数学建模常见模型（上）

目录

1. 机理分析类模型

1.1 机理分析类模型的概念

1.2 微分方程建模

1.2.1 常微分方程（ODE）

1.2.2 偏微分方程（PDE）

1.3 动力系统

1.4 守恒定律

2. 运筹优化类模型

2.1 线性规划（LP）

2.2 整数规划（IP）

2.3 动态规划（DP）

3. 评价决策类模型

3.1 层次分析法（AHP）

3.2 TOPSIS法

3.3 灰色关联分析

4. 数理统计模型（主要是预测类）

4.1 回归分析

4.2 时间序列分析

4.3 假设检验

1. 机理分析类模型

1.1 机理分析类模型的概念

机理分析类模型主要基于物理、化学、生物等领域的基础原理，将实际过程转化为数学模型。构建这类模型需要对实际问题有深入理解，然后用数学方法进行表达。

• 基本原理：物理定律（如牛顿定律、热传导定律）、化学反应方程、生物增长模型等。
• 数学表达：常用微分方程、积分方程等来描述动态变化和状态转移。

1.2 微分方程建模

微分方程建模是机理分析类模型的一个重要方法，用于描述一个系统的动态行为。微分方程将一个系统的状态量（如温度、速度、浓度等）与时间或空间的变化率关联起来。

1.2.1 常微分方程（ODE）

常微分方程描述了一个状态变量随时间变化的速率。一般形式为：

dydt=f(y,t)\frac{dy}{dt} = f(y, t)dtdy​=f(y,t)

应用示例：人口增长模型

• Malthus人口模型：假设人口增长率与当前人口成正比，模型方程为：

dPdt=rP\frac{dP}{dt} = rPdtdP​=rP

其中，P(t)P(t)P(t) 是人口数量，rrr 是增长率。

• 解决方法：使用MATLAB的ode45函数求解ODE。

% MATLAB代码示例
r = 0.1; % 人口增长率
P0 = 100; % 初始人口
tspan = [0, 100]; % 时间范围
odefun = @(t, P) r * P;
[t, P] = ode45(odefun, tspan, P0);
plot(t, P);
title('Malthus人口增长模型');
xlabel('时间 t');
ylabel('人口 P');

1.2.2 偏微分方程（PDE）

偏微分方程描述了多维变量之间的关系，通常用于描述物理现象的空间分布和时间演化。

应用示例：热传导方程

• 热传导方程：描述热在固体中的扩散，基本形式为：

∂u∂t=α∇2u\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u∂t∂u​=α∇2u

其中，u(x,t)u(x, t)u(x,t) 是温度分布函数，α\alphaα 是热扩散系数。

• 解决方法：使用MATLAB的pdepe函数求解PDE。

% MATLAB代码示例
m = 0; % PDE模型
x = linspace(0,1,20); % 空间范围
t = linspace(0,2,5); % 时间范围
sol = pdepe(m,@heatpde,@heatic,@heatbc,x,t);% 热传导方程
function [c,f,s] = heatpde(x,t,u,dudx)c = 1;f = dudx;s = 0;
end% 初始条件
function u0 = heatic(x)u0 = sin(pi*x);
end% 边界条件
function [pl,ql,pr,qr] = heatbc(xl,ul,xr,ur,t)pl = ul;ql = 0;pr = ur;qr = 0;
end

1.3 动力系统

动力系统是指随时间变化的系统。描述动力系统的方法通常是建立微分方程或差分方程，用来模拟系统的时间演化过程。

应用示例：简单摆动模型

• 简单摆动模型：描述一个简单摆的运动，其动力学方程为：

d2θdt2+glsin⁡(θ)=0\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l} \sin(\theta) = 0dt2d2θ​+lg​sin(θ)=0

其中，θ(t)\theta(t)θ(t) 是摆角，ggg 是重力加速度，lll 是摆长。

• 解决方法：使用MATLAB的ode45函数求解非线性ODE。

% MATLAB代码示例
g = 9.81; % 重力加速度
l = 1; % 摆长
odefun = @(t,theta) [theta(2); -g/l*sin(theta(1))];
[t,theta] = ode45(odefun, [0, 10], [pi/4, 0]);
plot(t, theta(:,1));
title('简单摆动模型');
xlabel('时间 t');
ylabel('摆角 \theta');

1.4 守恒定律

守恒定律是自然科学中的基本规律，例如质量守恒、动量守恒、能量守恒等。通过这些守恒定律，可以建立反映实际物理现象的数学模型。

应用示例：质量守恒

• 质量守恒方程：描述流体中的质量守恒，一般形式为：

∂ρ∂t+∇⋅(ρv)=0\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0∂t∂ρ​+∇⋅(ρv)=0

