Chapter4.2：线性系统的根轨迹法

本系列属于胡寿松《自动控制原理》(第七版)教材的课后习题精选，需要完整版课后习题答案的同学，请自行查找，本系列基本包含了自动控制原理的知识点，搭配胡寿松《自动控制原理》(第七版)知识点提炼使用，可用于期末考试甚至考研复习。
《自动控制原理》(第七版)知识点提炼

第四章：线性系统的根轨迹法

Example 4.9

绘出下列多项式方程的根轨迹：
$$s^3+3s^2+(K+2)s+10K=0$$
解：

由题设可得：
$$D(s)=s^3+3s^2+2s+K(s+10)=0$$
等价表示：
$$1+\frac{K(s+10)}{s(s+1)(s+2)}=0\Rightarrow G(s)=\frac{K(s+10)}{s(s+1)(s+2)}$$

1. 根轨迹的分支、起点和终点。

   由于$n=3,m=1,n-m=2$，故根轨迹有三条分支，起点分别为：$p_1=0,p_2=-1,p_2=-2$，终点分别为：$z_1=-10$和无穷远处.

2. 实轴上的根轨迹。

   实轴上的根轨迹分布为：$[0,-1],[-2,-10]$.

3. 根轨迹的渐近线。
   $${\sigma }_a=\frac{-1-2+10}{3-1}=3.5,{\phi }_a=\pm \frac{\pi }{2}$$

4. 根轨迹的分离点。

   根轨迹的分离点坐标满足：
   $$\frac{1}{d}+\frac{1}{d+1}+\frac{1}{d+2}=\frac{1}{d+10}$$
   即：
   $$d^3+16.5d^2+30d+10=0$$
   由试凑法解得：
   $$d\approx -0.433$$

5. 根轨迹与虚轴的交点。

   系统的闭环特征方程为：
   $$D(s)=s^3+3s^2+2s+K(s+10)=0$$
   令$s=j\omega$，代入上式：
   $$(j\omega {)}^3+3(j\omega {)}^2+2(j\omega )+K[(j\omega )+10]=0$$
   即：
   $$\{\begin{array}{ll}& -3{\omega }^2+10K=0\\ & -{\omega }^3+2\omega +K\omega =0\end{array}$$
   因$\omega \ne 0$，解得：
   $$\omega =\pm 1.69，K=\frac{6}{7}=0.86$$
   则根轨迹与虚轴的交点坐标为：$\pm j1.69$.

6. 概略根轨迹：
   

Example 4.10

设系统开环传递函数如下，画出$b$从零变到无穷时的根轨迹图。

1. $G(s)=\frac{20}{(s+4)(s+b)}$；
2. $G(s)=\frac{30(s+b)}{s(s+10)}$；

解：

1. $G(s)=\frac{20}{(s+4)(s+b)}$.

   系统的特征多项式为：
   $$D(s)=(s+4)(s+b)+20=s^2+4s+20+b(s+4)=0$$
   等价表示为：
   $$1+\frac{b(s+4)}{s^2+4s+20}=1+G_1(s)=0$$
   等效开环传递函数为：
   $$G_1(s)=\frac{b(s+4)}{s^2+4s+20}=\frac{b(s+4)}{(s+2+j4)(s+2-j4)}$$

   1. 根轨迹的分支、起点和终点。

      由于$n=2,m=1,n-m=1$，故根轨迹有两条分支，起点分别为：$p_1=-2-j4,p_2=-2+j4$，终点为：$z_1=-4$和无穷远处；

   2. 实轴上的根轨迹。

      实轴上的根轨迹分布区为：$[-4,-\infty )$.

   3. 根轨迹的分离点。

      根轨迹的分离点坐标满足：
      $$\frac{1}{d+2+j4}+\frac{1}{d+2-j4}=\frac{1}{d+4}$$
      即：$d^2+8d-4=0$，解得：
      $$d_1=-8.47,d_2=0.47(舍去)$$

   4. 根轨迹的起始角。
      $$\begin{array}{rl}& {\theta }_{p_1}=180°+{\phi }_{z_1{p}_1}-{\theta }_{p_2{p}_1}=180°+\arctan 2-90°=153.43°\\ & {\theta }_{p_2}=-153.43°\end{array}$$

   5. 概略根轨迹：
      

   6. 分离点$d=-8.47$处的$b$值

      由模值条件：
      $$b=\frac{\prod _{i=1}^2|d-p_i|}{|d-z|}=\frac{6.47^2+4^2}{4.47}=12.94$$

2. $G(s)=\frac{30(s+b)}{s(s+10)}$.

