高等数学（第七版）同济大学 习题8-1 个人解答
高等数学（第七版）同济大学 习题8-1
1. 设 u = a − b + 2 c , v = − a + 3 b − c . 试用 a 、 b 、 c 表示 2 u − 3 v . \begin{aligned}&1. \ 设u=a-b+2c,\ v=-a+3b-c.\ 试用a、b、c表示2u-3v.&\end{aligned} 1. 设u=a−b+2c, v=−a+3b−c. 试用a、b、c表示2u−3v.
解：
2 u − 3 v = 2 × ( a − b + 2 c ) − 3 × ( − a + 3 b − c ) = 2 a − 2 b + 4 c + 3 a − 9 b + 3 c = 5 a − 11 b + 7 c \begin{aligned} &\ \ 2u-3v=2\times(a-b+2c)-3\times(-a+3b-c)=2a-2b+4c+3a-9b+3c=5a-11b+7c & \end{aligned} 2u−3v=2×(a−b+2c)−3×(−a+3b−c)=2a−2b+4c+3a−9b+3c=5a−11b+7c
2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形 . \begin{aligned}&2. \ 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.&\end{aligned} 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.
解：
如图
8
−
1
，设四边形
A
B
C
D
中
A
C
与
B
D
交于点
M
，已知
A
M
→
=
M
C
→
，
D
M
→
=
M
B
→
。
所以
A
B
→
=
A
M
→
+
M
B
→
=
M
C
→
+
D
M
→
=
D
C
→
.
即
A
B
→
/
/
D
C
→
且
∣
A
B
→
∣
=
∣
D
C
→
∣
，因此四边形
A
B
C
D
是平行四边形
.
\begin{aligned} &\ \ 如图8-1，设四边形ABCD中AC与BD交于点M，已知\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MC}，\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{MB}。\\\\ &\ \ 所以\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DC}.即\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{DC}且|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|，因此四边形ABCD是平行四边形. & \end{aligned}
如图8−1，设四边形ABCD中AC与BD交于点M，已知AM=MC，DM=MB。 所以AB=AM+MB=MC+DM=DC.即AB//DC且∣AB∣=∣DC∣，因此四边形ABCD是平行四边形.
3. 把 △ A B C 的 B C 边五等分，设分点依次为 D 1 、 D 2 、 D 3 、 D 4 ，再把各分点与点 A 连接 . 试以 A B → = c 、 B C → = a 表示向量 D 1 A → 、 D 2 A → 、 D 3 A → 和 D 4 A → . \begin{aligned}&3. \ 把\triangle ABC的BC边五等分，设分点依次为D_1、D_2、D_3、D_4，再把各分点与点A连接.\\\\&\ \ \ \ 试以\overrightarrow{AB}=c、\overrightarrow{BC}=a表示向量\overrightarrow{D_1 A}、\overrightarrow{D_2 A}、\overrightarrow{D_3 A}和\overrightarrow{D_4 A}.&\end{aligned} 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1、D2、D3、D4，再把各分点与点A连接. 试以AB=c、BC=a表示向量D1A、D2A、D3A和D4A.
解：
如图
8
−
2
，
B
D
1
→
=
D
1
D
2
→
=
D
2
D
3
→
=
D
3
D
4
→
=
1
5
a
，
所以
D
1
A
→
=
−
(
A
B
→
+
B
D
1
→
)
=
−
1
5
a
−
c
，
D
2
A
→
=
−
(
A
B
→
+
B
D
2
→
)
=
−
2
5
a
−
c
，
D
3
A
→
=
−
(
A
B
→
+
B
D
3
→
)
=
−
3
5
a
−
c
，
D
4
A
→
=
−
(
A
B
→
+
B
D
4
→
)
=
−
4
5
a
−
c
.
\begin{aligned} &\ \ 如图8-2，\overrightarrow{BD_1}=\overrightarrow{D_1D_2}=\overrightarrow{D_2D_3}=\overrightarrow{D_3D_4}=\frac{1}{5}a，\\\\ &\ \ 所以\\\\ &\ \ \overrightarrow{D_1A}=-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD_1})=-\frac{1}{5}a-c，\\\\ &\ \ \overrightarrow{D_2 A}=-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD_2})=-\frac{2}{5}a-c，\\\\ &\ \ \overrightarrow{D_3 A}=-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD_3})=-\frac{3}{5}a-c，\\\\ &\ \ \overrightarrow{D_4 A}=-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD_4})=-\frac{4}{5}a-c. & \end{aligned}
如图8−2，BD1=D1D2=D2D3=D3D4=51a， 所以 D1A=−(AB+BD1)=−51a−c， D2A=−(AB+BD2)=−52a−c， D3A=−(AB+BD3)=−53a−c， D4A=−(AB+BD4)=−54a−c.