其中，ρ\rhoρ 是流体密度，v\mathbf{v}v 是流体速度。

• 解决方法：可以使用MATLAB进行数值模拟，特别是流体力学中的CFD仿真。

2. 运筹优化类模型

2.1 线性规划（LP）

线性规划是一种求解目标函数在若干约束条件下达到最大或最小值的优化方法。它在运筹学中具有广泛应用。

基本形式：

Minimize c⊤x\text{Minimize } \mathbf{c}^\top \mathbf{x}Minimize c⊤x Subject to Ax≤b,x≥0\text{Subject to } \mathbf{A} \mathbf{x} \leq \mathbf{b}, \quad \mathbf{x} \geq 0Subject to Ax≤b,x≥0

应用示例：生产计划优化

• 问题描述：某工厂需要生产两种产品，每种产品的利润和资源消耗不同，目标是最大化总利润。
• 模型建立：

设 x1x_1x1​ 和 x2x_2x2​ 为两种产品的产量，目标函数和约束条件为：

Maximize Z=3x1+5x2\text{Maximize } Z = 3x_1 + 5x_2Maximize Z=3x1​+5x2​ Subject to {2x1+3x2≤122x1+x2≤8x1,x2≥0\text{Subject to } \begin{cases} 2x_1 + 3x_2 \leq 12 \\ 2x_1 + x_2 \leq 8 \\ x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}Subject to ⎩⎨⎧​2x1​+3x2​≤122x1​+x2​≤8x1​,x2​≥0​

• 解决方法：使用MATLAB的linprog函数。

% MATLAB代码示例
f = [-3; -5]; % 目标函数系数向量（MATLAB求解最小值，需要取负）
A = [2, 3; 2, 1]; % 约束条件矩阵
b = [12; 8]; % 约束条件向量
lb = zeros(2,1); % 决策变量的下界
[x, fval] = linprog(f, A, b, [], [], lb);
fprintf('最优解：x1 = %.2f, x2 = %.2f, 最大利润 = %.2f\n', x(1), x(2), -fval);

2.2 整数规划（IP）

整数规划是指在求解线性规划问题时，要求所有决策变量都为整数的优化问题。它常用于决策变量必须是离散的情况，例如选址、设备分配等。

应用示例：生产线安排

• 问题描述：某工厂需要安排生产线，确保最大化生产效益，但生产线只能安排整数。
• 模型建立：

设 x1,x2,x3x_1, x_2, x_3x1​,x2​,x3​ 为生产线的开工数量，目标函数和约束条件为：

Maximize Z=4x1+5x2+6x3\text{Maximize } Z = 4x_1 + 5x_2 + 6x_3Maximize Z=4x1​+5x2​+6x3​ Subject to {x1+x2+x3≤5x1,x2,x3≥0x1,x2,x3∈Z\text{Subject to } \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 \leq 5 \\ x_1, x_2, x_3 \geq 0 \\ x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{Z} \end{cases}Subject to ⎩⎨⎧​x1​+x2​+x3​≤5x1​,x2​,x3​≥0x1​,x2​,x3​∈Z​

• 解决方法：使用MATLAB的intlinprog函数。

% MATLAB代码示例
f = [-4; -5; -6]; % 目标函数系数向量
A = [1, 1, 1]; % 约束条件矩阵
b = 5; % 约束条件向量
lb = zeros(3,1); % 决策变量的下界
intcon = 1:3; % 指定整数变量
[x, fval] = intlinprog(f, intcon, A, b, [], [], lb);
fprintf('最优解：x1 = %d, x2 = %d, x3 = %d, 最大效益 = %.2f\n', x(1), x(2), x(3), -fval);

2.3 动态规划（DP）

动态规划是一种通过将问题分解为子问题并利用子问题的最优解来构建原问题最优解的方法。它适用于多阶段决策过程。

应用示例：最短路径问题

• 问题描述：给定一个有向图，求从起点到终点的最短路径。

• 模型建立：使用Bellman-Ford算法逐步更新路径长度。

• 解决方法：手动实现动态规划算法。

% MATLAB代码示例
% 初始化距离矩阵
dist = [0, 1, Inf, Inf; Inf, 0, 1, Inf; Inf, Inf, 0, 1; Inf, Inf, Inf, 0];
n = size(dist, 1); % 节点数量
D = Inf(n, n); % 最短路径矩阵
D(1, :) = 0; % 起点到所有点的初始距离% 动态规划求解最短路径
for k = 2:nfor i = 1:nfor j = 1:nif dist(i, j) ~= InfD(k, j) = min(D(k, j), D(k - 1, i) + dist(i, j));endendend
end
fprintf('从起点到终点的最短路径长度为：%d\n', D(n, n));

