数学基础 -- 隐函数解题思路之微分运算满足线性性
问题与回答
问题
为什么 d d x ( x 2 + y 2 ) \frac{d}{dx}(x^2+y^2) dxd(x2+y2)可以拆分成 d d x ( x 2 ) + d d x ( y 2 ) \frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2) dxd(x2)+dxd(y2)，是根据什么数学原理？
回答
这是因为微分运算满足线性性。线性性是指对于任意两个函数 f ( x ) f(x) f(x)和 g ( x ) g(x) g(x)以及常数 c c c，以下两个性质成立：
- 可加性： d d x ( f ( x ) + g ( x ) ) = d d x f ( x ) + d d x g ( x ) \frac{d}{dx} (f(x) + g(x)) = \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx} g(x) dxd(f(x)+g(x))=dxdf(x)+dxdg(x)
- 齐次性： d d x ( c ⋅ f ( x ) ) = c ⋅ d d x f ( x ) \frac{d}{dx} (c \cdot f(x)) = c \cdot \frac{d}{dx} f(x) dxd(c⋅f(x))=c⋅dxdf(x)
具体到你的例子，考虑函数 x 2 + y 2 x^2 + y^2 x2+y2。在这个例子中， f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f(x)=x2和 g ( x ) = y 2 g(x) = y^2 g(x)=y2，它们都是关于 x x x的函数。因为微分运算是线性的，我们可以将它们的导数分开来求：
d d x ( x 2 + y 2 ) = d d x ( x 2 ) + d d x ( y 2 ) \frac{d}{dx} (x^2 + y^2) = \frac{d}{dx} (x^2) + \frac{d}{dx} (y^2) dxd(x2+y2)=dxd(x2)+dxd(y2)
这一步利用了微分的可加性。然后分别对 x 2 x^2 x2和 y 2 y^2 y2求导：
d d x ( x 2 ) = 2 x \frac{d}{dx} (x^2) = 2x dxd(x2)=2x
d d x ( y 2 ) = 2 y d y d x \frac{d}{dx} (y^2) = 2y \frac{dy}{dx} dxd(y2)=2ydxdy
最终得到：
d d x ( x 2 + y 2 ) = 2 x + 2 y d y d x \frac{d}{dx} (x^2 + y^2) = 2x + 2y \frac{dy}{dx} dxd(x2+y2)=2x+2ydxdy
这里值得注意的是，如果 y y y是 x x x的函数，即 y = y ( x ) y = y(x) y=y(x)，那么 d d x ( y 2 ) \frac{d}{dx} (y^2) dxd(y2)就会包含 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy。如果 y y y是一个常数而不是 x x x的函数，那么 d d x ( y 2 ) = 0 \frac{d}{dx} (y^2) = 0 dxd(y2)=0。
总结来说，之所以可以拆分，是因为微分运算的线性性，这使得我们可以分别对每一项进行求导。