4. 已知两点 M 1 ( 0 , 1 , 2 ) 和 M 2 ( 1 , − 1 , 0 ) . 试用坐标表示式表示向量 M 1 M 2 → 及 − 2 M 1 M 2 → . \begin{aligned}&4. \ 已知两点M_1(0, \ 1, \ 2)和M_2(1, \ -1, \ 0).试用坐标表示式表示向量\overrightarrow{M_1M_2}及-2\overrightarrow{M_1M_2}.&\end{aligned} 4. 已知两点M1(0, 1, 2)和M2(1, −1, 0).试用坐标表示式表示向量M1M2及−2M1M2.
解：
M 1 M 2 → = M 2 − M 1 = ( 1 − 0 , − 1 − 1 , 0 − 2 ) = ( 1 , − 2 , − 2 ) − 2 M 1 M 2 → = ( − 2 × 1 , − 2 × − 2 , − 2 × − 2 ) = ( − 2 , 4 , 4 ) \begin{aligned} &\ \ \overrightarrow{M_1M_2}=M_2-M_1=(1-0, \ -1-1, \ 0-2)=(1, \ -2, \ -2)\\\\ &\ \ -2\overrightarrow{M_1M_2}=(-2\times1, \ -2\times-2, \ -2\times-2)=(-2, \ 4, \ 4) & \end{aligned} M1M2=M2−M1=(1−0, −1−1, 0−2)=(1, −2, −2) −2M1M2=(−2×1, −2×−2, −2×−2)=(−2, 4, 4)
5. 求平行于向量 a = ( 6 , 7 , − 6 ) 的单位向量 . \begin{aligned}&5. \ 求平行于向量a=(6, \ 7, \ -6)的单位向量.&\end{aligned} 5. 求平行于向量a=(6, 7, −6)的单位向量.
解：
∣ a ∣ = 6 2 + 7 2 + ( − 6 ) 2 = 11 ， e a = ± a ∣ a ∣ = ± 1 11 ( 6 , 7 , − 6 ) \begin{aligned} &\ \ |a|=\sqrt{6^2+7^2+(-6)^2}=11，e_a=\pm \frac{a}{|a|}=\pm \frac{1}{11}(6, \ 7, \ -6) & \end{aligned} ∣a∣=62+72+(−6)2=11，ea=±∣a∣a=±111(6, 7, −6)
6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A ( 1 , − 2 , 3 ) ， B ( 2 , 3 , − 4 ) ， C ( 2 , − 3 , − 4 ) ， D ( − 2 , − 3 , 1 ) . \begin{aligned}&6. \ 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A(1, \ -2, \ 3)，B(2, \ 3, \ -4)，C(2, \ -3, \ -4)，\\\\&\ \ \ \ D(-2, \ -3, \ 1).&\end{aligned} 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A(1, −2, 3)，B(2, 3, −4)，C(2, −3, −4)， D(−2, −3, 1).
解：
A 在第四卦限， B 在第五卦限， C 在第八卦限， D 在第三卦限 \begin{aligned} &\ \ A在第四卦限，B在第五卦限，C在第八卦限，D在第三卦限 & \end{aligned} A在第四卦限，B在第五卦限，C在第八卦限，D在第三卦限
7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A ( 3 , 4 , 0 ) ， B ( 0 , 4 , 3 ) ， C ( 3 , 0 , 0 ) ， D ( 0 , − 1 , 0 ) . \begin{aligned}&7. \ 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：A(3, \ 4, \ 0)，B(0, \ 4, \ 3)，\\\\&\ \ \ \ C(3, \ 0, \ 0)，D(0,\ -1, \ 0).&\end{aligned} 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：A(3, 4, 0)，B(0, 4, 3)， C(3, 0, 0)，D(0, −1, 0).
