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HDU 2493 Timer 数学（二分+积分）

news 来源：原创 2024/5/6 13:39:53

传送门：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2493

题意：给你一个圆锥，水平放置，圆锥中心轴与地面平行，将圆锥装满水，在圆锥某一表面开一个小洞，流出来水的体积为V，给你地面直径D，高H，让你求小洞里地面的距离。（保证距离大于等于半径，小于等于直径）

题解：因为流出来水的那部分是一个不规则形状（相当于将圆锥水平切开，截面是一个三角形），我们可以二分答案下降高度r，现在关键是求体积。

$V=\int_{0}^{\frac{rH}{R}}Sdh$

然后通过一系列很复杂的积分运算，得出结果：

$V=\frac{1}{3}HR^{3}acos(\frac{R-r}{R})-\frac{2}{3}(R-r)H\sqrt{R^{2}-(R-r)^{2}}+\frac{H(R-r)^{3}}{3R}In\frac{R+\sqrt{R^{2}-(R-r)^{2}}}{R-r}(byxiaohao)$

记得最后求出来的答案要用直径减去。

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <list>
#include <deque>
#include <queue>
#include <iterator>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <algorithm>
#include <cctype>
using namespace std;

#define si1(a) scanf("%d",&a)
#define si2(a,b) scanf("%d%d",&a,&b)
#define sd1(a) scanf("%lf",&a)
#define sd2(a,b) scanf("%lf%lf",&a,&b)
#define ss1(s)  scanf("%s",s)
#define pi1(a)    printf("%d\n",a)
#define pi2(a,b)  printf("%d %d\n",a,b)
#define mset(a,b)   memset(a,b,sizeof(a))
#define forb(i,a,b)   for(int i=a;i<b;i++)
#define ford(i,a,b)   for(int i=a;i<=b;i++)

typedef long long LL;
const int N=100005;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const double PI=acos(-1.0);
const double eps=1e-8;

double H,D,V,R;

double xiaohao(double r)//这个地方求积分很麻烦，我就只写结果了
{
    double xh=0;
    xh+=H*R*R*acos((R-r)/R)/3.0;
    xh-=2.0/3.0*(R-r)*H*sqrt(R*R-(R-r)*(R-r));
    xh+=1.0/3.0*(R-r)*(R-r)*(R-r)*H/R*log((R+sqrt(R*R-(R-r)*(R-r)))/(R-r));
    return xh;
}

int main()
{
//    freopen("input.txt","r",stdin);
    int i,j,T;
    si1(T);
    while(T--)
    {
        sd1(H);sd2(D,V);
        R=D/2;
        double low=0,up=R,m,tmp;
        while((up-low)>eps)//二分高度
        {
            m=(up+low)/2;
            double tmp=xiaohao(m);//求出体积，和V比较
            if(tmp>V)
                up=m;
            else
                low=m;
        }
        printf("%.5f\n",D-m);
    }
    return 0;
}