基于FPGA的数字信号处理（20）--半减器和全减器
目录
1、前言
2、半减器
3、全减器
4、减法器
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1、前言
既然有半加器和全加器，那自然也有半减器和全减器了。尽管在电路中减法的实现基本都是 补码 + 加法 的形式，但是正所谓技多不压身，了解一下半减器和全减器还是有一定作用的，至少能扩宽知识面嘛。
2、半减器
最简单的减法器叫做 半减器（Half Subtractor），它将2个1bit的输入数据相减，输出一个1bit的结果即 差Di（Difference），以及向高位的借位Bo（Borrow output）。例如：
-
1 - 1 = 01 -1 = 0，不需要向高位借位，差为0，即Bo = 0，Di = 0
-
1 - 0 = 01 -0 = 1，不需要向高位借位，差为1，即Bo = 0，Di = 1
-
0 - 1 = 10 -1 = 1， 需要向高位借位，差为1，即Bo = 1，Di = 1
-
0 - 0 = 00 -0 = 0，不需要向高位借位，差为0，即Bo = 0，Di = 0
2个1bit数相减，最多只有4种情况（在上面已经例出来了），据此可以写出半减器的真值表：
| 被减数 | 减数 | 差 | 向高位借位 |
|---|---|---|---|
| X | Y | Di | Bo |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
从这个真值表，不难推断出输出的逻辑表达式：
-
差Di在2个输入不同时为1，所以它是输入异或的结果，即 Di = a ^ b
-
向高位借位Bo在X = 0 且 Y = 1 时才为1，即 Bo= ~X & Y
有了逻辑表达式后，可以很容易地画出对应的门电路结构：
顺便提一句，虽然半减器的基本电路是上面这个样子的，但是因为在FPGA中只有查找表LUT而没有具体的门电路，所以如果用FPGA来综合半减器的话，它的电路应该是这个样子的（因为只有2个输入和2个输出，所以只要1个LUT6就可以覆盖到所有情况）：
如果你不了解LUT，可以看看这篇文章：从底层结构开始学习FPGA（2）----LUT查找表，或者看看这个专栏：从底层结构开始学习FPGA
IBUF和OBUF是Vivado自动添加的对输入输出管脚的缓冲，尽管上图显示的是2个LUT2（可能这样的显示更清晰一点），但是实际上就是1个LUT6，下面的资源显示情况也证明了这一点：
用verilog实现半减器如下：
//使用逻辑表达式来描述半减器
module half_subtractor(input x, //被减数input y, //减数output di, //差output bo //向高位借位
);
//根据化简结果分别表示：差 与 向高位借位
assign di = x ^ y;
assign bo = ~x & y;endmodule有了RTL，接下来就该要写个对应的TB来测试电路功能是否正常。由于这个电路足够简单（一共只有4种情况），所以我们可以把所有可能的情况都穷举出来，然后观察输出是否符合预期即可。TB如下：
`timescale 1ns/1ns //时间刻度：单位1ns,精度1ns
module tb_half_subtractor();
//定义变量
reg x;
reg y;
wire di;
wire bo;
//设置初始化条件
initial begin//第1种情况x =1'b0; y =1'b0; #10 //第2种情况x =1'b0; y =1'b1; #10 //第3种情况x =1'b1; y =1'b0;#10 //第4种情况x =1'b1; y =1'b1;#10 $stop(); //结束仿真
end
//例化被测试模块
half_subtractor u_half_subtractor(.x (x),.y (y), .di (di), .bo (bo)
);endmodule仿真结果如下：
通过和真值表的对比（或者验证逻辑表达式也可以），可以发现，电路的输出是符合预期的。
3、全减器
虽然半减器可以实现2个1bit数的减法，但在实际应用中，更常见的是要实现2个多bits数的减法，那么该如何实现？以2个2bits数的减法为例：
-
先把低位和高位的减法先分开。
-
低位是2个1bit的减法，所以可以用1个HS（半减器）来实现，它产生的差就是最终结果的低位，它产生的向高位借位要被送入到高位参与它们的减法。
-
高位除了要计算减数和被减数的高位外，还有1个来自低位的借位。
好，现在问题是半减器没有设计来自低位的借位，所以它处理不了这种情况。为此，全减器被设计出来了，它在半减器的基础上，增加了来自低位的借位输入。这样多个全减器就可以级联起来实现多bits的减法了。
全减器（Full Subtractor），它处理2个1bit的输入和来自低位的借位Bi（Borrow input）输入共3个数，输出一个差Di和向高位的借位Bi。例如（格式：被减数- 减数 - 来自低位的借位）：
-
1 - 1 - 1 = 11 - 1 - 1 = 0，来自低位的借位为1， 需要向高位借位，差为0，即Bi = 1，Bo = 0，Di = 0
-
1 - 1 - 0 = 01 - 1 - 0 = 0，来自低位的借位为0，不需要向高位借位，差为0，即Bi = 0，Bo = 0，Di = 0
-
1 - 0 - 1 = 01 - 0 - 1 = 0，来自低位的借位为1，不需要向高位借位，差为0，即Bi = 1，Bo = 0，Di = 0
-
1 - 0 - 0 = 01 - 0 - 0 = 0，来自低位的借位为0，不需要向高位借位，差为1，即Bi = 0，Bo = 0，Di = 1
-
······
3个输入一共只有8种情况，把所有情况都穷举出来，就可以列出全减器的真值表：
| 被减数 | 减数 | 来自低位的借位 | 差 | 向高位的借位 |
|---|---|---|---|---|
| X | Y | Bi | Di | Bo |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
从这个真值表，不难推断出两个输出的逻辑表达式：
-
Di为1的4种情况，~x&~y&bi + ~x&y&~bi + x&~y&~bi + x&y&bi=~x&(~y&bi+y&~bi)+x&(~y&~bi+y&bi) = ~x&(y^bi) + x&~(y^bi) = x ^ y ^ bi
-
