自动控制原理7.3---z变换理论
参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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3. z z z变换理论
3.1 z z z变换定义
设连续函数
e
(
t
)
e(t)
e(t)是可拉氏变换的，则拉氏变换定义为：
E
(
s
)
=
∫
0
∞
e
(
t
)
e
−
s
t
d
t
(1)
E(s)=\int_0^{\infty}e(t)e^{-st}dt\tag{1}
E(s)=∫0∞e(t)e−stdt(1)
采样信号表达式为：
e
∗
(
t
)
=
∑
n
=
0
∞
e
(
n
T
)
δ
(
t
−
n
T
)
(2)
e^*(t)=\sum_{n=0}^{\infty}e(nT)\delta(t-nT)\tag{2}
e∗(t)=n=0∑∞e(nT)δ(t−nT)(2)
采样信号
e
∗
(
t
)
e^*(t)
e∗(t)的拉氏变换为：
E
∗
(
s
)
=
∑
n
=
0
∞
e
(
n
T
)
e
−
n
s
T
(3)
E^*(s)=\sum_{n=0}^{\infty}e(nT)e^{-nsT}\tag{3}
E∗(s)=n=0∑∞e(nT)e−nsT(3)
令
z
=
e
s
T
z=e^{sT}
z=esT，
T
T
T为采样周期，
z
z
z是在复数平面上定义的一个复变量，称为
z
z
z变换算子；
采样信号
e
∗
(
t
)
e^*(t)
e∗(t)的
z
z
z变换定义为：
E
(
z
)
=
E
∗
(
s
)
∣
s
=
1
T
ln
z
=
∑
n
=
0
∞
e
(
n
T
)
z
−
n
(4)
E(z)=E^*(s)|_{s=\frac{1}{T}\ln{z}}=\sum_{n=0}^{\infty}e(nT)z^{-n}\tag{4}
E(z)=E∗(s)∣s=T1lnz=n=0∑∞e(nT)z−n(4)
3.2 z z z变换方法
-
级数求和法
级数求和法直接根据 z z z变换的定义，将式(4)写成展开形式：
E ( z ) = e ( 0 ) + e ( T ) z − 1 + e ( 2 T ) z − 2 + ⋯ + e ( n T ) z − n + ⋯ + (5) E(z)=e(0)+e(T)z^{-1}+e(2T)z^{-2}+\dots+e(nT)z^{-n}+\dots+\tag{5} E(z)=e(0)+e(T)z−1+e(2T)z−2+⋯+e(nT)z−n+⋯+(5)
实例分析：Example1： 求单位阶跃函数 1 ( t ) 1(t) 1(t)的 z z z变换。
解：
依题意可得， e ( n T ) = 1 ( n = 0 , 1 , 2 , … , ∞ ) e(nT)=1(n=0,1,2,\dots,\infty) e(nT)=1(n=0,1,2,…,∞)，可得：
E ( z ) = 1 + z − 1 + z − 2 + ⋯ + z − n + ⋯ + E(z)=1+z^{-1}+z^{-2}+\dots+z^{-n}+\dots+ E(z)=1+z−1+z−2+⋯+z−n+⋯+
在上式中，若 ∣ z − 1 ∣ < 1 |z^{-1}|<1 ∣z−1∣<1，则无穷级数是收敛的，利用等比级数求和公式，可得 1 ( t ) 1(t) 1(t)的 z z z变换的闭合形式：
E ( z ) = 1 1 − z − 1 = z z − 1 E(z)=\frac{1}{1-z^{-1}}=\frac{z}{z-1} E(z)=1−z−11=z−1z
实例分析：Example2： 设 e ( t ) = δ T ( t ) = ∑ n = 0 ∞ δ ( t − n T ) e(t)=\delta_T(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\delta(t-nT) e(t)=δT(t)=∑n=0∞δ(t−nT)，求理想脉冲序列 δ T ( t ) \delta_T(t) δT(t)的 z z z变换；
解：
依题意可得：
e ∗ ( t ) = δ T ( t ) = ∑ n = 0 ∞ δ ( t − n T ) e^*(t)=\delta_T(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\delta(t-nT) e∗(t)=δT(t)=n=0∑∞δ(t−nT)
由拉氏变换可知：