   系统特征多项式为：
   $$D(s)=s(s+10)+30(s+b)=s^2+40s+30b=0$$
   等价表示为：
   $$1+\frac{30b}{s^2+40s}=1+G_2(s)=0$$
   等效开环传递函数为：
   $$G_2(s)=\frac{30b}{s^2+40s}=\frac{30b}{s(s+40)}$$

   1. 根轨迹的分支、起点和终点。

      由于$n=2,m=0,n-m=2$，故根轨迹有两条分支，起点分别为：$p_1=0,p_2=-40$，终点都是无穷远处；

   2. 实轴上的根轨迹。

      实轴上的根轨迹分布区为：$[0,-40]$.

   3. 根轨迹的分离点。

      根轨迹的分离点坐标满足：
      $$\frac{1}{d}+\frac{1}{d+40}=0$$
      即：$d^2+40=0$，解得：$d=-20$.

   4. 概略根轨迹
      

   5. 分离点$d=-20$处的$b$值

      由模值条件可得：
      $$30b=\prod _{i=1}^2|d-p_i|=400\Rightarrow b=13.33$$

Example 4.11

设控制系统的结构图如下图所示，概略绘制其根轨迹图。

解：

该系统的开环传递函数为：
$$G(s)=\frac{K^{\ast }(s+1{)}^2}{(s+2{)}^2}$$

1. 根轨迹的分支、起点和终点。

   由于$n=2,m=2,n-m=0$，故根轨迹有两条分支，起点分别为：$p_1=-2,p_2=-2$，终点分别为：$z_1=-1,z_2=-1$.

2. 实轴上的根轨迹。

   实轴上的根轨迹分布区为全部实轴；

3. 概略根轨迹
   

Example 4.12

设单位反馈控制系统的开环传递函数为
$$G(s)=\frac{K^{\ast }(1-s)}{s(s+2)}$$
绘制其根轨迹图，求出使系统产生重实根和纯虚根的$K^{\ast }$值.

解：

系统的开环传递函数为：
$$G(s)=\frac{K^{\ast }(1-s)}{s(s+2)}$$
由系统的开环传递函数可知，该系统的根轨迹为零度根轨迹；

1. 根轨迹的分支、起点和终点。

   由于$n=2,m=1,n-m=1$，故根轨迹有两条分支，起点分别为：$p_1=0,p_2=-2$，终点分别为：$z_1=1$和无穷远处.

2. 实轴上的根轨迹。

   实轴上的根轨迹分布区为：$[-2,0],[1,\infty )$.

3. 根轨迹的分离点。

   根轨迹的分离点坐标满足：
   $$\frac{1}{d}+\frac{1}{d+2}=\frac{1}{d-1}$$
   即：$d^2-2d-2=0$，解得：
   $$d_1=1-\sqrt{3}=-0.732,d_2=1+\sqrt{3}=2.732$$
   根据幅值条件可得分离点处的根轨迹增益为：
   $$\begin{array}{rl}& K_1^{\ast }=\left|\frac{d_1(d_1+2)}{1-d_1}\right|=\frac{0.732\times (2-0.732)}{1.732}=0.536\\ & K_2^{\ast }=\left|\frac{d_2(d_2+2)}{1-d_2}\right|=\frac{2.732\times (2+2.732)}{1.732}=7.464\end{array}$$

4. 根轨迹与虚轴的交点。

   系统的闭环特征方程式为：
   $$D(s)=s^2+2s-K^{\ast }s+K^{\ast }=0$$
   令$s=j\omega$，代入上式，可得：
   $$(j\omega {)}^2+2(j\omega )-K^{\ast }(j\omega )+K^{\ast }=0$$
   即：
   $$\{\begin{array}{ll}& -{\omega }^2+K^{\ast }=0\\ & 2\omega -K^{\ast }\omega =0\end{array}$$
   因$\omega \ne 0$，解得：
   $$\omega =\pm \sqrt{2}，K^{\ast }=2$$

5. 零度根轨迹
   
   实际上，系统根轨迹的复数部分是以零点$z=1$为圆心、以零点到分离点$d_1$或$d_2$的距离$1.732$为半径的圆；

   系统产生的重实根对应于根轨迹上的分离点，系统产生的纯虚根对应于根轨迹与虚轴的交点；因此，使系统产生重实根的$K^{\ast }$值为0.536和7.464，使系统产生纯虚根的$K^{\ast }$值为2.

Example 4.13

设控制系统开环传递函数为
$$G(s)=\frac{K^{\ast }(s+1)}{s^2(s+2)(s+4)}$$
分别画出正反馈和负反馈系统的根轨迹图，并指出它们的稳定情况有何不同.

解：

【负反馈系统根轨迹】

1. 根轨迹的分支、起点和终点。

   由于$n=4,m=1,n-m=3$，故根轨迹有四条分支，起点分别为：$p_{1,2}=0,p_3=-2,p_4=-4$，终点分别为：$z_1=-1$和无穷远处.

2. 实轴上的根轨迹。

   实轴上的根轨迹分布区为：$[-4,-\infty ),[-2,-1]$.