3. 评价决策类模型

3.1 层次分析法（AHP）

层次分析法是一种基于多准则决策的评价方法，通过构建决策层次结构，进行成对比较，并通过一致性检验来确保决策的合理性。

应用示例：投资决策

• 问题描述：公司需要在多个投资项目中选择一个最佳的投资方案。
• 模型建立：构建层次结构模型，包括目标层、准则层和方案层。

解决方法：手动计算或使用MATLAB进行成对比较矩阵的特征值分析。

% MATLAB代码示例
% 成对比较矩阵
A = [1, 3, 1/5; 1/3, 1, 1/7; 5, 7, 1];% 计算特征值和特征向量
[V, D] = eig(A);
max_eigenvalue = max(diag(D)); % 最大特征值
consistency_index = (max_eigenvalue - 3) / (3 - 1); % 一致性指标
consistency_ratio = consistency_index / 0.58; % 一致性比例（3阶随机一致性指数为0.58）% 输出结果
fprintf('最大特征值：%.2f\n', max_eigenvalue);
fprintf('一致性比例：%.2f\n', consistency_ratio);
if consistency_ratio < 0.1fprintf('该矩阵通过一致性检验。\n');
elsefprintf('该矩阵未通过一致性检验，需要重新调整。\n');
end

3.2 TOPSIS法

TOPSIS法是一种基于离差最大化的多准则决策方法，通过计算各方案与理想解和负理想解的距离来进行排序。

应用示例：供应商选择

• 问题描述：某公司需要从多个供应商中选择一个最优供应商。
• 模型建立：构建评价矩阵，标准化处理后计算每个方案的得分。

解决方法：手动计算或使用MATLAB进行矩阵运算。

% MATLAB代码示例
% 原始数据矩阵
X = [0.9, 200; 0.8, 180; 0.7, 220];% 标准化矩阵
normX = X ./ sqrt(sum(X.^2, 1));% 确定理想解和负理想解
ideal_solution = max(normX);
negative_ideal_solution = min(normX);% 计算与理想解和负理想解的距离
d_positive = sqrt(sum((normX - ideal_solution).^2, 2));
d_negative = sqrt(sum((normX - negative_ideal_solution).^2, 2));% 计算得分并排序
score = d_negative ./ (d_positive + d_negative);
[~, idx] = sort(score, 'descend');fprintf('最优供应商为供应商 %d\n', idx(1));

3.3 灰色关联分析

灰色关联分析是一种在信息不完全或不确定的情况下，通过灰色系统理论进行决策分析的方法。

应用示例：产品质量评估

• 问题描述：评估多个产品的质量，选择最优产品。
• 模型建立：构建灰色关联矩阵，计算关联度。

解决方法：手动计算或使用MATLAB进行矩阵运算。

% MATLAB代码示例
% 数据矩阵
X = [0.6, 0.8, 0.5; 0.7, 0.6, 0.9; 0.8, 0.7, 0.6];% 计算关联度
ref_series = [0.7, 0.7, 0.7]; % 参考序列
gray_rel = abs(X - ref_series) ./ (abs(X - ref_series) + abs(ref_series - mean(X(:))));% 计算关联度平均值
gray_degree = mean(gray_rel, 2);% 输出最优产品
[~, idx] = max(gray_degree);
fprintf('最优产品为产品 %d\n', idx);

4. 数理统计模型（主要是预测类）

4.1 回归分析

回归分析用于探讨因变量与一个或多个自变量之间的关系，通过拟合模型来进行预测。

应用示例：经济指标预测

• 问题描述：预测未来的经济指标（如GDP增长率）。
• 模型建立：使用历史数据拟合线性回归模型。

解决方法：使用MATLAB的fitlm函数。

% MATLAB代码示例
% 模拟数据
X = [1, 2, 3, 4, 5]';
Y = [2.2, 2.8, 3.6, 4.5, 5.1]';% 线性回归模型
mdl = fitlm(X, Y);% 输出回归结果
disp(mdl);

4.2 时间序列分析

时间序列分析通过研究数据随时间的变化规律，建立数学模型进行预测。

应用示例：销售预测

• 问题描述：预测未来几个月的销售额。
• 模型建立：使用ARIMA模型进行时间序列分析。

解决方法：使用MATLAB的arima函数。

% MATLAB代码示例
% 模拟销售数据
sales = [100, 120, 130, 150, 170, 200]';% 拟合ARIMA模型
model = arima('ARLags', 1, 'D', 1, 'MALags', 1);
fit = estimate(model, sales);% 预测未来销售
forecasted_sales = forecast(fit, 3);
disp(forecasted_sales);

4.3 假设检验

假设检验用于评估样本数据是否符合某种假设，常用于检验模型的适用性和预测能力。

应用示例：销售策略的效果评估

• 问题描述：评估新的销售策略是否显著提高了销售额。
• 模型建立：使用t检验或其他假设检验方法。

解决方法：使用MATLAB的ttest函数。

% MATLAB代码示例
% 模拟数据
before = [100, 110, 105, 98, 95];
after = [120, 130, 125, 140, 135];% t检验
[h, p] = ttest(before, after);
if h == 1fprintf('新的销售策略显著提高了销售额（p = %.3f）。\n', p);
elsefprintf('新的销售策略没有显著提高销售额（p = %.3f）。\n', p);
end