【经纬度坐标系、墨卡托投影坐标系和屏幕坐标系转换详解】

1. 引言

在地理信息系统（GIS）领域，坐标系转换是一项基础而重要的任务。本文将围绕三种主要的地图坐标系——墨卡托投影坐标系、屏幕坐标系和经纬度坐标系——探讨它们之间的相互转换关系，并提供相应的数学推导及实现方法。

2. 坐标系定义

2.1 经纬度坐标系

原点：经纬度坐标系的原点是位于赤道和格林威治子午线交点的位置，即 (0°, 0°)。

• 定义：经纬度坐标系是最常见的地理坐标系统，其中经度（longitude）范围是 -180° 到 +180°，纬度（latitude）范围是 -90° 到 +90°。
• 坐标轴：经度值从西向东递增，纬度值从南向北递增。
• 符号表示：(lon, lat)。

         North (positive latitude)||+---+---+|   |   |
West (-longitude) +---+---+ East (positive longitude)|   |   |+---+---+||South (negative latitude)

2.2 墨卡托投影坐标系

原点：墨卡托投影坐标系的原点通常位于 (0°, 0°)，即赤道和格林威治子午线的交点。但在实际应用中，特别是在Web地图服务中，原点可能被设置为地图的中心点，以适应特定的地图范围。

• 定义：墨卡托投影是一种圆柱投影，地球表面在投影平面上表现为正方形网格，适用于Web地图服务。
• 坐标轴：X 轴代表经度，Y 轴代表纬度，但纬度经过了变形处理。
• 符号表示：(x, y)。

谷歌地图、微软地图、百度地图、腾讯地图、高德地图等网络地图所使用的投影都是网络墨卡托投影（Web Mercator），尽管我们喜欢把百度地图、高德地图称之为火星坐标系，不过它们还是没逃出网络墨卡托投影的手心。

         North (positive y)||+---+---+|   |   |
West (negative x) +---+---+ East (positive x)|   |   |+---+---+||South (negative y)

3.3 屏幕坐标系

原点：屏幕坐标系的原点通常位于屏幕的左上角，即 (0, 0)。这意味着 X 值从左向右增大，Y 值从上向下增大。

• 定义：屏幕坐标系是图形显示设备（如显示器）的像素坐标系统。
• 坐标轴：通常情况下，原点位于左上角，X 轴水平向右，Y 轴垂直向下。
• 符号表示：(x_screen, y_screen)。

    +------------------------------------＞ x+|                                    |               (o o)           |              /  V  \             |             (_______)                |                                    |                                    |                                    ∨y+

2. 坐标系间的转换

2.1 经纬度坐标系到墨卡托投影坐标系

墨卡托投影的转换公式如下：

$$x_{mercator}=\frac{R\cdot x_{longitude}\cdot \pi }{180}$$

$$y_{mercator}=\frac{R\cdot \ln (\tan (\frac{\pi }{4}+\frac{y_{latitude}}{2}))\pi }{180}$$

其中，经纬度以角度为单位，$R$是地球半径，通常取为 6378137 米。

2.2 墨卡托投影坐标系到经纬度坐标系

反向转换公式为：

$$x_{longitude}=\frac{180\cdot x_{mercator}}{\pi \cdot R}$$
$$y_{latitude}=\frac{(2\cdot \arctan (e^{y_{mercator}/R})-\frac{\pi }{2})180}{\pi }$$

2.3 墨卡托投影坐标系到屏幕坐标系

假设屏幕分辨率是 width 和 height，并且屏幕中心对应于地图的中心点 $(x_{center},y_{center})$,缩放级别为 zoomLevel。
计算缩放因子：
$$scale=2^{zoomlevel}$$
计算屏幕中心点对应的墨卡托投影坐标：
$$x_{center\_sreen}=x_{center\_merator};y_{center\_sreen}=y_{center\_merator}$$
计算屏幕坐标：

$$x_{screen}=(\frac{x_{merator}-x_{center\_merator}}{R})\cdot scale+\frac{width}{2}$$
$$y_{screen}=\frac{heigh}{2}-(\frac{y_{merator}-y_{center\_merator}}{R})\cdot scale$$

2.4 屏幕坐标系到墨卡托投影坐标系

假设屏幕坐标为$(x_{sreen},y_{sreen})$ ，屏幕分辨率为 width 和 height，屏幕中心对应于地图的中心点$(x_{cente{r}_{s}reen},y_{cente{r}_{s}reen})$ ，缩放级别为 zoomLevel
计算缩放因子：
$$scale=2^{zoomlevel}$$
计算墨卡托中心点对应的投影屏幕坐标：
$$x_{center\_merator}=x_{center\_sreen};y_{center\_merator}=y_{center\_sreen}$$
计算屏幕坐标：

$$x_{merator}=(x_{sreen}-\frac{scale}{2})\cdot \frac{R}{scale}+x_{center\_merator}$$
$$y_{merator}=y_{center\_merator}-(y_{sreen}-\frac{scale}{2})\cdot \frac{R}{scale}$$

2.5 经纬度坐标系到屏幕坐标系

结合上述 2.1 和 2.3 的转换公式，可以得到：
$$x_{screen}=(\frac{\frac{R\cdot x_{longitude}\cdot \pi }{180}-x_{center\_merator}}{R})\cdot scale+\frac{width}{2}$$
$$y_{screen}=\frac{heigh}{2}-(\frac{\frac{R\cdot \ln (\tan (\frac{\pi }{4}+\frac{y_{latitude}}{2}))\pi }{180}-y_{center\_merator}}{R})\cdot scale$$

