通信原理学习笔记6-3：数字解调——判决和误码率推导
根据 [通信原理学习笔记6-1]，基础的解调链路由下变频、匹配滤波器、抽样、判决组成，并且已经知道：
- 在无ISI时，任意位置 n n n上的一个符号 I n I_n In，经过AWGN信道、匹配滤波器、采样后，接收端得到符号 Y n Y_{n} Yn Y n = I n + n n Y_{n}=I_{n}+n_{n} Yn=In+nn
- 其中，
n
n
n_{n}
nn为离散高斯白噪声，原因：
高斯白噪声 n ( t ) n(t) n(t)经过匹配滤波器 g ( T − t ) g(T-t) g(T−t)，得到带限高斯白噪声 n B ( t ) = ∫ − ∞ ∞ n ( τ ) g [ t − ( T − τ ) ] d τ n_B(t)=\int_{-\infty}^{\infty} n(\tau) g[t-(T-\tau)] \mathrm{d} \tau nB(t)=∫−∞∞n(τ)g[t−(T−τ)]dτ
带限高斯白噪声 n B ( t ) n_B(t) nB(t)在 T + n T s T+nT_s T+nTs时刻采样得到离散高斯白噪声 n n n_{n} nn（自相关函数满足 R n n [ n ] = N 0 2 δ [ n ] R_{n n}[n]=\frac{N_{0}}{2} \delta[n] Rnn[n]=2N0δ[n]，故噪声方差/功率谱密度 N 0 / 2 N_0/2 N0/2）
抽样判决
判决，就是在数字解调中，将接收符号判定为某个可能的发射符号
这里直接给出译码准则的结论，具体依据在6-3文章介绍：
- 根据下面的译码准则，当噪声为高斯的，ML准则等价于最小二乘LS准则
- 在QAM中，
I
n
I_n
In为复数（星座点
c
∈
C
c\in C
c∈C位于复平面上）的情况下，
最小二乘准则LS进一步具体化为最小距离准则：
最终判决结果就是在星座图上找一个点 c c c，使得 c c c和接收符号 Y n Y_n Yn的欧式距离最小
I ^ n = arg min c ∈ C ∣ Y n − c ∣ 2 \hat{I}_{n}=\arg \min _{c \in C}\left|Y_{n}-c\right|^{2} I^n=argc∈Cmin∣Yn−c∣2
6-3中还会详细介绍译码准则的来源
误码率的讨论
平均比特能量 E b E_b Eb
对于 Y n = I n + n n Y_{n}=I_{n}+n_{n} Yn=In+nn，其中离散高斯白噪声 n n n_{n} nn的方差/功率谱密度为 N 0 / 2 N_0/2 N0/2
- 符号能量为 E s = E [ ∣ I n ∣ 2 ] = ∑ m = 1 M ∣ c m ∣ 2 M E_s=E[|I_n|^2]=\sum_{m=1}^{M}\frac{|c_m|^2}{M} Es=E[∣In∣2]=∑m=1MM∣cm∣2（所有复数星座点能量取平均）
- 噪声功率谱密度： N 0 N_0 N0（复信号的两路实信号，或实信号的双边带）
- 实际中更经常使用的是平均比特能量
E
b
E_b
Eb，就是将一个符号的能量平摊到其承载的比特中：
E
b
=
E
s
l
o
g
2
M
⋅
R
E_b=\frac{E_s}{log_2M\cdot R}
Eb=log2M⋅REs其中
R
R
R为信道编码的码率（比如1bit编码为2bit，则
R
=
1
/
2
R=1/2
R=1/2）
采用了平均比特能量 E b E_b Eb，有利于公平比较不同的编码调制方式 - 数字系统的信噪比，用 E b / N 0 E_b/N_0 Eb/N0衡量，该指标和模拟系统的信噪比概念本质相同： S N = E b N 0 ⋅ R b B \frac{S}{N}=\frac{E_b}{N_0}\cdot\frac{R_b}{B} NS=N0Eb⋅BRb
误码率推导
一般而言，数字系统的误码率，就是关于 E b / N 0 E_b/N_0 Eb/N0的函数
下面用2PAM举例，推导误码率：
2PAM的星座点若位于 c = ± E s c=\pm \sqrt {E_s} c=±Es，则其符号能量为 c 2 = E s c^2=E_s c2=Es，由于2PAM（M=2）无信道编码（R=1），故平均比特能量 E b = E s E_b=E_s Eb=Es
由于接收符号 Y n = I n + n n Y_{n}=I_{n}+n_{n} Yn=In+nn