解：
x O y 面上的点的坐标 z 为 0 ， y O z 面上的点的坐标 x 为 0 ， x O z 面上的点的坐标 y 为 0 ， x 轴上的点的坐标 y 和 z 为 0 ， y 轴上的点的坐标 x 和 z 为 0 ， z 轴上的点的坐标 x 和 y 为 0 。 A 点在 x O y 面上， B 点在 y O z 面上， C 点在 x 轴上， D 点在 y 轴上。 \begin{aligned} &\ \ xOy面上的点的坐标z为0，yOz面上的点的坐标x为0，xOz面上的点的坐标y为0，\\\\ &\ \ x轴上的点的坐标y和z为0，y轴上的点的坐标x和z为0，z轴上的点的坐标x和y为0。\\\\ &\ \ A点在xOy面上，B点在yOz面上，C点在x轴上，D点在y轴上。 & \end{aligned} xOy面上的点的坐标z为0，yOz面上的点的坐标x为0，xOz面上的点的坐标y为0， x轴上的点的坐标y和z为0，y轴上的点的坐标x和z为0，z轴上的点的坐标x和y为0。 A点在xOy面上，B点在yOz面上，C点在x轴上，D点在y轴上。
8. 求点 ( a , b , c ) 关于 ( 1 ) 各坐标面； ( 2 ) 各坐标轴； ( 3 ) 坐标原点的对称点的坐标 . \begin{aligned}&8. \ 求点(a, \ b, \ c)关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标.&\end{aligned} 8. 求点(a, b, c)关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标.
解：
( 1 ) 点 ( a , b , c ) 关于 x O y 面对称的点的坐标为 ( a , b , − c ) ，关于 y O z 面对称的点的坐标为 ( − a , b , c ) ， 关于 x O z 面对称的点的坐标为 ( a , − b , c ) ( 2 ) 点 ( a , b , c ) 关于 x 轴对称的点的坐标为 ( a , − b , − c ) ，关于 y 轴对称的点的坐标为 ( − a , b , − c ) ， 关于 z 轴对称的点的坐标为 ( − a , − b , c ) ( 3 ) 点 ( a , b , c ) 关于原点的对称点的坐标为 ( − a , − b , − c ) \begin{aligned} &\ \ (1)\ 点(a, \ b, \ c)关于xOy面对称的点的坐标为(a, \ b, \ -c)，关于yOz面对称的点的坐标为(-a, \ b, \ c)，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 关于xOz面对称的点的坐标为(a, \ -b, \ c)\\\\ &\ \ (2)\ 点(a, \ b, \ c)关于x轴对称的点的坐标为(a, \ -b, \ -c)，关于y轴对称的点的坐标为(-a, \ b, \ -c)，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 关于z轴对称的点的坐标为(-a, \ -b, \ c)\\\\ &\ \ (3)\ 点(a, \ b, \ c)关于原点的对称点的坐标为(-a, \ -b, \ -c) \end{aligned} (1) 点(a, b, c)关于xOy面对称的点的坐标为(a, b, −c)，关于yOz面对称的点的坐标为(−a, b, c)， 关于xOz面对称的点的坐标为(a, −b, c) (2) 点(a, b, c)关于x轴对称的点的坐标为(a, −b, −c)，关于y轴对称的点的坐标为(−a, b, −c)， 关于z轴对称的点的坐标为(−a, −b, c) (3) 点(a, b, c)关于原点的对称点的坐标为(−a, −b, −c)
9. 自点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标 . \begin{aligned}&9. \ 自点P_0(x_0, \ y_0, \ z_0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.&\end{aligned} 9. 自点P0(x0, y0, z0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.
