自动控制原理6.2---常用校正装置及其特性
参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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2.常用校正装置及其特性
2.1 无源校正网络
2.1.1 无源超前网络
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如果输入信号源的内阻为零，且输出端的负载阻抗为无穷大，则超前网络的传递函数为：
a G c ( s ) = 1 + a T s 1 + T s (1) aG_c(s)=\frac{1+aTs}{1+Ts}\tag{1} aGc(s)=1+Ts1+aTs(1)
其中：
a = R 1 + R 2 R 2 > 1 ， T = R 1 R 2 R 1 + R 2 C a=\frac{R_1+R_2}{R_2}>1，T=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}C a=R2R1+R2>1，T=R1+R2R1R2C
a a a称为分度系数， T T T称为时间常数；采用无源超前网络进行串联校正时，整个系统的开环增益要下降为原来的 1 a \displaystyle\frac{1}{a} a1，因此需要提高放大器增益加以补偿；
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改变 a 、 T a、T a、T的数值，超前网络的零、极点可在 s s s平面的负实轴上任意移动；
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无源超前网络 a G c ( s ) aG_c(s) aGc(s)的对数频率特性如下：
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超前网络对频率在 1 / ( a T ) 1/(aT) 1/(aT)至 1 / T 1/T 1/T之间的输入信号有明显的微分作用，在该频率范围内，输出信号相角比输入信号相角超前；
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在最大超前角频率 ω m \omega_m ωm处，具有最大超前角 φ m \varphi_m φm，且 ω m \omega_m ωm正好处于频率 1 / ( a T ) 1/(aT) 1/(aT)和 1 / T 1/T 1/T的几何中心；
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相关证明：
φ c ( ω ) = arctan a T ω − arctan T ω = arctan ( a − 1 ) T ω 1 + a T 2 ω 2 (2) \varphi_c(\omega)=\arctan{aT\omega}-\arctan{T\omega}=\arctan{\frac{(a-1)T\omega}{1+aT^2\omega^2}}\tag{2} φc(ω)=arctanaTω−arctanTω=arctan1+aT2ω2(a−1)Tω(2)
对 ω \omega ω求导并令其为零，可得最大超前角频率：
ω m = 1 T a (3) \omega_m=\frac{1}{T\sqrt{a}}\tag{3} ωm=Ta1(3)
根据条件，求最大超前角：
φ m = arctan a − 1 2 a = arcsin a − 1 a + 1 (4) \varphi_m=\arctan\frac{a-1}{2\sqrt{a}}=\arcsin\frac{a-1}{a+1}\tag{4} φm=arctan2aa−1=arcsina+1a−1(4)
最大超前角 φ m \varphi_m φm仅与分度系数 a a a有关； a a a值越大，超前网络的微分效应越强；为了保持较高的系统信噪比，实际选用的 a a a值一般不超过20；ω m \omega_m ωm处的对数幅频值：
L c ( ω m ) = 20 lg ∣ a G c ( j ω m ) ∣ = 10 lg a (5) L_c(\omega_m)=20\lg|aG_c(j\omega_m)|=10\lg{a}\tag{5} Lc(ωm)=20lg∣aGc(jωm)∣=10lga(5)
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2.1.2 无源滞后网络
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如果输入信号源的内阻为零，负载阻抗为无穷大，滞后网络的传递函数为：
G c ( s ) = 1 + b T s 1 + T s (6) G_c(s)=\frac{1+bTs}{1+Ts}\tag{6} Gc(s)=1+Ts1+bTs(6)
其中：
b = R 2 R 1 + R 2 < 1 ， T = ( R 1 + R 2 ) C b=\frac{R_2}{R_1+R_2}<1，T=(R_1+R_2)C b=R1+R2R2<1，T=(R1+R2)C
b b b称为滞后网络的分度系数，表示滞后深度； -
滞后网络在频率 1 / T 1/T 1/T至 1 / ( b T ) 1/(bT) 1/(bT)之间呈积分效应，对数相频特性成滞后特性；
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最大滞后角 φ m \varphi_m φm发生在最大滞后角频率 ω m \omega_m ωm处，且 ω m \omega_m ωm正好是 1 / T 1/T 1/T与 1 / ( b T ) 1/(bT) 1/(bT)的几何中心；
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计算 ω m 、 φ m \omega_m、\varphi_m ωm、φm的公式：
ω m = 1 T b ， φ m = arcsin 1 − b 1 + b (7) \omega_m=\frac{1}{T\sqrt{b}}，\varphi_m=\arcsin\frac{1-b}{1+b}\tag{7} ωm=Tb1，φm=arcsin1+b1−b(7) -