E ∗ ( s ) = ∑ n = 0 ∞ e − n s T E^*(s)=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-nsT} E∗(s)=n=0∑∞e−nsT
因此：
E ( z ) = ∑ n = 0 ∞ z − n = 1 + z − 1 + z − 2 + ⋯ + E(z)=\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n}=1+z^{-1}+z^{-2}+\dots+ E(z)=n=0∑∞z−n=1+z−1+z−2+⋯+
将上式写出闭合形式，可得 δ T ( t ) \delta_T(t) δT(t)的 z z z变换为：
E ( z ) = 1 1 − z − 1 = z z − 1 ， ∣ z − 1 ∣ < 1 E(z)=\frac{1}{1-z^{-1}}=\frac{z}{z-1}，\left|z^{-1}\right|<1 E(z)=1−z−11=z−1z，∣ ∣z−1∣ ∣<1
由实例可知，相同的 z z z变换 E ( z ) E(z) E(z)对应于相同的采样函数 e ∗ ( t ) e^*(t) e∗(t)，但不一定对应于相同的连续函数 e ( t ) e(t) e(t)； -
部分分式法
先求出已知连续时间函数 e ( t ) e(t) e(t)的拉氏变换 E ( s ) E(s) E(s)，再将有理分式函数 E ( s ) E(s) E(s)展成部分分式之和的形式，使每一部分分式对应简单的时间函数，然后可得各部分对应的 z z z变换，即可求出 E ( s ) E(s) E(s)对应的 z z z变换 E ( z ) E(z) E(z)；
实例分析：
Example3： 设 e ( t ) = sin ω t e(t)=\sin\omega{t} e(t)=sinωt，求 E ( z ) E(z) E(z)；
解：
对 e ( t ) = sin ω t e(t)=\sin\omega{t} e(t)=sinωt取拉氏变换，可得：
E ( s ) = ω s 2 + ω 2 E(s)=\frac{\omega}{s^2+\omega^2} E(s)=s2+ω2ω
将上式展开为部分分式：
E ( s ) = 1 2 j ( 1 s − j ω − 1 s + j ω ) E(s)=\frac{1}{2j}\left(\frac{1}{s-j\omega}-\frac{1}{s+j\omega}\right) E(s)=2j1(s−jω1−s+jω1)
可得：
E ( z ) = 1 2 j ( z z − e j ω T − z z − e − j ω T ) = 1 2 j [ z ( e j ω T − e − j ω T ) z 2 − z ( e j ω T + e − j ω T ) + 1 ] E(z)=\frac{1}{2j}\left(\frac{z}{z-e^{j\omega{T}}}-\frac{z}{z-e^{-j\omega{T}}}\right)=\frac{1}{2j}\left[\frac{z(e^{j\omega{T}}-e^{-j\omega{T}})}{z^2-z(e^{j\omega{T}}+e^{-j\omega{T}})+1}\right] E(z)=2j1(z−ejωTz−z−e−jωTz)=2j1[z2−z(ejωT+e−jωT)+1z(ejωT−e−jωT)]
化简：
E ( z ) = z sin ω T z 2 − 2 z cos ω T + 1 E(z)=\frac{z\sin\omega{T}}{z^2-2z\cos\omega{T}+1} E(z)=z2−2zcosωT+1zsinωT
3.3 z z z变换表
| 序号 | 时间函数 e ( t ) e(t) e(t) | 拉普拉斯变换 E ( s ) E(s) E(s) | z z z变换 E ( z ) E(z) E(z) |
|---|---|---|---|
| 1 | δ ( t − n T ) \delta(t-nT) δ(t−nT) | e − s n T e^{-snT} e−snT | z − n z^{-n} z−n |
| 2 | δ ( t ) \delta(t) δ(t) | 1 1 1 | 1 1 1 |
| 3 | 1 ( t ) 1(t) 1(t) | 1 s \displaystyle\frac{1}{s} s1 | z z − 1 \displaystyle\frac{z}{z-1} z−1z |
