编号为 1 到 n 的 n 个元素,顺序的进入一个栈,则可能的出栈序列有多少种?
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形如这样的直角三角形网格,从左上角开始,只能向右走和向下走,问总共有多少种走法?
问题的由来:编号为 1 到 n 的 n 个元素,顺序的进入一个栈,则可能的出栈序列有多少种?
对问题的转化与思考:n 个元素进栈和出栈,总共要经历 n 次进栈和 n 次出栈。这就相当于对这 2n 步操作进行排列。
一 个模型:一个 n*n 的正方形网格,从左上角顶点到右下角顶点,只能向右走和向下走。问共有多少种走法。如果将向右走对应上述问题的进栈,向下走对应上述问题的出栈,那么,可 以视此模型为对上述问题的具体描述。而解决此问题,只要在总共从左上角到右下角的2n步中,选定向右走的步数,即共有C(n 2n)中走法。
但是存在一个问题,如果走法越过了对角线,那么对应到上述问题是出栈数比入栈数多,这是不符合实际的。
对以上模型进行处理,对角线将以上正方形网格分成两部分,只留下包含对角线在内的下半部分,那么就不会出现越过对角线的问题。而这问题就是开始提出的问题。
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问题等价于:n个1和n个0组成一2n位的2进制数,要求从左到右扫描,1的累计数不小于0的累计数,试求满足这条件的数有多少?
解答: 设P2n为这样所得的数的个数。在2n位上填入n个1的方案数为 C(n 2n)
不填1的其余n位自动填以数0。从C(n 2n)中减去不符合要求的方案数即为所求。
不合要求的数指的是从左而右扫描,出现0的累计数超过1的累计数的数。
不合要求的数的特征是从左而右扫描时,必然在某一奇数2m+1位上首先出现m+1个的累计数,和m个1的累计数。
此 后的2(n-m)-1位上有n-m个1,n-m-1个0。如若把后面这部分2(n-m)-1位,0与1交换,使之成为n-m个0,n-m-1个1,结果得 1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数,即一个不合要求的数对应于一个由n-1个0和n+1个1组成的一个排列。
反过来,任何一个 由n+1个0,n-1个1组成的2n位数,由于0的个数多2个,2n是偶数,故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面的部分,令0 和1互换,使之成为由n个0和n个1组成的2n位数。即n+1个0和n-1个1组成的2n位数,必对应于一个不合要求的数。
用上述方法建立了由n+1个0和n-1个1组成的2n位数,与由n个0和n个1组成的2n位数中从左向右扫描出现0的累计数超过1的累计数的数一一对应。
例如 10100101
是由4个0和4个1组成的8位2进制数。但从左而右扫描在第5位(显示为红色)出现0的累计数3超过1的累计数2,它对应于由3个1,5个0组成的10100010。
反过来 10100010
对应于 10100101
因而不合要求的2n位数与n+1个0,n-1个1组成的排列一一对应,故有
P2n = C(n 2n)— C(n+1 2n)
这个结果是一个“卡塔兰数”Catalan,在组合数学中有介绍,可以参阅有关资料。
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是否可以用一种更合乎思维习惯的方式解决这个问题呢
可以把这个问题描述为一个二元组,(n, 0) 表示有n个元素等待进栈, 0 个元素已进栈, 这相当于问题最初的状况. 接着问题转化为(n-1,1). 可以这么说(n,0) = (n-1,1). 而对于(n-1,1)则相当于(n-1,0)+(n-2,2).
(n-1,0)表示栈中的一个元素出栈, (n-2, 2)表示又有一个元素入栈.
把问题一般话,则(n,m)的排列问题可以转化为(n,m-1)+(n-1,m+1) 此时m>=1, 因为必须栈中有元素才可以出栈.当m=0则(n,0)的问题只能转化为(n-1,1). 当问题为(0, m)时得到递归边界,这个问题的解是只有一种排列.
程序如下:
#include <stdio.h> #define ELEMNUM 6; int getPermuStack(int n, int m) { if(n == 0)//递归边界 return 1; if(m == 0)//(n,0)问题的处理 return getPermuStack(n-1, 1); return getPermuStack(n, m-1) + getPermuStack(n-1, m+1); } int main() { printf("The total count of stackout permutation is %d.", getPermuStack(6, 0)); return 0; }
一个长度为n的无重复序列入栈的所有出栈方式
——by hahabrother
这是一个很有趣的问题,例如1、2、3这三个数字,入栈并出栈共有5种方式,分别为:321、312、231、213、123。那么对于长度为n的无重复序列中所有的出栈方式有哪些呢?
为了设计计算的算法,我们可以用队列(queue)来模拟输入,队列的输出则按照原先序列的顺序。使用一个栈(stack)来模拟入栈和出栈,结果保存在另外一个队列(queue)中。
现在的问题来了,怎么样可以实现所有的出栈入栈操作。首先来看看出栈和入栈是怎么回事,对于123这个序列,1先入栈之后有两种选择,1出栈和2入栈,而若2已经入栈之后,在2出栈之前1则不能先行出栈,故对于1我们只需要考虑其在2入栈之前出栈的情况,若1在栈内时2入栈,则1与2只能看成一个整体。
这样就可以用递归的方式求解,伪代码如下:
dostack(输入队列,中间栈,输出队列)
if(输入队列为空)
if(中间栈为空)
输出输出队列中的结果
else
中间栈出栈,放入输出队列
dostack(输入队列,中间栈,输出队列)
else
if(中间栈非空)
新建输入队列2、中间栈2、输出队列2
中间栈2出栈并放入输出队列2
dostack(输入队列2,中间栈2,输出队列2)
输入队列出队一个数并压入中间栈
dostack(输入队列,中间栈,输出队列)
其基本思想为对于中间栈的每一个时刻拍照,都递归其后续的所有可能,由于在递归返回的时候还需要递归前的信息,所以每次递归都是新建数据结构而保存当前时刻的状态。若输入队列已经为空,则中间栈只有一种出栈方式,中间栈也为空时递归结束。
详细代码如下:
输入为序列的长度n,初始化序列为1,2,3…n,而输出则为所有可能的出栈数列。
#include <iostream> #include <stack> #include <queue> using namespace std; int n,i,j; int res; stack <int> s; queue <int> in,out; void clear(stack <int> &s) { while(!s.empty()) s.pop(); } void clear(queue <int> &s) { while(!s.empty()) s.pop(); } void print(queue <int> i) { while(!i.empty()) { cout<<i.front(); i.pop(); } cout<<endl; } void dostack(queue <int> in,stack <int> s,queue <int> out) { if(in.empty()) { if(s.empty()) { res++; print(out); } else { out.push(s.top()); s.pop(); dostack(in,s,out); } } else { if(!s.empty()) { stack <int> ts; queue <int> tin,tout; tin=in; ts=s; tout=out; tout.push(ts.top()); ts.pop(); dostack(tin,ts,tout); } s.push(in.front()); in.pop(); dostack(in,s,out); } } int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) { while(cin>>n) { res=0; clear(in); clear(out); clear(s); for(i=n;i>=1;i--) in.push(i); dostack(in,s,out); cout<<res<<endl; } return 0; }