2.6 屏幕坐标系到经纬度坐标系

结合上述 2.4 和 2.2 的转换公式，可以得到：
$$x_{longitude}=\frac{180\cdot ((x_{sreen}-\frac{scale}{2})\cdot \frac{R}{scale}+x_{center\_merator})}{\pi \cdot R}$$
$$y_{latitude}=\frac{(2\cdot \arctan (e^{\frac{y_{center\_merator}-(y_{sreen}-\frac{scale}{2})\cdot \frac{R}{scale}}{R}})-\frac{\pi }{2})180}{\pi }$$

3. 示例代码

以下是一个简单的 C++ 示例代码，演示了上述部分转换的过程：

#include <iostream>
#include <cmath>// 常量定义
const double EARTH_RADIUS = 6378137.0; // 地球半径，单位：米
const double PI = 3.14159265358979323846;// 经纬度坐标结构体
struct LatLng {double lat; // 纬度double lng; // 经度
};// 墨卡托投影坐标结构体
struct Mercator {double x; // 经度方向的投影坐标double y; // 纬度方向的投影坐标
};// 屏幕坐标结构体
struct Screen {double x; // 屏幕x坐标double y; // 屏幕y坐标
};// 经纬度转墨卡托投影
Mercator latLngToMercator(const LatLng& latLng) {Mercator mercator;mercator.x = latLng.lng * EARTH_RADIUS * PI / 180.0;mercator.y = log(tan((90.0 + latLng.lat) * PI / 360.0)) * EARTH_RADIUS;return mercator;
}// 墨卡托投影转经纬度
LatLng mercatorToLatLng(const Mercator& mercator) {LatLng latLng;latLng.lng = mercator.x / (EARTH_RADIUS * PI / 180.0);latLng.lat = 180.0 / PI * (2.0 * atan(exp(mercator.y / EARTH_RADIUS)) - PI / 2.0);return latLng;
}// 墨卡托投影转屏幕坐标
Screen mercatorToScreen(const Mercator& mercator, double zoomLevel) {Screen screen;double scale = pow(2.0, zoomLevel);screen.x = mercator.x * scale / EARTH_RADIUS + 0.5;screen.y = 0.5 - mercator.y * scale / EARTH_RADIUS;return screen;
}// 屏幕坐标转墨卡托投影
Mercator screenToMercator(const Screen& screen, double zoomLevel) {Mercator mercator;double scale = pow(2.0, zoomLevel);mercator.x = (screen.x - 0.5) * EARTH_RADIUS / scale;mercator.y = (0.5 - screen.y) * EARTH_RADIUS / scale;return mercator;
}// 屏幕坐标转经纬度
LatLng screenToLatLng(const Screen& screen, double zoomLevel) {Mercator mercator = screenToMercator(screen, zoomLevel);return mercatorToLatLng(mercator);
}// 经纬度转屏幕坐标
Screen latLngToScreen(const LatLng& latLng, double zoomLevel) {Mercator mercator = latLngToMercator(latLng);return mercatorToScreen(mercator, zoomLevel);
}// 测试代码
int main() {LatLng latLng = {39.9042, 116.4074}; // 北京经纬度double zoomLevel = 10.0; // 缩放级别// 经纬度转墨卡托投影Mercator mercator = latLngToMercator(latLng);std::cout << "经纬度转墨卡托投影: (" << mercator.x << ", " << mercator.y << ")" << std::endl;// 墨卡托投影转经纬度LatLng latLng2 = mercatorToLatLng(mercator);std::cout << "墨卡托投影转经纬度: (" << latLng2.lat << ", " << latLng2.lng << ")" << std::endl;// 墨卡托投影转屏幕坐标Screen screen = mercatorToScreen(mercator, zoomLevel);std::cout << "墨卡托投影转屏幕坐标: (" << screen.x << ", " << screen.y << ")" << std::endl;// 屏幕坐标转墨卡托投影Mercator mercator2 = screenToMercator(screen, zoomLevel);std::cout << "屏幕坐标转墨卡托投影: (" << mercator2.x << ", " << mercator2.y << ")" << std::endl;// 屏幕坐标转经纬度LatLng latLng3 = screenToLatLng(screen, zoomLevel);std::cout << "屏幕坐标转经纬度: (" << latLng3.lat << ", " << latLng3.lng << ")" << std::endl;// 经纬度转屏幕坐标Screen screen2 = latLngToScreen(latLng, zoomLevel);std::cout << "经纬度转屏幕坐标: (" << screen2.x << ", " << screen2.y << ")" << std::endl;return 0;
}

测试效果：

4. 结语

🥳🥳🥳现在，我们在本教程中，您学习了不同坐标系之间的转换涉及到几何变换和数学运算。理解这些转换对于开发地图应用至关重要，希望本文能帮助开发者更好地理解和运用坐标系转换技术。🛹🛹🛹从而实现对外部世界进行感知，充分认识这个有机与无机的环境，后期会持续分享esp32跑freertos实用案列🥳🥳🥳科学地合理地进行创作和发挥效益，然后为人类社会发展贡献一点微薄之力。🤣🤣🤣

如果你有任何问题，可以通过q group(945348278)加入鹏鹏小分队，期待与你思维的碰撞😘😘😘