| 4 | t t t | 1 s 2 \displaystyle\frac{1}{s^2} s21 | T z ( z − 1 ) 2 \displaystyle\frac{Tz}{(z-1)^2} (z−1)2Tz |
| 5 | t 2 2 ! \displaystyle\frac{t^2}{2!} 2!t2 | 1 s 3 \displaystyle\frac{1}{s^3} s31 | T 2 z ( z + 1 ) 2 ( z − 1 ) 3 \displaystyle\frac{T^2z(z+1)}{2(z-1)^3} 2(z−1)3T2z(z+1) |
| 6 | a t / T a^{t/T} at/T | 1 s − ( 1 / T ) ln a \displaystyle\frac{1}{s-(1/T)\ln{a}} s−(1/T)lna1 | z z − a \displaystyle\frac{z}{z-a} z−az |
| 7 | e − a t e^{-at} e−at | 1 s + a \displaystyle\frac{1}{s+a} s+a1 | z z − e − a T \displaystyle\frac{z}{z-e^{-aT}} z−e−aTz |
| 8 | t e − a t te^{-at} te−at | 1 ( s + a ) 2 \displaystyle\frac{1}{(s+a)^2} (s+a)21 | T z e − a T ( z − e − a T ) 2 \displaystyle\frac{Tze^{-aT}}{(z-e^{-aT})^2} (z−e−aT)2Tze−aT |
| 9 | 1 2 t 2 e − a t \displaystyle\frac{1}{2}t^2e^{-at} 21t2e−at | 1 ( s + a ) 3 \displaystyle\frac{1}{(s+a)^3} (s+a)31 | T 2 z e − a T 2 ( z − e − a T ) 2 + T 2 z e − 2 a T ( z − e − a T ) 3 \displaystyle\frac{T^2ze^{-aT}}{2(z-e^{-aT})^2}+\frac{T^2ze^{-2aT}}{(z-e^{-aT})^3} 2(z−e−aT)2T2ze−aT+(z−e−aT)3T2ze−2aT |
| 10 | 1 − e − a t 1-e^{-at} 1−e−at | a s ( s + a ) \displaystyle\frac{a}{s(s+a)} s(s+a)a | ( 1 − e − a T ) z ( z − 1 ) ( z − e − a T ) \displaystyle\frac{(1-e^{-aT})z}{(z-1)(z-e^{-aT})} (z−1)(z−e−aT)(1−e−aT)z |
| 11 | sin ω t \sin\omega{t} sinωt | ω s 2 + ω 2 \displaystyle\frac{\omega}{s^2+\omega^2} s2+ω2ω | z sin ω T z 2 − 2 z cos ω T + 1 \displaystyle\frac{z\sin\omega{T}}{z^2-2z\cos\omega{T}+1} z2−2zcosωT+1zsinωT |
| 12 | cos ω t \cos\omega{t} cosωt | s s 2 + ω 2 \displaystyle\frac{s}{s^2+\omega^2} s2+ω2s | z ( z − cos ω T ) z 2 − 2 z cos ω T + 1 \displaystyle\frac{z(z-\cos\omega{T})}{z^2-2z\cos\omega{T}+1} z2−2zcosωT+1z(z−cosωT) |
| 13 | 1 − cos ω t 1-\cos\omega{t} 1−cosωt | ω 2 s ( s 2 + ω 2 ) \displaystyle\frac{\omega^2}{s(s^2+\omega^2)} s(s2+ω2)ω2 | z z − 1 − z ( z − cos ω T ) z 2 − 2 z cos ω T + 1 \displaystyle\frac{z}{z-1}-\frac{z(z-\cos\omega{T})}{z^2-2z\cos\omega{T}+1} z−1z−z2−2zcosωT+1z(z−cosωT) |