Bo为1的4种情况，~x&~y&bi + ~x&y&~bi + ~x&y&bi + x&y&bi = ~x&(~y&bi+y&~bi) + (~x+x)&y&bi = ~x&(y^bi) + y&bi
有了逻辑表达式后，就很容易画出电路图了（偷了个懒，不是画的，是用vivado生成的）：
根据门电路，可以写出全减器的Verilog实现：
//使用逻辑表达式来描述全减器
module full_subtractor(input x, //被减数input y, //减数input bi, //来自低位的借位output di, //差output bo //向高位借位
);
//根据化简结果分别表示：差 与 向高位借位
assign di = x ^ y ^ bi;
assign bo = ~x & (y ^ bi) | y & bi;endmodule 接下来写个TB测试电路，输入一共只有8个，所以依然用穷举法来测试：
`timescale 1ns/1ns //时间刻度：单位1ns,精度1ns
module tb_full_subtractor();
//定义变量
reg x;
reg y;
reg bi;
wire di;
wire bo;
//设置初始化条件
initial begin//第1种情况x =1'b0; y =1'b0; bi =1'b0; #10 //第2种情况x =1'b0; y =1'b1;bi =1'b0; #10 //第3种情况x =1'b1; y =1'b0;bi =1'b0;#10 //第4种情况x =1'b1; y =1'b1;bi =1'b0;#10 //第5种情况x =1'b0; y =1'b0; bi =1'b1;#10 //第6种情况x =1'b0; y =1'b1;bi =1'b1;#10 //第7种情况x =1'b1; y =1'b0;bi =1'b1;#10 //第8种情况x =1'b1; y =1'b1;bi =1'b1; #10 $stop(); //结束仿真
end
//例化被测试模块
full_subtractor u_full_subtractor(.x (x),.y (y), .di (di),.bi (bi),.bo (bo)
);endmodule
仿真结果如下所示：
通过和真值表的对比（或者验证逻辑表达式也可以），可以发现，电路的输出是符合预期的。
4、减法器
有了全减器后，就可以实现两个多bits数的减法了，这样的电路也被称为减法器。和行波进位加法器的结构类似，我们也可以将多个全减器级联起来搭建减法器，以4bits的减法为例，它的结构如下：
根据结构图，可以很快地写出它对应的Verilog代码：
//使用多个全减器建联构建减法器
module subtractor(input [3:0] x, //被减数input [3:0] y, //减数input bi, //来自低位的借位output [3:0] di, //差output bo //向高位借位
);
wire b1,b2,b3; //借位连接
//例化全减器来构建减法器
full_subtractor u0(.x (x[0]),.y (y[0]), .di (di[0]),.bi (bi),.bo (b1)
);
full_subtractor u1(.x (x[1]),.y (y[1]), .di (di[1]),.bi (b1),.bo (b2)
);
full_subtractor u2(.x (x[2]),.y (y[2]), .di (di[2]),.bi (b2),.bo (b3)
);
full_subtractor u3(.x (x[3]),.y (y[3]), .di (di[3]),.bi (b3),.bo (bo)
);
endmodule这里记得要把之前的全减器也添加进工程。生成的示意图如下（这个排布不能很好地看出来层次结构，但确实没错）：
然后写个TB测试一下这个减法器电路，因为4个bits即16×16=256种情况，加上低位借位的两种情况，也才256×2=512种情况，所以依然用穷举法来测试：
`timescale 1ns/1ns //时间刻度：单位1ns,精度1ns
module tb_full_subtractor();
//定义变量
reg [3:0] x; //被减数
reg [3:0] y; //减数
reg bi; //来自低位的借位
wire [3:0] di; //差
wire bo; //向高位借位
reg [3:0] di_real; //差的真实值，作为对比
reg bo_real; //向高位借位的真实值，作为对比
wire di_flag; //di正确标志信号
wire bo_flag; //bo正确标志信号
assign di_flag = di == di_real; //di结果正确时拉高该信号
assign bo_flag = bo == bo_real; //bo结果正确时拉高该信号
integer z,i,j; //循环变量
//设置初始化条件
initial begin//初始化x =1'b0; y =1'b0; bi =1'b0; //设定低位借位为0//穷举所有情况for(z=0;z<=1;z=z+1)beginbi = z;for(i=0;i<16;i=i+1)beginx = i;for(j=0;j<16;j=j+1)beginy = j;if((i-j-z)<0)begin //减法结果是负数di_real = (i - j - z)+ 5'd16; //加上向高位的借位bo_real = 1; //向高位的借位为1endelse begin //减法结果是正数数di_real = i - j - z; //结果就是减法本身bo_real = 0; //向高位的借位为0end#5; end endend#10 $stop(); //结束仿真
end
//例化被测试模块
subtractor u_subtractor(.x (x),.y (y), .di (di),.bi (bi),.bo (bo)
);endmoduleTB中分别用3个嵌套循环将所有情况穷举出来，即bi=0~1、x=0~15和y=0~15的所有情况。减法运算的预期结果也是很容易就可以找出来的，就是直接写减法就行。接着构建了两个标志向量di_flag和bo_flag作为电路输出与预期结果的对比值，当二者一致时即拉高这两个信号。这样我们只要观察这两个信号，即可知道电路输出是否正确。仿真结果如下：
可以看到，di_flag和bo_flag都是一直拉高的，说明电路输出正确。