数论第四节：二元一次不定方程、勾股数
不定方程定义
解不确定的方程称为不定方程。一般化的定义为：不定方程是指未知数的个数多余方程的个数，或未知数受到某种限制（如整数、正整数等）的方程和方程组。
二元一次不定方程定义
形如ax+by=c的形式的方程。其中a,b不等于0，且a,b,c为整数。
定理
定理1
方程 a x + b y = c ax+by=c ax+by=c有解的充要条件是 （ a , b ） ∣ c （a,b）|c （a,b）∣c。
证明：
设方程有解x’,y’，则有ax’+by’=c；
因为（a,b）|a,（a,b）|b，所以（a,b）|c。
反之亦然。
定理2（二元一次方程有解的情况下解的结构）
设 x 0 ， y 0 x_0，y_0 x0，y0是方程组的一组解，则不定方程有无穷解，其一切解可以表示为
其中， a 1 , b 1 a_1,b_1 a1,b1表示如下：
证明：
由 x 0 , y 0 x_0,y_0 x0,y0是方程组的特解，为了求基础解系，所以可以将方程表示为 齐次线性 的形式如下：
a ( x − x 0 ) + b ( y − y 0 ) = 0 a(x-x_0)+b(y-y_0)=0 a(x−x0)+b(y−y0)=0
即：
a 1 ( x − x 0 ) = − b 1 ( y − y 0 ) a_1(x-x_0)=-b_1(y-y_0) a1(x−x0)=−b1(y−y0)，可得 a 1 ∣ b 1 ( y − y 0 ) a_1|b_1(y-y_0) a1∣b1(y−y0)
因为 ( a 1 , b 1 ) = 1 (a_1,b_1)=1 (a1,b1)=1（可以用反证法证明，这里证明留给读者），所以 a 1 ∣ ( y − y 0 ) a_1|(y-y_0) a1∣(y−y0)
令 a 1 t = ( y − y 0 ) a_1t=(y-y_0) a1t=(y−y0)，可得 y = a 1 t + y 0 y=a_1t+y_0 y=a1t+y0。
例题
例1：(直接法：凑特解)
解不定返程 9 x + 21 y = 144 9x+21y=144 9x+21y=144
1、判断有无解
由定理1，(9,21)=3，且3|144可知，方程有解。
2、化简方程
两边同除(9,21)，得方程如下：
3 x + 7 y = 48 3x+7y=48 3x+7y=48。
考虑 3 x + 7 y = 1 3x+7y=1 3x+7y=1，解得x=-2,y=1。
3、求出解
特解为x=-96，y=48。由定,2可求得 a 1 , b 1 a_1,b_1 a1,b1的值为3,7。
所以方程的解为 x = − 96 + 7 t ， y = 48 − 3 t ， t ∈ Z x=-96+7t，y=48-3t，t∈Z x=−96+7t，y=48−3t，t∈Z。
例2：(整数分离法：特解不好凑的情况)
核心思想： 通过将分式设为未知量，简化原式。找到x,y之间的联系，将x，y的联系表示为f(t)的形式。然后就可以将通解表示为t的形式。
例三：（公式法：采用递归的方式实现，适合写代码）
勾股数定义
由勾股定理进行推广，形如 x 2 + y 2 = z 2 x^2+y^2=z^2 x2+y2=z2的形式。为一种特殊形式的二次不定方程 。
引理
不定方程
u ∗ v = w 2 , w > 0 , u > 0 , v > 0 , ( u , v ) = 1 u*v=w^2,w>0,u>0,v>0,(u,v)=1 u∗v=w2,w>0,u>0,v>0,(u,v)=1
的一切正整数解可以写成公式
u = a 2 , v = b 2 , w = a b , a > 0 , b > 0 , ( a , b ) = 1 u=a^2,v=b^2,w=ab,a>0,b>0,(a,b)=1 u=a2,v=b2,w=ab,a>0,b>0,(a,b)=1
定理
定理1（勾股定理解的一般形式）
不定方程 x 2 + y 2 = z 2 x^2+y^2=z^2 x2+y2=z2的使用条件：
x > 0 , y > 0 , z > 0 , ( x , y ) = 1 , 且 2 ∣ x x>0,y>0,z>0,(x,y)=1,且2|x x>0,y>0,z>0,(x,y)=1,且2∣x
的一切正整数解可以用下列公式表示出来：
x = 2 a b , y = a 2 − b 2 , z = a 2 + b 2 x=2ab,y=a^2-b^2,z=a^2+b^2 x=2ab,y=a2−b2,z=a2+b2
s . t . a > b > 0 , ( a , b ) = 1 , a , b 一奇一偶 s.t. a>b>0,(a,b)=1,a,b一奇一偶 s.t.a>b>0,(a,b)=1,a,b一奇一偶
这样，就得到了勾股定理的一般表示。
例题
上面的定理有点抽象，不好理解，做一题来巩固下。
求不定方程
x 2 + 3 y 2 = z 2 , ( x , y ) = 1 , x > 0 , y > 0 , z > 0 x^2+3y^2=z^2,(x,y)=1,x>0,y>0,z>0 x2+3y2=z2,(x,y)=1,x>0,y>0,z>0
的一切正整数解的公式。
** 解：**
3 y 2 = z 2 − x 2 = ( z − x ) ( z + x ) 3y^2=z^2-x^2=(z-x)(z+x) 3y2=z2−x2=(z−x)(z+x)
不妨设 x x x为偶数， y y y是奇数，则 z z z是奇数。
然后由引理 w 2 = u v w^2=uv w2=uv，想证明u=(z-x)与v=(z+x)互质，就可以得到一般式。
具体的证明过程留到习题课。