| 14 | e − a t sin ω t e^{-at}\sin\omega{t} e−atsinωt | ω ( s + a ) 2 + ω 2 \displaystyle\frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2} (s+a)2+ω2ω | z e − a t sin ω T z 2 − 2 z e − a t cos ω T + e − 2 a T \displaystyle\frac{ze^{-at}\sin\omega{T}}{z^2-2ze^{-at}\cos\omega{T}+e^{-2aT}} z2−2ze−atcosωT+e−2aTze−atsinωT |
| 15 | e − a t cos ω t e^{-at}\cos\omega{t} e−atcosωt | s + a ( s + a ) 2 + ω 2 \displaystyle\frac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2} (s+a)2+ω2s+a | z 2 − z e − a T cos ω T z 2 − 2 z e − a T cos ω T + e − 2 a T \displaystyle\frac{z^2-ze^{-aT}\cos\omega{T}}{z^2-2ze^{-aT}\cos\omega{T}+e^{-2aT}} z2−2ze−aTcosωT+e−2aTz2−ze−aTcosωT |
3.4 z z z变换性质
-
线性定理
若 E 1 ( z ) = Z [ e 1 ( t ) ] ， E 2 ( z ) = Z [ e 2 ( t ) ] ， a E_1(z)=Z[e_1(t)]，E_2(z)=Z[e_2(t)]，a E1(z)=Z[e1(t)]，E2(z)=Z[e2(t)]，a为常数，则：
Z [ e 1 ( t ) ± e 2 ( t ) ] = E 1 ( z ) ± E 2 ( z ) ； Z [ a e ( t ) ] = a E ( z ) ，式中 : E ( z ) = Z [ e ( t ) ] (6) Z[e_1(t)±e_2(t)]=E_1(z)±E_2(z)；Z[ae(t)]=aE(z)，式中:E(z)=Z[e(t)]\tag{6} Z[e1(t)±e2(t)]=E1(z)±E2(z)；Z[ae(t)]=aE(z)，式中:E(z)=Z[e(t)](6) -
实数位移定理(平移定理)
实数位移含义：整个采样序列在时间轴上左右平移若干个采样周期，其中向左平移为超前，向右平移为滞后；如果函数 e ( t ) e(t) e(t)是可拉普拉斯变换的，其 z z z变换为 E ( z ) E(z) E(z)，则有：
Z [ e ( t − k T ) ] = z − k E ( z ) ； Z [ e ( t + k T ) ] = z k [ E ( z ) − ∑ n = 1 k − 1 e ( n T ) z − n ] (7) Z[e(t-kT)]=z^{-k}E(z)；Z[e(t+kT)]=z^k[E(z)-\sum_{n=1}^{k-1}e(nT)z^{-n}]\tag{7} Z[e(t−kT)]=z−kE(z)；Z[e(t+kT)]=zk[E(z)−n=1∑k−1e(nT)z−n](7) -
复数位移定理
如果函数 e ( t ) e(t) e(t)是可拉普拉斯变换的，其 z z z变换为 E ( z ) E(z) E(z)，则有：
Z [ e ∓ a t e ( t ) ] = E ( z e ± a T ) (8) Z[e^{\mp{at}}e(t)]=E(ze^{\pm{aT}})\tag{8} Z[e∓ate(t)]=E(ze±aT)(8) -
终值定理
如果函数 e ( t ) e(t) e(t)的 z z z变换为 E ( z ) E(z) E(z)，函数序列 e ( n T ) e(nT) e(nT)为有限值 ( n = 0 , 1 , 2 , … ) (n=0,1,2,\dots) (n=0,1,2,…)，且极限 lim n → ∞ e ( n T ) \lim_{n\rightarrow\infty}e(nT) limn→∞e(nT)存在，则函数序列的终值：
lim n → ∞ e ( n T ) = lim z → 1 ( z − 1 ) E ( z ) (9) \lim_{n\rightarrow\infty}e(nT)=\lim_{z\rightarrow1}(z-1)E(z)\tag{9} n→∞lime(nT)=z→1lim(z−1)E(z)(9) -
