相关性 与 独立性
文章目录
- 相关性 (线性关系)
- 相关系数ρ~XY~
- 独立性 (无任何关系)
- 相关性与独立性的关系
- 例题
相关性 (线性关系)
相关，即线性相关程度。
不相关，即线性无关。完全没有线性函数关系。
相关系数ρXY
线性相关系数ρXY性质：
①|ρXY|≤1.
②P{Y=aX+B}=1
ρXY为1、-1时表明X与Y存在线性相关关系。
当|ρXY|较大时，说明X与Y的线性相关程度较好。
当|ρXY|较小时，说明X与Y的线性相关程度较差。
ρXY=0时，称X与Y不相关
ρXY= 0时，即Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)·E(Y)=0，则X与Y不相关，不存在线性关系。(但可能存在其他函数关系)
独立性 (无任何关系)
1.若X与Y相互独立，则X与Y不存在任何函数关系，包括线性关系。所以当X与Y独立时，ρXY=0，即X与Y不相关，不存在线性函数关系。
但X与Y不相关，不存在线性函数关系时，却可能存在其他的(类似圆的X2+Y2=1)函数关系。
2.独立则P{ }可拆为两部分
相关性与独立性的关系
不相关：X与Y没有线性函数关系
独立：X与Y不存在任何函数关系
显然，不相关是独立的必要非充分条件：独立一定不相关，相关一定不独立。
不相关推不出独立，但是相关可以推出不独立。
例题
例题1：19年22(2)(3)
经典Z=XY
经典1，-1两点分布
分析： p = 1 2 p=\frac{1}{2} p=21时X与Z不相关。但不相关只是说明没有线性关系，无法直接说明第三问的独立。
答案：
(3)
①
p
≠
1
2
p≠\frac{1}{2}
p=21时，X与Z相关，即
p
≠
1
2
p≠\frac{1}{2}
p=21时X与Z不独立。
②现只需考虑
p
=
1
2
p=\frac{1}{2}
p=21时的情况。检验P{X<1,Z<1}=P{X<1}·P{Z<1}
发现不相等，则
p
=
1
2
p=\frac{1}{2}
p=21时X与Z也不独立
③综上①②，任取0<p<1，X与Z均不独立。