解：
点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 在 x O y 面的垂足的坐标为 ( x 0 , y 0 , 0 ) ，在 y O z 面的垂足的坐标为 ( 0 , y 0 , z 0 ) ， 在 x O z 面的垂足的坐标为 ( x 0 , 0 , z 0 ) . 点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 在 x 轴的垂足的坐标为 ( x 0 , 0 , 0 ) ，在 y 轴的垂足的坐标为 ( 0 , y 0 , 0 ) ， 在 z 轴的垂足的坐标为 ( 0 , 0 , z 0 ) \begin{aligned} &\ \ 点P_0(x_0, \ y_0, \ z_0)在xOy面的垂足的坐标为(x_0, \ y_0, \ 0)，在yOz面的垂足的坐标为(0, \ y_0, \ z_0)，\\\\ &\ \ 在xOz面的垂足的坐标为(x_0, \ 0, \ z_0).\\\\ &\ \ 点P_0(x_0, \ y_0, \ z_0)在x轴的垂足的坐标为(x_0, \ 0, \ 0)，在y轴的垂足的坐标为(0, \ y_0, \ 0)，\\\\ &\ \ 在z轴的垂足的坐标为(0, \ 0,\ z_0) & \end{aligned} 点P0(x0, y0, z0)在xOy面的垂足的坐标为(x0, y0, 0)，在yOz面的垂足的坐标为(0, y0, z0)， 在xOz面的垂足的坐标为(x0, 0, z0). 点P0(x0, y0, z0)在x轴的垂足的坐标为(x0, 0, 0)，在y轴的垂足的坐标为(0, y0, 0)， 在z轴的垂足的坐标为(0, 0, z0)
10. 过点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 分别作平行于 z 轴的直线和平行于 x O y 面的平面，问在它们上面的 点的坐标各有什么特点？ \begin{aligned}&10. \ 过点P_0(x_0, \ y_0, \ z_0)分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面，问在它们上面的\\\\&\ \ \ \ \ \ 点的坐标各有什么特点？&\end{aligned} 10. 过点P0(x0, y0, z0)分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面，问在它们上面的 点的坐标各有什么特点？
解：
平行于 z 轴的直线上的点的坐标 x 0 值和 y 0 值不变， z 0 值变化。 平行于 x O y 面的平面上的点的坐标 z 0 值不变， x 0 值和 y 0 值变化。 \begin{aligned} &\ \ 平行于z轴的直线上的点的坐标x_0值和y_0值不变，z_0值变化。\\\\ &\ \ 平行于xOy面的平面上的点的坐标z_0值不变，x_0值和y_0值变化。 & \end{aligned} 平行于z轴的直线上的点的坐标x0值和y0值不变，z0值变化。 平行于xOy面的平面上的点的坐标z0值不变，x0值和y0值变化。
11. 一边长为 a 的正方体放置在 x O y 面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在 x 轴和 y 轴上， 求它各顶点的坐标 . \begin{aligned}&11. \ 一边长为a的正方体放置在xOy面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x轴和y轴上，\\\\&\ \ \ \ \ \ 求它各顶点的坐标.&\end{aligned} 11. 一边长为a的正方体放置在xOy面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x轴和y轴上， 求它各顶点的坐标.
解：
如图
8
−
5
，已知
A
B
=
a
，所以
O
A
=
O
B
=
2
2
a
，各顶点坐标为
A
(
2
2
a
,
0
,
0
)
，
B
(
0
,
2
2
a
,
0
)
，
C
(
−
2
2
a
,
0
,
0
)
，
D
(
0
,
−
2
2
a
,
0
)
，
E
(
2
2
a
,
0
,
a
)
，
F
(
0
,
2
2
a
,
a
)
，
G
(
−
2
2
a
,
0
,
a
)
，
H
(
0
,
−
2
2
a
,
a
)
\begin{aligned} &\ \ 如图8-5，已知AB=a，所以OA=OB=\frac{\sqrt{2}}{2}a，各顶点坐标为A\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a, \ 0, \ 0\right)，B\left(0, \ \frac{\sqrt{2}}{2}a, \ 0\right)，\\\\ &\ \ C\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}a, \ 0, \ 0\right)，D\left(0, \ -\frac{\sqrt{2}}{2}a, \ 0\right)，E\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a, \ 0, \ a\right)，F\left(0, \ \frac{\sqrt{2}}{2}a, \ a\right)，G\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}a, \ 0, \ a\right)，\\\\ &\ \ H\left(0, \ -\frac{\sqrt{2}}{2}a, \ a \right) & \end{aligned}
如图8−5，已知AB=a，所以OA=OB=22a，各顶点坐标为A(22a, 0, 0)，B(0, 22a, 0)， C(−22a, 0, 0)，D(0, −22a, 0)，E(22a, 0, a)，F(0, 22a, a)，G(−22a, 0, a)， H(0, −22a, a)
12. 求点 M ( 4 , − 3 , 5 ) 到各坐标轴的距离 . \begin{aligned}&12. \ 求点M(4, \ -3, \ 5)到各坐标轴的距离.&\end{aligned} 12. 求点M(4, −3, 5)到各坐标轴的距离.