滞后网络对低频有用信号不产生衰减，对高频噪声信号有削弱作用， b b b值越小，通过网络的噪声电平越低；
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采用无源滞后网络进行串联校正时，主要利用其高频幅值衰减的特性，以降低系统的开环截止频率，提高系统的相角裕度；因此，力求避免最大滞后角发生在已校正系统开环截止频率 ω c ′ ′ \omega''_c ωc′′附近；选择滞后网络参数时，通常使网络的交接频率 1 / ( b T ) 1/(bT) 1/(bT)远小于 ω c ′ ′ \omega_c'' ωc′′，一般取：
1 b T = ω c ′ ′ 10 (8) \frac{1}{bT}=\frac{\omega_c''}{10}\tag{8} bT1=10ωc′′(8)
2.1.3 无源滞后-超前网络
- 无源滞后-超前传递函数：
G c ( s ) = ( 1 + T a s ) ( 1 + T b s ) T a T b s 2 + ( T a + T b + T a b ) s + 1 (9) G_c(s)=\frac{(1+T_as)(1+T_bs)}{T_aT_bs^2+(T_a+T_b+T_{ab})s+1}\tag{9} Gc(s)=TaTbs2+(Ta+Tb+Tab)s+1(1+Tas)(1+Tbs)(9)
其中：
T a = R 1 C 1 , T b = R 2 C 2 , T a b = R 1 C 2 T_a=R_1C_1,T_b=R_2C_2,T_{ab}=R_1C_2 Ta=R1C1,Tb=R2C2,Tab=R1C2
上式可写为：
G c ( s ) = ( 1 + T a s ) ( 1 + T b s ) ( 1 + T 1 s ) ( 1 + T 2 s ) (10) G_c(s)=\frac{(1+T_as)(1+T_bs)}{(1+T_1s)(1+T_2s)}\tag{10} Gc(s)=(1+T1s)(1+T2s)(1+Tas)(1+Tbs)(10)
比较式(9)和式(10)，可得：
T 1 T 2 = T a T b ， T 1 + T 2 = T a + T b + T a b T_1T_2=T_aT_b，T_1+T_2=T_a+T_b+T_{ab} T1T2=TaTb，T1+T2=Ta+Tb+Tab
设
T 1 > T a ， T a T 1 = T 2 T b = 1 α ， α > 1 T_1>T_a，\frac{T_a}{T_1}=\frac{T_2}{T_b}=\frac{1}{\alpha}，\alpha>1 T1>Ta，T1Ta=TbT2=α1，α>1
则有：
T 1 = α T a , T 2 = T 2 α T_1=\alpha{T_a},T_2=\frac{T_2}{\alpha} T1=αTa,T2=αT2
无源滞后-超前网络的传递函数最终形式：
G c ( s ) = ( 1 + T a s ) ( 1 + T b s ) ( 1 + α T a s ) ( 1 + T b α s ) (11) G_c(s)=\frac{(1+T_as)(1+T_bs)}{(1+\alpha{T_as})(1+\frac{T_b}{\alpha}s)}\tag{11} Gc(s)=(1+αTas)(1+αTbs)(1+Tas)(1+Tbs)(11)
其中： ( 1 + T a s ) / ( 1 + α T a s ) (1+T_as)/(1+\alpha{T_as}) (1+Tas)/(1+αTas)为网络的滞后部分； ( 1 + T b s ) / ( 1 + T b s / α ) (1+T_bs)/(1+T_bs/\alpha) (1+Tbs)/(1+Tbs/α)为网络的超前部分；
2.2 有源校正装置
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比例环节
传递函数：
G ( s ) = K ， K = R 2 R 1 (12) G(s)=K，K=\frac{R_2}{R_1}\tag{12} G(s)=K，K=R1R2(12) -
微分环节
传递函数：
G ( s ) = K t s ， K t 为测速发电机输出功率 (13) G(s)=K_ts，K_t为测速发电机输出功率\tag{13} G(s)=Kts，Kt为测速发电机输出功率(13) -
积分环节
传递函数：
G ( s ) = 1 T s ， T = R 1 C (14) G(s)=\frac{1}{Ts}，T=R_1C\tag{14} G(s)=Ts1，T=R1C(14) -
比例-微分环节
传递函数：
G ( s ) = K ( 1 + τ s ) ， K = R 2 + R 3 R 1 ， τ = R 2 R 3 R 2 + R 3 C (15) G(s)=K(1+\tau{s})，K=\frac{R_2+R_3}{R_1}，\tau=\frac{R_2R_3}{R_2+R_3}C\tag{15} G(s)=K(1+τs)，K=R1R2+R3，τ=R2+R3R2R3C(15) -
比例-积分环节
传递函数：
G ( s ) = K T ( 1 + T s s ) ， K = R 2 R 1 ， T = R 2 C (16) G(s)=\frac{K}{T}\left(\frac{1+Ts}{s}\right)，K=\frac{R_2}{R_1}，T=R_2C\tag{16} G(s)=TK(s1+Ts)，K=R1R2，T=R2C(16) -
比例-积分-微分环节
传递函数：
G ( s ) = K ( 1 + T s ) ( 1 + τ s ) T s ， K = R 2 R 1 ， T = R 2 C 2 ， τ = R 1 C 1 (17) G(s)=K\frac{(1+Ts)(1+\tau{s})}{Ts}，K=\frac{R_2}{R_1}，T=R_2C_2，\tau=R_1C_1\tag{17} G(s)=KTs(1+Ts)(1+τs)，K=R1R2，T=R2C2，τ=R1C1(17) -
滤波型调节器(惯性环节)
传递函数：
G ( s ) = K 1 + T s ， K = R 2 R 1 ， T = R 2 C (18) G(s)=\frac{K}{1+Ts}，K=\frac{R_2}{R_1}，T=R_2C\tag{18} G(s)=1+TsK，K=R1R2，T=R2C(18)