卷积定理
设 x ( n T ) x(nT) x(nT)和 y ( n T ) y(nT) y(nT)为两个采样函数，其离散卷积积分定义为：
x ( n T ) ∗ y ( n T ) = ∑ k = 0 ∞ x ( k T ) y [ ( n − k ) T ] (10) x(nT)*y(nT)=\sum_{k=0}^{\infty}x(kT)y[(n-k)T]\tag{10} x(nT)∗y(nT)=k=0∑∞x(kT)y[(n−k)T](10)
则卷积定理如下：若
g ( n T ) = x ( n T ) ∗ y ( n T ) (11) g(nT)=x(nT)*y(nT)\tag{11} g(nT)=x(nT)∗y(nT)(11)
则有：
G ( z ) = X ( z ) ⋅ Y ( z ) (12) G(z)=X(z)·Y(z)\tag{12} G(z)=X(z)⋅Y(z)(12)
其中：
X ( z ) = ∑ k = 0 ∞ x ( k T ) z − k ， Y ( z ) = ∑ n = 0 ∞ y ( n T ) z − n ， G ( z ) = Z [ g ( n T ) ] = Z [ x ( n T ) ∗ y ( n T ) ] (13) X(z)=\sum_{k=0}^{\infty}x(kT)z^{-k}，Y(z)=\sum_{n=0}^{\infty}y(nT)z^{-n}，G(z)=Z[g(nT)]=Z[x(nT)*y(nT)]\tag{13} X(z)=k=0∑∞x(kT)z−k，Y(z)=n=0∑∞y(nT)z−n，G(z)=Z[g(nT)]=Z[x(nT)∗y(nT)](13)
3.5 z z z反变换
z
z
z反变换：已知
z
z
z变换表达式
E
(
z
)
E(z)
E(z)求相应离散序列
e
(
n
T
)
e(nT)
e(nT)的过程，记为：
e
(
n
T
)
=
Z
−
1
[
E
(
z
)
]
(14)
e(nT)=Z^{-1}[E(z)]\tag{14}
e(nT)=Z−1[E(z)](14)
-
部分分式法(查表法)
设已知的 z z z变换函数 E ( z ) E(z) E(z)无重极点，求出 E ( z ) E(z) E(z)的极点为 z 1 , z 2 , … , z n z_1,z_2,\dots,z_n z1,z2,…,zn，再将 E ( z ) / z E(z)/z E(z)/z展成：
E ( z ) z = ∑ i = 1 n A i z − z i ，其中： A i 为 E ( z ) / z 在极点 z i 处的留数 (15) \frac{E(z)}{z}=\sum_{i=1}^n\frac{A_i}{z-z_i}，其中：A_i为E(z)/z在极点z_i处的留数\tag{15} zE(z)=i=1∑nz−ziAi，其中：Ai为E(z)/z在极点zi处的留数(15)
由式(15)写出 E ( z ) E(z) E(z)的部分分式展开式：
E ( z ) = A i z z − z i (16) E(z)=\frac{A_iz}{z-z_i}\tag{16} E(z)=z−ziAiz(16)
然后逐项查表，得到：
e i ( n T ) = Z − 1 [ A i z z − z i ] ， i = 1 , 2 , 3 , … , n (17) e_i(nT)=Z^{-1}[\frac{A_iz}{z-z_i}]，i=1,2,3,\dots,n\tag{17} ei(nT)=Z−1[z−ziAiz]，i=1,2,3,…,n(17)
最后写出 E ( z ) E(z) E(z)对应的采样函数：
e ∗ ( t ) = ∑ n = 0 ∞ ∑ i = 1 n e i ( n T ) δ ( t − n T ) (18) e^*(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{i=1}^ne_i(nT)\delta(t-nT)\tag{18} e∗(t)=n=0∑∞i=1∑nei(nT)δ(t−nT)(18) -
幂级数法(综合除法)
z z z变换函数 E ( z ) E(z) E(z)可以表示为：
E ( z ) = b 0 + b 1 z − 1 + b 2 z − 2 + ⋯ + b m z − m 1 + a 1 z − 1 + a 2 z − 2 + ⋯ + a n z − n , m ≤ n (19) E(z)=\frac{b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}+\dots+b_mz^{-m}}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}+\dots+a_nz^{-n}},m≤n\tag{19} E(z)=1+a1z−1+a2z−2+⋯+anz−nb0+b1z−1+b2z−2+⋯+bmz−m,m≤n(19)