解：
点 M 是在第四卦限，到 x 轴的距离为 y 2 + z 2 = ( − 3 ) 2 + 5 2 = 34 ， 到 y 轴的距离为 x 2 + z 2 = 4 2 + 5 2 = 41 ，到 z 轴的距离为 x 2 + y 2 = 4 2 + ( − 3 ) 2 = 5. \begin{aligned} &\ \ 点M是在第四卦限，到x轴的距离为\sqrt{y^2+z^2}=\sqrt{(-3)^2+5^2}=\sqrt{34}，\\\\ &\ \ 到y轴的距离为\sqrt{x^2+z^2}=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}，到z轴的距离为\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5. & \end{aligned} 点M是在第四卦限，到x轴的距离为y2+z2=(−3)2+52=34， 到y轴的距离为x2+z2=42+52=41，到z轴的距离为x2+y2=42+(−3)2=5.
13. 在 y O z 面上，求与三点 A ( 3 , 1 , 2 ) ， B ( 4 , − 2 , − 2 ) ， C ( 0 , 5 , 1 ) 等距离的点 . \begin{aligned}&13. \ 在yOz面上，求与三点A(3, \ 1, \ 2)，B(4, \ -2, \ -2)，C(0, \ 5, \ 1)等距离的点.&\end{aligned} 13. 在yOz面上，求与三点A(3, 1, 2)，B(4, −2, −2)，C(0, 5, 1)等距离的点.
解：
设点 P ( 0 , y , z ) 在 y O z 面上，则 ∣ P A ∣ = 3 2 + ( 1 − y ) 2 + ( 2 − z ) 2 ， ∣ P B ∣ = ( 4 2 + ( − 2 − y ) 2 + ( − 2 − z ) 2 ， ∣ P C ∣ = 0 2 + ( 5 − y ) 2 + ( 1 − z ) 2 ， ∣ P A ∣ = ∣ P B ∣ = ∣ P C ∣ ，则 { 3 2 + ( 1 − y ) 2 + ( 2 − z ) 2 = ( 4 2 + ( − 2 − y ) 2 + ( − 2 − z ) 2 ( 4 2 + ( − 2 − y ) 2 + ( − 2 − z ) 2 = 0 2 + ( 5 − y ) 2 + ( 1 − z ) 2 ，解得， y = 1 ， z = − 2 ，点 P 的坐标为 ( 0 , 1 , − 2 ) . \begin{aligned} &\ \ 设点P(0, \ y, \ z)在yOz面上，则|PA|=\sqrt{3^2+(1-y)^2+(2-z)^2}，|PB|=\sqrt{(4^2+(-2-y)^2+(-2-z)^2}，\\\\ &\ \ |PC|=\sqrt{0^2+(5-y)^2+(1-z)^2}，|PA|=|PB|=|PC|，则\\\\ &\ \ \begin{cases}3^2+(1-y)^2+(2-z)^2=(4^2+(-2-y)^2+(-2-z)^2\\\\(4^2+(-2-y)^2+(-2-z)^2=0^2+(5-y)^2+(1-z)^2\end{cases}，解得，y=1，z=-2，点P的坐标为(0, \ 1, \ -2). & \end{aligned} 设点P(0, y, z)在yOz面上，则∣PA∣=32+(1−y)2+(2−z)2，∣PB∣=(42+(−2−y)2+(−2−z)2， ∣PC∣=02+(5−y)2+(1−z)2，∣PA∣=∣PB∣=∣PC∣，则 ⎩ ⎨ ⎧32+(1−y)2+(2−z)2=(42+(−2−y)2+(−2−z)2(42+(−2−y)2+(−2−z)2=02+(5−y)2+(1−z)2，解得，y=1，z=−2，点P的坐标为(0, 1, −2).
14. 试证明以三点 A ( 4 , 1 , 9 ) ， B ( 10 , − 1 , 6 ) ， C ( 2 , 4 , 3 ) 为顶点的三角形是等腰直角三角形 . \begin{aligned}&14. \ 试证明以三点A(4, \ 1, \ 9)，B(10, \ -1, \ 6)，C(2, \ 4, \ 3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.&\end{aligned} 14. 试证明以三点A(4, 1, 9)，B(10, −1, 6)，C(2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.