I n = c I_{n}=c In=c为一个星座点，而 n n n_{n} nn为高斯随机变量，故最终 Y n Y_n Yn也是高斯随机变量（均值为星座点 I n = c = ± E b I_{n}=c=\pm \sqrt {E_b} In=c=±Eb，方差为 N 0 N_0 N0），分别讨论发射端的符号为 I n = c = ± E b I_{n}=c=\pm \sqrt {E_b} In=c=±Eb的两种情况： p Y n ∣ I n = E b ( x ) = 1 π N 0 e − ( x − E b ) 2 / N 0 p Y n ∣ I n = − E b ( x ) = 1 π N n e − ( x + E b ) 2 / N 0 p_{Y_{n} \mid I_{n}=\sqrt{E_{b}}}(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi N_{0}}} \mathrm{e}^{-\left(x-E_{b}\right)^{2} / N_{0}} \\ p_{Y_{n} \mid I_{n}=-\sqrt{E_{b}}}(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi N_{n}}} \mathrm{e}^{-\left(x+E_{b}\right)^{2} / N_{0}} pYn∣In=Eb(x)=πN01e−(x−Eb)2/N0pYn∣In=−Eb(x)=πNn1e−(x+Eb)2/N0
如果判决门限如图，则 I n = E b I_{n}=\sqrt {E_b} In=Eb的误码率 P ( E ∣ I n = E b ) = ∫ − ∞ 0 p Y n ∣ I n = E b ( x ) d x = 1 π N 0 ∫ − ∞ 0 e − ( x − E b ) 2 / N 0 d x = Q ( 2 E b N 0 ) \begin{aligned} P\left(E \mid I_{n}=\sqrt{\mathcal{E}_{b}}\right) &=\int_{-\infty}^{0} p_{Y_{n} \mid I_{n}=\sqrt{\mathcal{E}_{b}}}(x) \mathrm{d} x \\ &=\frac{1}{\sqrt{\pi N_{0}}} \int_{-\infty}^{0} \mathrm{e}^{-\left(x-\mathcal{E}_{b}\right)^{2} / N_{0}} \mathrm{~d} x \\ &=Q\left(\sqrt{\frac{2 \mathcal{E}_{b}}{N_{0}}}\right) \end{aligned} P(E∣In=Eb)=∫−∞0pYn∣In=Eb(x)dx=πN01∫−∞0e−(x−Eb)2/N0 dx=Q(N02Eb)
同理， I n = − E b I_{n}=-\sqrt {E_b} In=−Eb的误码率 P ( E ∣ I n = − E b ) = Q ( 2 E b N 0 ) P\left(E \mid I_{n}=-\sqrt{E_{b}}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{2 E_{b}}{N_{0}}}\right) P(E∣In=−Eb)=Q(N02Eb)
总体的误码率 P ( E ) = P ( E ∣ I n = − E b ) P ( I n = − E b ) + P ( E ∣ I n = E b ) P ( I n = E b ) = Q ( 2 E b N 0 ) P(E)=P\left(E \mid I_{n}=-\sqrt{E_{b}}\right) P\left(I_{n}=-\sqrt{E_{b}}\right)+P\left(E \mid I_{n}=\sqrt{E_{b}}\right) P\left(I_{n}=\sqrt{E_{b}}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{2 \mathcal{E}_{b}}{N_{0}}}\right) P(E)=P(E∣In=−Eb)P(In=−Eb)+P(E∣In=Eb)P(In=Eb)=Q(N02Eb)
