视图矩阵的推导（1）

参考网址：http://blog.csdn.net/popy007/article/details/5120158

视图矩阵处于MVP矩阵的中v。一个模型的坐标经过了V之后，就得到了世界坐标。而得到世界坐标之后，再经过V矩阵的变换就得到摄像机（视觉/眼睛）空间中的坐标。再经过P矩阵变换得到，裁剪空间中的坐标。这里讲解一下V矩阵的推导。

1、最常见的基
3D空间中最常见的基为：
v1=(1,0,0)
v2=(0,1,0)
v3=(0,0,1)
比如向量(1,2,3)在这个基下的坐标就是(1,2,3)。

2、设另外一个正交基
v1=(0,1,0)
v2=(1,0,0)
v3=(0,0,1)
那么向量(1,2,3)在此基上的坐标为多少呢？

此时可以看到向量(1,2,3)在新的基下的坐标为(2,1,3)。
3、摄像机的空间

如上图所示，我们有两个坐标系，一个世界空间的坐标系；另外一个是摄像机空间的坐标系。我们的目的是得到红色点（已知它的世界坐标为(x,y,z），在摄像机空间的的坐标(x’,y’,z’)。
利用上面基的知识，我们可以有下面的等式。
v=R.V’=Q.V”
v就是红色点。
R是世界坐标系的基
V’是v在基R下的坐标
Q为摄像机坐标系的基
V”是v在基Q下的坐标
ok，现在已知的有哪些呢？R、V’以及Q，它们分别是对应了什么呢？R是世界坐标系的基，一般为：

V’是经过模型变换得到的点的世界坐标。
Q呢？Q是摄像机的坐标空间，这个后面会介绍如何得到摄像机的坐标空间。
现在我们有了R.V’=Q.V”，只有一个未知变量，V”，如何求得V”呢？我们知道基是可逆的，所以等式两边左乘Q的逆矩阵就得到如下的等式：
Q^-1.R.V’=V”
再次化简，求由于Q是正交基，所以他的逆矩阵等于转置矩阵。
Q^t.R.V’=V”
ok，现在的重点落在了如何得到Q矩阵。
4、求摄像机的坐标系。
摄像机有位置、以及朝向的概念。所以我们首先确定摄像机的位置，然后定义一个注视的点。我们将摄像机的位置定义为p点，而注视方向，我们可以用另外一个点q表示，那么q-p就得到了指向了q点向量，那么这个方向就是摄像机的朝向了。

我们看图知道,q-p，得到的是一个向量，这个向量正式摄像机的正朝向，我们定义为z’。另外的x’和y’如何得到呢？我们利用叉乘的概念求得。首先，我们先假设摄像机的上方向和世界坐标系的上方向是相同的，你可以理解为就是(0,1,0)。那么此时我们有了两个向量，z’以及y，那么用y向量叉乘z’向量，我们得到了右向量，上图中我们用右手，将手摊开，用手掌从y向量旋转指向z’向量，我们会发现，得到的右向量(图中-x’相反)，对的你没有错，就是这样。
到这里你会发现有点不对劲了，为什么我的摄像机的+x’和世界的+x是反向的呢？这也不符合尝试呀，限时世界中，我们站在地上，我们的前方就是+z，我们的右手就是+x，我们的头上即+y，那么现在假设我们的前方有个摄像机，而摄像机的朝向是朝前，当然自拍也是可以的。但常识告诉我们我们的摄像机保持的是和我们的视觉方向一致的。所以此时唯一能够修改的是我们q-p，变为p-q，即是，用摄像机的位置减去注视的点，此时得到的正好是相反的向量，这个向量我们记作是-z’，我们用y向量叉乘-z’，得到了+x方向如下图所示：

这里有参考可依的：https://learnopengl.com/#!Getting-started/Camera
其中有句话：
The name direction vector is not the best chosen name, since it is actually pointing in the reverse direction of what it is targeting.
这句话的意思是：朝向向量这个名字不太恰当，原因是次向量事实上是指向了目标点的反方向。
不管怎么说，我们用y叉乘-z’得到了+x’。即得到摄像机的右向量。
那么此时有人会说，我们有了+x’,+z’,y不就得到了摄像机的坐标系空间了吗？答案不是，因为此时我们并不能保证y和+z’是垂直的，记得坐标空间是正交的基，所以要保证三个向量是两两垂直的。下面就要得到真正的+y’了。
因为我们此时有+x’,+z’，那么用这个两个向量继续叉乘不就得到了垂直x’z’平面的向量了吗？所以用+x’叉乘+z’就得到真正的+y’了，至于为啥不+z’叉乘+x’，你用右手比划一下就知道了，如果这么做，+y’就朝下了。所以经过上面的操作之后，我们就得到摄像机的坐标空间了，即+x’,+y’,+z’。
有了这些之后，我们的等式：
Q^t.R.V’=V”
中的位置参数都知道了，Q就是这个摄像机的基；R就是世界坐标系的基；V’就是原始向量在世界坐标系的坐标；V”就可以计算出来了。

5、视图矩阵具体如何得到？
上面的推导过程，最后得到了一个摄像机的坐标系（也就是基础坐标系），也叫向量空间。那么这个和我们的世界坐标空间有什么不同吗？你真的知道有什么不同吗？它没有位置信息，只有一个旋转信息，因为所有的基空间的向量都是没有位置信息的。只不过是如下图所示：

也就是说摄像机的空间只是世界坐标系旋转了一定的角度，无论是绕x、y还是z，得到的一个空间坐标系。同时将这个旋转的坐标系平移一个位置，最终就是我们的摄像机的位置以及坐标空间了。那么我们对物体进行反向的操作，即物体首先逆平移一个位置，然后在倒着旋转就得到了物体在摄像机下的空间坐标了。
假设摄像机的在原始位置（世界坐标的0,0,0位置）旋转之后的基为R，然后经过平移T，写成公式为C=T.R。
那么我们将模型做你变换，C^-1=(T.R)^-1=R^-1.T^-1
这里的T^-1就是将位置反向即可。
而R^-1呢，就是我们上面得到的摄像机空间，于是有了参考文中的视图矩阵公式：