解：
∣ A B ∣ = ( 10 − 4 ) 2 + ( − 1 − 1 ) 2 + ( 6 − 9 ) 2 = 7 ， ∣ B C ∣ = ( 2 − 10 ) 2 + ( 4 + 1 ) 2 + ( 3 − 6 ) 2 = 7 2 ， ∣ A C ∣ = ( 2 − 4 ) 2 + ( 4 − 1 ) 2 + ( 3 − 9 ) 2 = 7 ， ∣ A B ∣ = ∣ A C ∣ ，又因 ∣ A B ∣ 2 + ∣ A C ∣ 2 = ∣ B C ∣ 2 ， 所以该三角形为等腰直角三角形 \begin{aligned} &\ \ |AB|=\sqrt{(10-4)^2+(-1-1)^2+(6-9)^2}=7，|BC|=\sqrt{(2-10)^2+(4+1)^2+(3-6)^2}=7\sqrt{2}，\\\\ &\ \ |AC|=\sqrt{(2-4)^2+(4-1)^2+(3-9)^2}=7，|AB|=|AC|，又因|AB|^2+|AC|^2=|BC|^2，\\\\ &\ \ 所以该三角形为等腰直角三角形 & \end{aligned} ∣AB∣=(10−4)2+(−1−1)2+(6−9)2=7，∣BC∣=(2−10)2+(4+1)2+(3−6)2=72， ∣AC∣=(2−4)2+(4−1)2+(3−9)2=7，∣AB∣=∣AC∣，又因∣AB∣2+∣AC∣2=∣BC∣2， 所以该三角形为等腰直角三角形
15. 设已知两点 M 1 ( 4 , 2 , 1 ) 和 M 2 ( 3 , 0 , 2 ) ，计算向量 M 1 M 2 → 的模、方向余弦和方向角 . \begin{aligned}&15. \ 设已知两点M_1(4, \ \sqrt{2}, \ 1)和M_2(3, \ 0, \ 2)，计算向量\overrightarrow{M_1M_2}的模、方向余弦和方向角.&\end{aligned} 15. 设已知两点M1(4, 2, 1)和M2(3, 0, 2)，计算向量M1M2的模、方向余弦和方向角.
解：
M 1 M 2 → = ( 3 − 4 , 0 − 2 , 2 − 1 ) = ( − 1 , − 2 , 1 ) ，模为 ∣ M 1 M 2 → ∣ = ( − 1 ) 2 + ( − 2 ) 2 + 1 2 = 2 ， 方向余弦分别为 c o s α = − 1 2 ， c o s β = − 2 2 ， c o s γ = 1 2 ，方向角分别为 α = 2 3 π ， β = 3 4 π ， γ = 1 3 π . \begin{aligned} &\ \ \overrightarrow{M_1M_2}=(3-4, \ 0-\sqrt{2}, \ 2-1)=(-1, \ -\sqrt{2}, \ 1)，模为|\overrightarrow{M_1M_2}|=\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt{2})^2+1^2}=2，\\\\ &\ \ 方向余弦分别为cos\ \alpha=-\frac{1}{2}，cos\ \beta=-\frac{\sqrt{2}}{2}，cos\ \gamma=\frac{1}{2}，方向角分别为\alpha=\frac{2}{3}\pi，\beta=\frac{3}{4}\pi，\gamma=\frac{1}{3}\pi. & \end{aligned} M1M2=(3−4, 0−2, 2−1)=(−1, −2, 1)，模为∣M1M2∣=(−1)2+(−2)2+12=2， 方向余弦分别为cos α=−21，cos β=−22，cos γ=21，方向角分别为α=32π，β=43π，γ=31π.
