线性代数 第四讲 极大线性无关组，等价向量组，向量组的秩
文章目录
- 1.极大线性无关组
- 2.等价向量组
- 2.1 等价向量组的判断
- 3.向量组的秩
- 4.等价矩阵和等价向量组
- 5. 重难点题型总结
- 5.1 极大线性无关组的计算
- 5.2 AB的行向量表示与AB的列向量表示
1.极大线性无关组
定义:
在一个向量组中，取部分向量组成新的向量组，这个新向量组是线性无关的。但是假如再往这个新的向量组中再添加一个向量，它就变成线性相关的了。
总结：
极大线性无关组一般不唯一。
极大线性无关组，就是在一个向量组中，找出可以张成原先空间的一个最少向量组成的向量组。
2.等价向量组
2.1 等价向量组的判断
- 两个向量组可以互相线性表示
- 单向线性表示+r(Ⅰ)=r(Ⅱ)即两个向量组秩相同
- r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ,Ⅱ),即两个向量组的秩相同且等于他们拼接的向量组的秩
综上所述，满足任意一条,即可说明两个向量组等价
所以，极大线性无关组和它原本的向量组肯定是等价向量组
3.向量组的秩
定义：
极大线性无关组中所包含向量的个数r，称为向量组的秩。
有关向量组的秩的重要结论：
1.三秩相等
r(A)A矩阵的秩=A的行秩(A的行向量组的秩)=A的列秩(A的列向量组的秩)
2.A做初等行变换得到B
1）A的行向量组和B的行向量组是等价向量组
2）A和B任何相应的部分列向量组具有相同的线性相关性。
3.某向量组中任一向量可由另一个向量组表示
向量组a1，a2，a3…和向量组β1，β2，β3…其中每一个βi向量均可由向量组a表示，则说明
r ( β 1 β 2 , . . . β t ) ≤ r ( a 1 a 2 , . . . a t ) r\left(\beta _{1}\beta _{2},...\beta _{t}\right) \leq r\left(a_{1}a_{2},...a_{t}\right)\: r(β1β2,...βt)≤r(a1a2,...at)
4.等价矩阵和等价向量组
等价矩阵要求同时满足两条:
1.形状相同（意味着行数和列数要相同），但是等价向量组要同维，向量个数可以不同
2.矩阵的秩相同
等价矩阵做初等行变换或列变换之后，还是等价矩阵 PAQ=B
等价向量组的判定法见第二大点
5. 重难点题型总结
5.1 极大线性无关组的计算
根据向量组的秩重要结论二可知，求一个向量组的极大线性无关组，先把向量组的列向量拼起来，做初等行变换，然后化为行阶梯形矩阵，该矩阵秩多大，极大线性无关组中向量个数就是多大，找完之后，他们之间的线性关系，就是原向量之间的线性关系。
流程说明:假设证明向量组A和向量组B等价
先算（A,B)，得到r(A)=r(A,B)
再算（B,A)，得到r(B)=r(B,A)
综上r(A)=r(B)=r(A,B)，得出等价结论
5.2 AB的行向量表示与AB的列向量表示
真题实战1:
设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则()
(A)矩阵C的行向量组与A的行向量组等价
(B)矩阵C的列向量组与A的列向量组等价
(C)矩阵C的行向量组与B的列向量组等价
(D)矩阵C的列向量组与B的列向量组等价
分析如下:
证明向量组等价，意味着要证明向量组之间可以互相线性表示
根据上面的总结结论:
AB=C推出C的列向量可由A的列向量线性表示，C的行向量可由B的行向量线性表示
又因为B可逆，所以A=CB-1，推出A的列向量可由C的列向量线性表示，C的行向量可由B-1的行向量线性表示.
综上所述，C的列向量组与A的列向量组等价
真题实战2 (2018年真题)A,B~n阶
(A)r(A,AB)=r(A)
(B)r(A,BA)=r(A)
(C)r(A,B)=max{r(A),r(B)}
(D)r(A,B)=r(AT,BT)
分析如下:
因为是左右拼接，所以(A,AB)看列向量，AB其实A列向量的线性表示，故A正确
B选项中，AB其实是B列向量的线性表示，故B不一定
C,D简单的举出反例不正确，故选A