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易懂的吉文斯（Givens）变换（一）

news 来源：原创 2024/9/19 19:26:54

文章目录

- 二阶Givens旋转矩阵
- - 作用于向量
  - 作用于矩阵
  - 更一般的情况

二阶Givens旋转矩阵

在QR分解中，Givens旋转是一种用于将矩阵变成上三角形的技术。

别的教程里面往往会直接给出一个n*n阶的通用Givens矩阵形式，但是这样太过抽象难懂了，而且难以领略到Givens变换的背后内涵，四臂西瓜我在学习矩阵论的时候就深陷其害，现在我写这篇教程，就是淋过雨，要为后人撑伞！

Givens矩阵，也可以叫旋转矩阵，它实际上是通过旋转，归零矩阵中的特定元素。不好理解吧？看了下面的例子就明白了。

为了方便理解，我们先以二阶为例。

作用于向量

现在我们手上有这么一个向量：
$a_1 = \begin{pmatrix} 4\\2\end{pmatrix}$
现在我们想把这个向量，旋转到x轴上，变成
$a_1^{'} = \begin{pmatrix} r\\0\end{pmatrix}$

这个变换可以用如下的方式进行表示：
$\begin{pmatrix}c&s\\-s&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4c+2s \\ -4s+2c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\\0\end{pmatrix}= a_1^{'}$

此处的
$\begin{pmatrix}c&s\\-s&c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos(\theta)&\sin(\theta)\\-\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix}$
表示一个标准的旋转矩阵。对应向量旋转角度$ \theta$。

于是我们可以得到下面的方程组
$\left \{ \begin{matrix} 4c+2s &= r \\ -4s+2c &= 0 \end{matrix} \right.$
因为是旋转变换，所以向量的模值不会改变， $\sqrt{4^2+2^2}$ 就是这个模值
$\left \{ \begin{matrix} 4c+2s &=& \sqrt{4^2+2^2} \\ -4s+2c &=& 0 \end{matrix} \right.$
可以解得
$\left \{ \begin{aligned}c&=\frac{2}{\sqrt{4^{2}+2^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{20}}=\frac{2}{4.4721}=0.4472\\s&=\frac{4}{\sqrt{4^{2}+2^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{20}}=\frac{4}{4.4721}=0.8944\end{aligned} \right.$
因此可以得到旋转矩阵
$G=\begin{pmatrix}c&s\\-s&c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.4472&0.8944\\-0.8944&0.4472\end{pmatrix}$
现在我们终于得到了最终的运算，成功将向量旋转到了x轴上，将y坐标清零。
$G\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.4472&0.8944\\-0.8944&0.4472\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4.4721\\0\end{pmatrix}$

作用于矩阵

理解了上述的过程后，现在我们可以看下旋转矩阵作用于矩阵的效果了。我们有如下矩阵，他左边的向量就是上一部分的
$A=\begin{pmatrix}4&1\\2&1\end{pmatrix}$
直接将上一节计算的旋转矩阵作用于 $A$
$G\begin{pmatrix}4&1\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4.4721&1.3416\\0&-0.4472\end{pmatrix}$
确实将A矩阵变为了上三角矩阵，实现了QR分解。其中左边的向量，正是上一节计算出来的结果。相信大家看到这里就有所领悟了。

对于矩阵，我们可以把它理解为多个列向量拼接而成。
$a_1 = \begin{pmatrix} 4\\2\end{pmatrix}\\ a_2 = \begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix}$
那么A可以理解为他们水平拼接在一起
$A = [a_1||a_2]$
根据拼接的运算性质，旋转矩阵作用于A，相当于分别作用于 $a_1$ 和 $a_2$ ，再将它们拼接在一起。
$G\cdot[a_1||a_2]=[G\cdot a_1||G\cdot a_2]$
我们现在借助这个性质再来理解下givens作用于矩阵
$G\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.4472&0.8944\\-0.8944&0.4472\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4.4721\\0\end{pmatrix}$

$G\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.4472&0.8944\\-0.8944&0.4472\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1.3416\\-0.4472\end{pmatrix}$

对于 $a_1$ 向量，借助旋转矩阵成功清零y坐标；对于 $a_2$ 矩阵，旋转矩阵作用后，得到新的向量

这里给大家留个思考，有没有可能， $a_2$ 矩阵，经过旋转矩阵后y轴也被清零？

$G\cdot[a_1||a_2]=[G\cdot a_1||G\cdot a_2] =[G\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix} ||G\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}] =\begin{pmatrix}4.4721&1.3416\\0&-0.4472\end{pmatrix}$

现在我们来总结下上面的清空过程，我们选择第一个列向量，通过构造givens矩阵，将其第二行清零，使得矩阵整体变为上三角形式。

到这里，相信大家能够理解最一开始的那句话，givens矩阵通过旋转作用，将矩阵变化为上三角形式。

更一般的情况

我们有如下矩阵，我们希望将c的位置，清零。
$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$
构造旋转矩阵
$G=\begin{pmatrix}c&s\\-s&c\end{pmatrix}$
得到
$\begin{pmatrix}c&s\\-s&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\\0\end{pmatrix}$
解方程后，我们就可以得到最终的形式：
$\begin{aligned}s=\sin(\theta)=\frac a{\sqrt{a^2+c^2}}\\c=\cos(\theta)=\frac c{\sqrt{a^2+c^2}}\end{aligned}$
这边读者可以带入前面的二阶例子中，熟悉计算过程，加深理解。