倍数。y是b,d的公约数。
要求x/y最小。则x是a,c的最小公倍数，y是b,d的最大公约数。
例题1：8/9,4/15最小公倍数
方法1：通分40/45,12/45。分子最小公倍数为120。结果为120/45=8/3
方法2：[8,4]/(9,15)=8/3
分数最大公约数=分子最大公约数/分母最小公倍数
例题1：8/9,4/15最大公约数
答：(8,4)/[9,15]=4/45
利用差求公约数
例题1：(357,391)
分析：两个数比较大，但差比较少。先求差=391-357=34。34为质数。则最大公约数是1或34。两个数除以34，能整除。最大公约数为34
例题2：两个数差是6，两个数的约数可能是？
答：1,2,3,6
约数个数
例题1：72约数个数。其中多少个约数是3的倍数
答：72=2^3*3^2。约数个数=(3+1)*(2+1)=12。约数是3的倍数，则至少选一个3。3有1,2共2种选法，2有0,1,2,3共4种选法，共2*4=8
约数拉灯※※※※
例题1： 一间屋子里有100盏灯排成一行，按从左至右的顺序编号1、2、3、4、5…99、100。每盏灯都有一个开关。开始100盏灯全部关着。现有100个学生，第1个学生把1的倍数的灯全部拉一下，第2个学生把2的倍数灯全部都拉一下，第3个学生把3的倍数灯全部都拉一下…第100个学生把100的倍数灯全部都拉一下，这时灯有多少是开着的？
答：一个数有奇数个约数，最后会开着。所以序号为完全平方数的灯最后会开着。1到100有10个完全平方数。所以最后有10盏灯开着。
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