【数字图像处理】小白也能懂，最浅显方式手撕直方图均衡化（附python实现）

1 概念

直方图均衡化，同伽马变换一样，也是增强图像对比度的一种工具。区别在于，直方图均衡化是一种自适应的工具，即自动工具。也就是说，我们只需要将一张待处理的图片丢给这个工具，就可以实现对比度的增强，而无需像伽马变换一样需要手动调整一个输入参数。

什么是直方图呢？这里以很简单的方式来解释。我们可以将直方图视为图形或绘图，它可以用来从而可以总体了解图像的强度分布。其x轴是像素的等级（根据图像的类型判断，大部分情况是0到255），而y轴是相应像素值的数量。换言之，其实就是一个统计图，用于统计图片中像素值为x的像素点有多少个。

如下是一个直方图的例子，这个图片是彩色的，但实际上是先将该图转化为对应的灰度图像再绘制的直方图。其实想要对彩色图像做直方图均衡化也很简单，只要分别对三个通道单独做一次，再将三个结果组合在一起即可。

2 原理

2.1 数学原理

直方图均衡化其实会用到一些简单的概率论知识。我尽量以比较通俗的方法来叙述，所以其中的一些表述可能不是很严谨，不过仅用于理解本例是足够了。（如果你对概率论比较了解可以直接看公式掠过废话）

ps：以下仅为理论部分的叙述，实际代码实现时还会有一些不同的地方，但其实本质是一样的，只不过先熟悉原理会更好理解。

首先第一步，肯定就是要统计出所有像素值分别有多少个，这个其实就是一个图像遍历的过程。

做完上一步后，我们需要求取每一个像素值的概率密度函数（PDF），什么是概率密度函数呢？其实很好理解，就是图像中像素值为x的点的个数对于图像像素点总数的比重。因为这里是离散的情况，所以非常好求。假设像素值为k的点在图像（假设图像总共有MN个像素）中有r个，那么该点的概率密度函数，或者说这些点所占据的个数比重就是$$PDF=\frac{r}{MN}$$
之后还需要介绍一下累积分布函数（CDF）的概念，这个概念刚开始理解可能会不知所云，其实，跟PDF对照起来就很好理解。

PDF是针对一个特定的点计算的，也就是说是一对一的关系。
而CDF是指（在本例中），假如针对一个像素值x，求它的CDF，就是所有像素值≤x的点的PDF之和。
举一个例子，假设我现在要求像素值为5的PDF，即$PD{F}_5$ ，那么结果就是像素值为5的点在所有点中占据的比重。
而如果现在我要求$CD{F}_5$ ，根据上面的定义，结果就是所有像素值≤5的PDF之和。由于这里是离散的情况，且像素值的最低边界是0，所以这里计算起来并没有很复杂，无非就是
$$CD{F}_5=PD{F}_0+PD{F}_1+PD{F}_2+PD{F}_3+PD{F}_4+PD{F}_5$$
不难知道，CDF是非递减的，也就是说，$CD{F}_{x+1}\ge CD{F}_X$

得到CDF以后，就可以引出最核心的步骤了，也就是直方图均衡化的核心公式：
$$S_x=(L-1)CD{F}_x,x\in [0,L-1]$$
其中，L表示图像的像素等级数，对于256级的灰度图L就是256。$S_x$是映射的值，表示的是原图中像素值为x的点需要映射到这个值，其实就是一种变化关系。这个公式其实也跟概率论有关，如果不理解的话直接记忆即可，或者可以学习一下概率论相关的知识。

利用这个公式，将原图中的每个像素点进行映射输出以后，就得到了直方图均衡化的结果。可以发现，直方图均衡化其实是一种线性变化，所以这种方法也被叫做直方图线性变化。

3 python代码实现

上面说到，代码实现跟理论是由一些差别的。至于差别在哪，先上代码再说结论

def equalize_self(src_img):  """  :param src_img: 待处理图像  :return: 直方图均衡化后的新图像  """    height, width = src_img.shape[:2]  # 统计r_k  r_dict = [0 for i in range(256)]  for r in range(height):  for c in range(width):  r_dict[src_img[r, c]] += 1  # 计算累积分布函数（使用前缀和算法优化）  cdf = [0 for i in range(256)]  cdf[0] = r_dict[0]  for i in range(1, 256):  cdf[i] = cdf[i - 1] + r_dict[i]  # 计算映射关系，建立查找表  s = []  for i in range(256):  # 累积分布函数的最小值不一定是0，直接采取书上的公式会导致图片偏灰  # 对于每一个cdf，计算时将其减去cdf_min使最小的像素映射到0，得到的图片效果更接近库方法  s.append((cdf[i] - cdf[0]) * 255.0 / (height * width - cdf[0]))  # 查表修改原像素值  dst_img = np.zeros((height, width), dtype=np.uint8)  for r in range(height):  for c in range(width):  dst_img[r, c] = round(s[src_img[r, c]])  return dst_img

首先关注到s.append这一行，append内的参数其实就是上面所给的直方图均衡化的映射公式。

有趣的是，会发现这里的cdf[i]在参与运算时，还减去了cdf[0]，这是为什么呢？其实，这是为了正确调整归一化的比例范围，确保映射结果的动态范围合理。

实际图像中的像素值并不总是从 0 开始，图像的最小像素值可能不是 0。因此，累积分布函数的最小值$CD{F}_{min}$也不一定是 0。

如果不减去 $CD{F}_{m}in$​，则累积分布函数 CDF 中的最小值不会映射为 0，而是映射为一个正值，导致图像中没有真正的黑色区域，会让图像看起来灰蒙蒙的，缺少足够的对比度。因此，通过减去 $CD{F}_{min}$​，我们可以将图像中的最小灰度值映射为 0，从而增强对比度，最大化使用图像的动态范围。

注意到为什么这一项还除上了一串东西，其实这是一个运算简化的过程。在前面计算CDF时，我并没有先计算PDF，这是因为PDF都会除以一个公共项，那就是图像的像素总数。因此我们可以先算分子的部分，最后只进行一次除法就可以了。不过由于上述我们减去 $CD{F}_{min}$，累积分布函数的起点变成 0，但其终点也相应地缩小了。因此，整个映射范围也需要缩小，以确保新的 CDF 被正确地归一化到 0 和 255 之间，即像素总数也要减去$CD{F}_{min}$​

还有一个值得提的点，计算CDF时，可以使用前缀和算法优化，这样可以帮我们省去很多的重复计算，关于前缀和算法可以自行查阅相关资料了解。

4 测试效果

下面给出几组测试案例。每一组图像第一行是原图，第二行是上述实现的直方图均衡化处理，第三行是使用OpenCV提供的直方图均衡化方法处理，右侧绘制出了对应的直方图。

5 结论

可以看到，直方图均衡化适用于处理一些灰度分布较集中的图像。通过直方图均衡化可以动态拉伸图像的灰度范围，并通过这种方式增强图像的对比度。如果待处理图像的灰度比较集中，或者是看上去对比度很低，不妨可以试试用直方图均衡化处理。