其中： a i ( i = 1 , 2 , … , n ) a_i(i=1,2,\dots,n) ai(i=1,2,…,n)和 b j ( j = 0 , 1 , 2 , … , m ) b_j(j=0,1,2,\dots,m) bj(j=0,1,2,…,m)均为常系数；对式(19)做综合除法，得到 z − 1 z^{-1} z−1升幂排列的幂级数展开式：
E ( z ) = c 0 + c 1 z − 1 + c 2 z − 2 + ⋯ + c n z − n + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ c n z − n (20) E(z)=c_0+c_1z^{-1}+c_2z^{-2}+\dots+c_nz^{-n}+\dots=\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^{-n}\tag{20} E(z)=c0+c1z−1+c2z−2+⋯+cnz−n+⋯=n=0∑∞cnz−n(20)
如果得到的无穷幂级数是收敛的，则由 z z z变化定义可知，幂级数展开式中的系数 c n ( n = 0 , 1 , 2 , … , n ) c_n(n=0,1,2,\dots,n) cn(n=0,1,2,…,n)就是采样脉冲序列 e ∗ ( t ) e^*(t) e∗(t)的脉冲强度 e ( n T ) e(nT) e(nT)，则 E ( z ) E(z) E(z)对应的采样函数为：
e ∗ ( t ) = ∑ n = 0 ∞ c n δ ( t − n T ) (21) e^*(t)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n\delta(t-nT)\tag{21} e∗(t)=n=0∑∞cnδ(t−nT)(21) -
反演积分法(留数法)
E ( z ) E(z) E(z)的幂级数展开式为：
E ( z ) = ∑ n = 0 ∞ e ( n T ) z − n = e ( 0 ) + e ( T ) z − 1 + e ( 2 T ) z − 2 + ⋯ + (22) E(z)=\sum_{n=0}^{\infty}e(nT)z^{-n}=e(0)+e(T)z^{-1}+e(2T)z^{-2}+\dots+\tag{22} E(z)=n=0∑∞e(nT)z−n=e(0)+e(T)z−1+e(2T)z−2+⋯+(22)
用 z n − 1 z^{n-1} zn−1乘以幂级数展开式两端：
E ( z ) z n − 1 = e ( 0 ) z n − 1 + e ( T ) z n − 2 + ⋯ + e ( n T ) z − 1 + … (23) E(z)z^{n-1}=e(0)z^{n-1}+e(T)z^{n-2}+\dots+e(nT)z^{-1}+\dots\tag{23} E(z)zn−1=e(0)zn−1+e(T)zn−2+⋯+e(nT)z−1+…(23)
根据柯西留数定理，设函数 E ( z ) z n − 1 E(z)z^{n-1} E(z)zn−1除有限极点 z 1 , z 2 , … , z k z_1,z_2,\dots,z_k z1,z2,…,zk外，在域 G G G上是解析的；如果有闭合路径 Γ \Gamma Γ包含了这些极点，则有：
e ( n T ) = 1 2 π j ∮ Γ E ( z ) z n − 1 d z = ∑ i = 1 k R e s [ E ( z ) z n − 1 ] z → z i e(nT)=\frac{1}{2\pi{j}}\oint_{\Gamma}E(z)z^{n-1}dz=\sum_{i=1}^kRes[E(z)z^{n-1}]_{z\rightarrow{z_i}} e(nT)=2πj1∮ΓE(z)zn−1dz=i=1∑kRes[E(z)zn−1]z→zi
其中： R e s [ E ( z ) z n − 1 ] z → z i Res[E(z)z^{n-1}]_{z\rightarrow{z_i}} Res[E(z)zn−1]z→zi表示函数 E ( z ) z n − 1 E(z)z^{n-1} E(z)zn−1在极点 z i z_i zi处的留数；因此， E ( z ) E(z) E(z)对应的采样函数为：
