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分治策略：从入门到精通，10分钟带你玩转算法！

news 来源：原创 2024/9/22 19:50:57

分治策略的基本思想

分治策略的核心思想是将一个复杂问题拆解成多个更简单的子问题，逐步解决这些子问题，最后将结果合并得到原问题的解。这个过程可以类比于一个人打碎一块大蛋糕，先把它切成几块小蛋糕，然后逐块享用，最后再把每块小蛋糕的味道组合成对大蛋糕的整体印象。

分解（Divide）：
- 在这个阶段，我们将大问题分解为若干个小问题。例如，如果我们要给一个大型数组排序，可以选择将数组一分为二，形成两个子数组。
- 例如，给定数组 [38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]，我们可以将其分成 [38, 27, 43] 和 [3, 9, 82, 10]。就像把一个大箱子里的物品分成几个小盒子，方便管理和处理。
解决（Conquer）：
- 对于每个子问题，使用递归的方法进一步解决它们。此时，如果子问题的规模非常小（比如只剩下一个元素），我们就直接得到解决方案。
- 继续上面的例子，针对左边的 [38, 27, 43]，我们再次分解成 [38] 和 [27, 43]，然后再将 [27, 43] 分解成 [27] 和 [43]。此时，每个子数组只有一个元素，解决起来轻松简单。
合并（Combine）：
- 一旦所有子问题得到解决，我们需要将它们的解合并成一个完整的解决方案。这个步骤至关重要，因为它将不同的解拼接起来，形成最终结果。
- 在归并排序中，我们将已经排好序的子数组合并。比如我们有两个已排序的数组 [27] 和 [43]，合并时只需比较这两个元素，结果就是 [27, 43]。接下来将 [38] 和 [27, 43] 合并，最终得到 [27, 38, 43]。

考虑数组 [38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]，我们希望对其进行排序。

第一次分解：
- 原数组被分为 [38, 27, 43] 和 [3, 9, 82, 10]。
第二次分解：
- 对左边的 [38, 27, 43] 进行进一步分解：
  - [38, 27, 43] → [38] 和 [27, 43]
  - 对 [27, 43] 进一步分解 → [27] 和 [43]
- 对右边的 [3, 9, 82, 10] 进行分解：
  - [3, 9, 82, 10] → [3, 9] 和 [82, 10]
  - 对 [3, 9] 分解 → [3] 和 [9]
  - 对 [82, 10] 分解 → [82] 和 [10]
解决：
- 此时，我们每个子数组都只有一个元素，视为已排序：
  - [38]、[27]、[43]、[3]、[9]、[82]、[10]
合并：
- 首先合并 [27] 和 [43] → [27, 43]
- 然后合并 [38] 和 [27, 43] → [27, 38, 43]
- 合并 [3] 和 [9] → [3, 9]
- 合并 [82] 和 [10] → [10, 82]
- 继续合并 [3, 9] 和 [10, 82] → [3, 9, 10, 82]
- 最后合并 [27, 38, 43] 和 [3, 9, 10, 82]，得到最终排序结果 [3, 9, 10, 27, 38, 43, 82]。

时间复杂度：
- 每次分解将问题规模减半，递归的深度为 ( \log n )。
- 每层的合并操作需要遍历所有元素，复杂度为 (O(n))。
- 因此，归并排序的总时间复杂度为 (O(n \log n))。
空间复杂度：
- 归并排序需要额外的数组来存储合并结果，因此其空间复杂度为 (O(n))。