混合空间增强法

将多种图像增强方法结合起来，完成困难的图像增强任务

使用模糊技术进行灰度变换和空间滤波

目的：例如将人分为年轻人和非年轻人，使用一个确定的阈值例如20岁，那么20岁过1秒的人也属于非年轻人，我们需要更加弹性的在年轻和非年轻之间过渡

模糊集合论原理

$Z$是一个元素集，$z$表示$Z$的一类元素，即 Z = { z } Z = \{z\} Z={z}，该集合称为论域，模糊集合$A$由隶属度函数${\mu }_A(z)$来表征：
A = { z , μ A ( z ) ∣ z ∈ Z } A = \{z,\mu_A(z)|z \in Z\} A={z,μA​(z)∣z∈Z}
当隶属度函数值为1表示该元素是集合的完全成员，隶属度函数值位于0和1之间表示在集合中的隶属度等级为隶属度函数值，隶属度函数值为0表示该元素不属于该集合

• 空集：$Z$中的隶属度函数值为0，模糊集合为空集；
• 相等：当且仅当对于所有的$z\in Z,{\mu }_A(z)={\mu }_B(z)$，则称两个模糊集合$A$和$B$相等；
• 补集：由$\overline{A}$或$NOT(A)$表示模糊集合$A$的补集，定义其隶属度函数为：
  $${\mu }_{\overline{A}}(z)=1-{\mu }_A(z)$$
• 子集：当且仅当对于所有的$z\in Z$有：
  $${\mu }_A(z)\le {\mu }_B(z)$$
  此时，模糊集合$A$是模糊集合$B$的子集；
• 并集：
• 对于所有的$z\in Z$，具有隶属度函数：
  $${\mu }_U(z)=max[{\mu }_A(z),{\mu }_B(z)]$$
  的并集$U$表示为$A\bigcup B$或$AORB$
• 对于所有的$z\in Z$，具有隶属度函数：
  $${\mu }_I(z)=min[{\mu }_A(z),{\mu }_B(z)]$$
  的交集$I$表示为$A\bigcap B$或$AANDB$

模糊集合应用

假设生的水果是绿色的，半熟的水果是黄色的，成熟的水果是红色的，对应规则集：

• $R_1$：IF颜色是绿色，THEN水果是生的
• $R_2$：IF颜色是黄色，THEN水果是半熟的
• $R_3$：IF颜色是红色，THEN水果是熟的

颜色采用波长这一值来表示，下图表示不同的波长对应不同颜色的隶属度，也就是输入的隶属度函数：

输出本身也是模糊的：

以红色$AND$成熟规则$R_3$为例，这是一个二维的隶属度函数，表示为一个笛卡尔积$(z,v)$到$[0,1]$的映射：
μ 3 ( z , v ) = m i n { μ r e d ( z ) , μ m a t ( v ) } \mu_3(z,v) = min\{\mu_{red}(z),\mu_{mat}(v)\} μ3​(z,v)=min{μred​(z),μmat​(v)}
上式是一个通用解，此时一个特定的输入$z_0$，此时用$Q_3(v)$表示，$c={\mu }_{red}(z_0)$，唯一的变量为$v$：
Q 3 ( v ) = m i n { μ r e d ( z 0 ) , μ m a t ( z 0 , v ) } Q_3(v) = min\{\mu_{red}(z_0),\mu_{mat}(z_0,v)\} Q3​(v)=min{μred​(z0​),μmat​(z0​,v)}

同理，我们可以得到另外两个规则和输入$z_0$导致的模糊响应：
Q 1 ( v ) = m i n { μ g r e e n ( z 0 ) , μ 1 ( z 0 , v ) } Q 2 ( v ) = m i n { μ y e l l o w ( z 0 ) , μ 2 ( z 0 , v ) } Q_1(v) = min\{\mu_{green}(z_0),\mu_{1}(z_0,v)\} \\ Q_2(v) = min\{\mu_{yellow}(z_0),\mu_{2}(z_0,v)\} Q1​(v)=min{μgreen​(z0​),μ1​(z0​,v)}Q2​(v)=min{μyellow​(z0​),μ2​(z0​,v)}
由于三个规则之间是通过$OR$操作连接起来的：
$$Q=Q_{1}OR{Q}_{2}OR{Q}_3$$
所以我们可以得到结果如下： r = { 1 , 2 , 3 } , s = { 绿色 , 黄色 , 红色 } r = \{1,2,3\},s = \{绿色,黄色,红色\} r={1,2,3},s={绿色,黄色,红色}，见下图
Q ( v ) = m a x r { m i n s { μ s ( z 0 ) , μ r ( z 0 , v ) } } Q(v) = \mathop{max}\limits_{r} \left\{ \mathop{min}\limits_{s} \left\{ \mu_s(z_0),\mu_r(z_0,v)\right\}\right\} Q(v)=rmax​{smin​{μs​(z0​),μr​(z0​,v)}}

之后进行去模糊操作求出一个干脆的输出$v_0$，计算集合的重心，假设$Q(v)$有$K$种取值：
$$v_0=\frac{{\sum }_{v=1}^{K}vQ(v)}{{\sum }_{v=1}^{K}Q(v)}$$
得到$v_0=72.3$，指出给定的颜色$z_0$成熟度约为$72\%$

总结：

• 模糊输入：对于每个标量输入，例如颜色，使用隶属度函数找到相应的模糊值；
• 合并各个部分的输出，利用模糊集合操作交和并，例如前提为绿色或坚硬，合并时用$OR$；
• 每一个规则，例如红色$AND$成熟，前提和输出之间使用$AND$连接；
• 将不同的规则聚合起来，使用$OR$操作；
• 将最后输出的模糊集合去模糊操作，得到一个干脆的标量输出，例如计算重心；

使用模糊集合进行灰度变换

考虑如下的一个例子：

• IF一个像素是暗的，THEN使它较暗；
• IF一个像素是灰的，THEN使它仍是灰的；
• IF一个像素是亮的，THEN使它较亮；
  最终得到的$Q$如下右图所示：
  
  对于任何输入$z_0$，输出$v_0$由下式给出：
  $$v_0=\frac{{\mu }_{dark}(z_0)\times v_d+{\mu }_{gray}(z_0)\times v_g+{\mu }_{bright}(z_0)\times v_b}{{\mu }_{dark}(z_0)+{\mu }_{gray}(z_0)+{\mu }_{bright}(z_0)}$$

使用模糊集合进行空间滤波

例如一个模糊集合概念的边缘提取算法：如果一个像素属于平滑区，则令其为白色，否则令其为黑色；这个概念可以翻译为如下的规则集：

如图为邻域，假设像素标为$z_i,i=1,2,\cdots ,9$，$d_i$表示第$i$个邻点和中心点的灰度差$d_i=z_i-z_5$

• $IF{d}_2=0AND{d}_6=0THEN{z}_5=白色$
• $IF{d}_6=0AND{d}_8=0THEN{z}_5=白色$
• $IF{d}_8=0AND{d}_4=0THEN{z}_5=白色$
• $IF{d}_4=0AND{d}_2=0THEN{z}_5=白色$
• $ELSE{z}_5=黑色$