e ∗ ( t ) = ∑ n = 0 ∞ e ( n T ) δ ( t − n T ) (24) e^*(t)=\sum_{n=0}^{\infty}e(nT)\delta(t-nT)\tag{24} e∗(t)=n=0∑∞e(nT)δ(t−nT)(24)
关于函数 E ( z ) z n − 1 E(z)z^{n-1} E(z)zn−1在极点处留数计算方法：若 z i ( i = 1 , 2 , … , k ) z_i(i=1,2,\dots,k) zi(i=1,2,…,k)为单极点，则：
R e s [ E ( z ) z n − 1 ] z → z i = lim z → z i [ ( z − z i ) E ( z ) z n − 1 ] (25) Res\left[E(z)z^{n-1}\right]_{z\rightarrow{z_i}}=\lim_{z\rightarrow{z_i}}\left[(z-z_i)E(z)z^{n-1}\right]\tag{25} Res[E(z)zn−1]z→zi=z→zilim[(z−zi)E(z)zn−1](25)
若 E ( z ) z n − 1 E(z)z^{n-1} E(z)zn−1有 n n n阶重极点 z i z_i zi，则：
R e s [ E ( z ) z n − 1 ] z → z i = 1 ( n − 1 ) ! lim z → z i d n − 1 [ ( z − z i ) n E ( z ) z n − 1 ] d z n − 1 (26) Res\left[E(z)z^{n-1}\right]_{z\rightarrow{z_i}}=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\rightarrow{z_i}}\frac{d^{n-1}\left[(z-z_i)^nE(z)z^{n-1}\right]}{dz^{n-1}}\tag{26} Res[E(z)zn−1]z→zi=(n−1)!1z→zilimdzn−1dn−1[(z−zi)nE(z)zn−1](26)
3.6 实例分析
Example4： 设
z
z
z变换函数为
E
(
z
)
=
1
−
e
−
a
T
(
z
−
1
)
(
z
−
e
−
a
T
)
E(z)=\frac{1-e^{-aT}}{(z-1)(z-e^{-aT})}
E(z)=(z−1)(z−e−aT)1−e−aT
求
z
z
z反变换。
解：
因为
E
(
z
)
z
=
1
−
e
−
a
T
(
z
−
1
)
(
z
−
e
−
a
T
)
=
1
z
−
1
−
1
z
−
e
−
a
T
\frac{E(z)}{z}=\frac{1-e^{-aT}}{(z-1)(z-e^{-aT})}=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z-e^{-aT}}
zE(z)=(z−1)(z−e−aT)1−e−aT=z−11−z−e−aT1
有：
E
(
z
)
=
z
z
−
1
−
z
z
−
e
−
a
T
E(z)=\frac{z}{z-1}-\frac{z}{z-e^{-aT}}
E(z)=z−1z−z−e−aTz
可得：
e
(
n
T
)
=
1
−
e
−
a
n
T
e(nT)=1-e^{-anT}
e(nT)=1−e−anT
可得：
e
∗
(
t
)
=
∑
n
=
0
∞
(
1
−
e
−
a
n
T
)
δ
(
t
−
n
T
)
e^*(t)=\sum_{n=0}^{\infty}(1-e^{-anT})\delta(t-nT)
e∗(t)=n=0∑∞(1−e−anT)δ(t−nT)
有：
e
(
0
)
=
1
,
e
(
T
)
=
1
−
e
−
a
T
,
e
(
2
T
)
=
1
−
e
−
2
a
T
,
…
,
e(0)=1,e(T)=1-e^{-aT},e(2T)=1-e^{-2aT},\dots,
e(0)=1,e(T)=1−e−aT,e(2T)=1−e−2aT,…,
Example5： 设
z
z
z变换函数
E
(
z
)
=
z
3
+
2
z
2
+
1
z
3
−
1.5
z
2
+
0.5
z
E(z)=\frac{z^3+2z^2+1}{z^3-1.5z^2+0.5z}
E(z)=z3−1.5z2+0.5zz3+2z2+1
用幂级数法求
E
(
z
)
E(z)
E(z)的
z
z
z反变换。
