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实对称矩阵的相似对角化

news 来源：原创 2024/5/19 0:00:15

每个元素都为实数的对角矩阵称为实对称矩阵，实对称矩阵必定相似于一个对角矩阵（对角线以外的元素全为0的矩阵），即存在可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=\Lambda，且存在正交矩阵Q，使得Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda

实对称矩阵化为对角矩阵的步骤：

1.找出全部特征值

2.找出每个特征值对应的方程组，(\lambda_{i} E-A)x=0的基础解系，如果\lambda _{i}为k重根，那么基础解系必定有k个线性无关的特征向量。

3.如果2中，存在某个特征值对应的多个特征向量不正交，那么就要正交化那k个向量，具体做法一般为施密特正交化（不同特征值的向量之间必定正交，而且这一条只对实对称矩阵成立）将\alpha _{i1},\alpha _{i2}...\alpha _{ik}转化为\beta _{i1},\beta _{i2}...\beta _{ik}

4.将所有正交的特征向量单位化

5.将n个特征向量合并为正交矩阵，记为

Q=[\beta _{11}^{o},\beta _{12}^{o}...\beta _{1k_{1}}^{o},\beta _{21}^{o},\beta _{22}^{o}...\beta _{2k_{2}}^{o}...\beta _{r1}^{o},\beta _{r2}^{o}...\beta _{rk_{r}}^{o}]

最终\dpi{150} Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda

注，对角矩阵里元素的顺序与Q对应，例如Q中，前三个向量对应的特征值分别为1,1,2，那么对角线上前三个元素也必定为1,1,2

 

且对于其他n阶矩阵，如果有n个不同的特征值，或是k重特征值的k个对应的k个特征向量线性无关，则也可以相似对角化，方法与上文类似，即求出特征值，特征向量（不需要单位化，只需要内部的数没有过公约数了即可）。特征向量拼在一起组成P，\dpi{150} P^{-1}AP=\Lambda，特诊向量的顺序和特征值顺序对应

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