3. 根轨迹的渐近线。
   $${\sigma }_a=\frac{-2-4+1}{4-1}=-1.67,{\phi }_a=\pm \frac{\pi }{3},\pi$$

4. 根轨迹与虚轴的交点。

   系统的闭环特征方程为：
   $$D(s)=s^2(s+2)(s+4)+K^{\ast }(s+1)=s^4+6s^3+8s^2+K^{\ast }s+K^{\ast }=0$$
   令$s=j\omega$，代入上式可得：
   $$(j\omega {)}^4+6(j\omega {)}^3+8(j\omega {)}^2+K^{\ast }(j\omega )+K^{\ast }=0$$
   即：
   $$\{\begin{array}{ll}& {\omega }^4-8{\omega }^2+K^{\ast }=0\\ & -6{\omega }^3+K^{\ast }\omega =0\end{array}$$
   因$\omega \ne 0$，可解得：
   $$\omega =\pm \sqrt{2},K^{\ast }=12$$

5. 概略根轨迹
   
   由根轨迹图可知，当$0<K^{\ast }<12$时，系统稳定.

【正反馈系统根轨迹】

1. 根轨迹的分支、起点和终点。

   由于$n=4,m=1,n-m=3$，故根轨迹有四条分支，起点分别为：$p_{1,2}=0,p_3=-2,p_4=-4$，终点分别为：$z_1=-1$和无穷远处.

2. 实轴上的根轨迹。

   实轴上的根轨迹分布区为：$[-4,-2],[-1,\infty )$.

3. 根轨迹的渐近线。
   $${\sigma }_a=\frac{-2-4+1}{4-1}=-1.67,{\phi }_a=\pm \frac{2\pi }{3},0$$

4. 根轨迹的分离点。

   根轨迹的分离点坐标满足：
   $$\frac{2}{d}+\frac{1}{d+2}+\frac{1}{d+4}=\frac{1}{d+1}$$
   由试凑法可得：$d\approx -3.08$.

5. 概略根轨迹
   
   由根轨迹图可知，当$K^{\ast }>0$时，系统恒不稳定.

Example 4.14

激光操作控制系统如下图所示，可用于外科手术时在人体内钻孔。

手术要求激光操作系统必须有高度精确的位置和速度响应，因此直流电动机的参数选为：激磁时间常数$T_1=0.1s$,电机和载荷组合的机电时间常数$T_2=0.2s$，要求调整放大器增益$K$，使系统在斜坡输入$r(t)=At(A=1mm/s)$时，系统稳态误差$e_{ss}(\infty )\le 0.1mm$。

解：

系统开环传递函数为：
$$K{G}_1(s)=\frac{K}{s(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)}$$
系统为Ⅰ型系统，静态速度误差系数为：
$$K_v=K$$
闭环传递函数为：
$$\Phi (s)=\frac{K}{s(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)+K}=\frac{50K}{s^3+15s^2+50s+50K}$$
选取$K$，先保证系统稳定性，劳斯表如下：

为确保稳定，应有：$0<K<15$.

根据系统在斜坡作用下的稳态误差要求，当$r(t)=At(A=1mm/s),R(s)=\frac{A}{s^2}$时，稳态误差为：
$$e_{ss}(\infty )=\frac{A}{K_v}=\frac{1}{K}\le 0.1$$
应取$K\ge 10$.

现取$K=10$可同时满足系统稳定性及稳态误差要求。

令$K$从0到$\infty$绘制其根轨迹，如下图所示，

• 渐近线：
  $${\sigma }_a=\frac{-5-10}{3}=-5,{\phi }_a=\pm 60°，-180°$$

• 分离点：
  $$\frac{1}{d}+\frac{1}{d+5}+\frac{1}{d+10}=0\Rightarrow d=-2.11$$

当$K_a=10$时，系统的根轨迹增益：
$$K^{\ast }=\frac{K_a}{T_1{T}_2}=500$$
根据模值条件，确定实轴上$[-10,-\infty )$区间内的闭环极点$s_3$，因为：
$$|s_3|\cdot |s_3-5|\cdot |s_3-10|=500$$
求得：$s_3=-13.98$，用$s+13.98$除闭环特征多项式$s^3+15s^2+50s+500$，可得：$s^2+1.02s+35.74$；

令其等于0，可得闭环主导极点：
$$s_{1,2}=-0.51\pm j5.96$$
激光操作系统的动态性能主要取决于主导极点；

由主导极点的数值可知：
$$\sigma =\zeta \omega =0.51,{\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}=5.96$$
因而：
$$\beta =\arctan \frac{{\omega }_d}{\sigma }=85.1°，\zeta =\cos \beta =0.085$$
在单位阶跃输入下，激光操作系统的动态性能为：
$$\sigma \%=e^{-\pi \zeta /\sqrt{1-{\zeta }^2}}\times 100\%=76.4\%,t_s=\frac{4.4}{\sigma }=8.63s(\Delta =2\%)$$