解：
E
(
z
)
E(z)
E(z)表示为：
E
(
z
)
=
1
+
2
z
−
1
+
z
−
3
1
−
1.5
z
−
1
+
0.5
z
−
2
E(z)=\frac{1+2z^{-1}+z^{-3}}{1-1.5z^{-1}+0.5z^{-2}}
E(z)=1−1.5z−1+0.5z−21+2z−1+z−3
综合除法可得：
E
(
z
)
=
1
+
3.5
z
−
1
+
4.75
z
−
2
+
6.375
z
−
3
+
⋯
+
E(z)=1+3.5z^{-1}+4.75z^{-2}+6.375z^{-3}+\dots+
E(z)=1+3.5z−1+4.75z−2+6.375z−3+⋯+
采样函数为：
e
∗
(
t
)
=
δ
(
t
)
+
3.5
δ
(
t
−
T
)
+
4.75
δ
(
t
−
2
T
)
+
6.375
δ
(
t
−
3
T
)
+
⋯
+
e^*(t)=\delta(t)+3.5\delta(t-T)+4.75\delta(t-2T)+6.375\delta(t-3T)+\dots+
e∗(t)=δ(t)+3.5δ(t−T)+4.75δ(t−2T)+6.375δ(t−3T)+⋯+
Example6： 设
z
z
z变换函数
E
(
z
)
=
z
2
(
z
−
1
)
(
z
−
0.5
)
E(z)=\frac{z^2}{(z-1)(z-0.5)}
E(z)=(z−1)(z−0.5)z2
用留数法求
z
z
z反变换。
解：
因为函数
E
(
z
)
z
n
−
1
=
z
n
+
1
(
z
−
1
)
(
z
−
0.5
)
E(z)z^{n-1}=\frac{z^{n+1}}{(z-1)(z-0.5)}
E(z)zn−1=(z−1)(z−0.5)zn+1
有
z
1
=
1
，
z
2
=
0.5
z_1=1，z_2=0.5
z1=1，z2=0.5两个极点，极点处留数为：
R
e
s
[
z
n
+
1
(
z
−
1
)
(
z
−
0.5
)
]
z
→
1
=
lim
z
→
1
[
(
z
−
1
)
z
n
+
1
(
z
−
1
)
(
z
−
0.5
)
]
=
2
Res\left[\frac{z^{n+1}}{(z-1)(z-0.5)}\right]_{z\rightarrow1}=\lim_{z\rightarrow1}\left[\frac{(z-1)z^{n+1}}{(z-1)(z-0.5)}\right]=2
Res[(z−1)(z−0.5)zn+1]z→1=z→1lim[(z−1)(z−0.5)(z−1)zn+1]=2
R e s [ z n + 1 ( z − 1 ) ( z − 0.5 ) ] z → 0.5 = lim z → 0.5 [ ( z − 0.5 ) z n + 1 ( z − 1 ) ( z − 0.5 ) ] = − ( 0.5 ) n Res\left[\frac{z^{n+1}}{(z-1)(z-0.5)}\right]_{z\rightarrow0.5}=\lim_{z\rightarrow0.5}\left[\frac{(z-0.5)z^{n+1}}{(z-1)(z-0.5)}\right]=-(0.5)^n Res[(z−1)(z−0.5)zn+1]z→0.5=z→0.5lim[(z−1)(z−0.5)(z−0.5)zn+1]=−(0.5)n
可得：
e
(
n
T
)
=
2
−
(
0.5
)
n
e(nT)=2-(0.5)^n
e(nT)=2−(0.5)n
相应的采样函数为：
e
∗
(
t
)
=
∑
n
=
0
∞
e
(
n
T
)
δ
(
t
−
n
T
)
=
∑
n
=
0
∞
[
2
−
(
0.5
)
n
]
δ
(
t
−
n
T
)
=
δ
(
t
)
+
1.5
δ
(
t
−
T
)
+
1.75
δ
(
t
−
2
T
)
+
1.875
δ
(
t
−
3
T
)
+
…
\begin{aligned} e^*(t)&=\sum_{n=0}^{\infty}e(nT)\delta(t-nT)=\sum_{n=0}^{\infty}\left[2-(0.5)^n\right]\delta(t-nT)\\ &=\delta(t)+1.5\delta(t-T)+1.75\delta(t-2T)+1.875\delta(t-3T)+\dots \end{aligned}
e∗(t)=n=0∑∞e(nT)δ(t−nT)=n=0∑∞[2−(0.5)n]δ(t−nT)=δ(t)+1.5δ(t−T)+1.75δ(t−2T)+1.875δ(t−3T)+…