神奇的卡尔曼滤波，行人追踪的福音
前言
卡尔曼滤波算法由匈牙利数学家Kalman提出，主要基于线性系统提出。这里我们将其用于行人跟踪，并对其基本原理进行介绍。
神奇的卡尔曼滤波，行人追踪的福音
前言
1.背景知识
1.1 时间序列模型
1.2. 滤波
1.3. 线性动态系统
2.卡尔曼滤波理论知识
2.1 状态序列的预测
1.背景知识
1.1 时间序列模型
时间序列模型都可以用如下示意图表示：
这个模型包含两个序列，一个是黄色部分的状态序列，用X表示，一个是绿色部分的观测序列（又叫测量序列、证据序列、观察序列，不同的书籍有不同的叫法，在这里统一叫观测序列。）用Y表示。状态序列反应了系统的真实状态，一般不能被直接观测，即使被直接观测也会引进噪声；观测序列是通过测量得到的数据，它与状态序列之间有规律性的联系。
上面序列中，假设初始时间为, 则
,
是
时刻的状态值和观测值，
,
是
时刻的状态值和观测值...，即随着时间的流逝，序列从左向右逐渐展开。
常见的时间序列模型主要包括三个：隐尔马尔科夫模型，卡尔曼滤波，粒子滤波。
1.2. 滤波
时间序列模型中包括预测和滤波两步
- 预测：指用当前和过去的数据来求取未来的数据。对应上述序列图中，则是利用
时刻
,
的值，估计
时刻
值。
- 滤波：是用当前和过去的数据来求取当前的数据。对应上述序列图中，则是先通过上一步的预测步骤得到
的值对这个预测值进行纠正，得到最终的
1.3. 线性动态系统
卡尔曼滤波又称为基于高斯过程的线性动态系统(Linear Dynamic System, LDS)。
· 这里的高斯是指：状态变量和观测变量
都符合高斯分布；（为什么是高斯分布？因为卡尔曼滤波估计的结果是一个概率，概率不是一个固定的值，而是一个范围，而这个范围符合高斯分布。）
· 这里的线性是指：可以通过
线性表示，
可以通过
线性表示;
如果用数学表达式来表达这两层含义如下:
上面表达式中F是一个矩阵，常称作状态转移矩阵，保证了和
的线性关系(线性代数中，矩阵就是线性变换)；
常称作噪声，其服从均值为0，方差为Q的高斯分布，保证了
服从高斯分布(因为高斯分布加上一个常数后依然是高斯分布)。
同样的关于和
,也可以得到如下表示, 其中矩阵H称作状态空间到观测空间的映射矩阵， rtrt称作噪声，其服从高斯分布：
2.卡尔曼滤波理论知识
2.1 状态序列的预测
在时间序列模型图中，这一步表示的是, 在预测序列中，从到
的预测步骤。
需要用到的变量含义如下：
:状态变量
: 状态变量的协方差矩阵
:状态转移矩阵
:控制矩阵
:控制向量
: 状态变量的噪声矩阵
:协方差矩阵的噪声矩阵
数学表达式如下：
未完待续...