16. 设向量的方向余弦分别满足 ( 1 ) c o s α = 0 ； ( 2 ) c o s β = 1 ； ( 3 ) c o s α = c o s β = 0 ，问这些向量与坐标轴 或坐标面的关系如何？ \begin{aligned}&16. \ 设向量的方向余弦分别满足(1)cos\ \alpha=0；(2)cos\ \beta=1；(3)cos\ \alpha=cos\ \beta=0，问这些向量与坐标轴\\\\&\ \ \ \ \ \ 或坐标面的关系如何？&\end{aligned} 16. 设向量的方向余弦分别满足(1)cos α=0；(2)cos β=1；(3)cos α=cos β=0，问这些向量与坐标轴 或坐标面的关系如何？
解：
( 1 ) c o s α = 0 ，则 α = π 2 ，所以向量与 x 轴垂直，平行 y O z 面 ( 2 ) c o s β = 1 ，则 β = 0 ，所以向量与 y 轴同向，垂直于 x O z 面 ( 3 ) c o s α = c o s β = 0 ，则 α = β = π 2 ，所以向量垂直于 x 轴和 y 轴，与 z 轴平行，垂直于 x O y 面 \begin{aligned} &\ \ (1)\ cos\ \alpha=0，则\alpha=\frac{\pi}{2}，所以向量与x轴垂直，平行yOz面\\\\ &\ \ (2)\ cos\ \beta=1，则\beta=0，所以向量与y轴同向，垂直于xOz面\\\\ &\ \ (3)\ cos\ \alpha=cos\ \beta=0，则\alpha=\beta=\frac{\pi}{2}，所以向量垂直于x轴和y轴，与z轴平行，垂直于xOy面 & \end{aligned} (1) cos α=0，则α=2π，所以向量与x轴垂直，平行yOz面 (2) cos β=1，则β=0，所以向量与y轴同向，垂直于xOz面 (3) cos α=cos β=0，则α=β=2π，所以向量垂直于x轴和y轴，与z轴平行，垂直于xOy面
17. 设向量 r 的模是 4 ，它与 u 轴的夹角是 π 3 ，求 r 在 u 轴上的投影 . \begin{aligned}&17. \ 设向量r的模是4，它与u轴的夹角是\frac{\pi}{3}，求r在u轴上的投影.&\end{aligned} 17. 设向量r的模是4，它与u轴的夹角是3π，求r在u轴上的投影.
解：
设向量 r 与 u 轴的夹角为 φ = π 3 ， c o s φ = 1 2 ，已知 ∣ r ∣ = 4 ，则 P r j u r = ∣ r ∣ c o s φ = 2. \begin{aligned} &\ \ 设向量r与u轴的夹角为\varphi=\frac{\pi}{3}，cos\ \varphi=\frac{1}{2}，已知|r|=4，则Prj_ur=|r|cos\ \varphi=2. & \end{aligned} 设向量r与u轴的夹角为φ=3π，cos φ=21，已知∣r∣=4，则Prjur=∣r∣cos φ=2.
18. 一向量的终点在点 B ( 2 , − 1 , 7 ) ，它在 x 轴、 y 轴和 z 轴上的投影依次为 4 ， − 4 ，和 7. 求这向量的起点 A 的坐标 . \begin{aligned}&18. \ 一向量的终点在点B(2, \ -1, \ 7)，它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4，-4，和7.\\\\&\ \ \ \ \ \ 求这向量的起点A的坐标.&\end{aligned} 18. 一向量的终点在点B(2, −1, 7)，它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4，−4，和7. 求这向量的起点A的坐标.
解：
设点 A 的坐标为 ( x , y , z ) ，则 A B → = ( 2 − x , − 1 − y , 7 − z ) ，根据题意可知 2 − x = 4 ， − 1 − y = − 4 ， 7 − z = 7 ， 则 x = − 2 ， y = 3 ， z = 0 ，所以点 A 的坐标为 ( − 2 , 3 , 0 ) . \begin{aligned} &\ \ 设点A的坐标为(x, \ y, \ z)，则\overrightarrow{AB}=(2-x, \ -1-y, \ 7-z)，根据题意可知2-x=4，-1-y=-4，7-z=7，\\\\ &\ \ 则x=-2，y=3，z=0，所以点A的坐标为(-2, \ 3, \ 0). & \end{aligned} 设点A的坐标为(x, y, z)，则AB=(2−x, −1−y, 7−z)，根据题意可知2−x=4，−1−y=−4，7−z=7， 则x=−2，y=3，z=0，所以点A的坐标为(−2, 3, 0).
19. 设 m = 3 i + 5 j + 8 k ， n = 2 i − 4 j − 7 k 和 p = 5 i + j − 4 k ，求向量 a = 4 m + 3 n − p 在 x 轴上的投影 及在 y 轴上的分向量 . \begin{aligned}&19. \ 设m=3i+5j+8k，n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k，求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影\\\\&\ \ \ \ \ \ 及在y轴上的分向量.&\end{aligned} 19. 设m=3i+5j+8k，n=2i−4j−7k和p=5i+j−4k，求向量a=4m+3n−p在x轴上的投影 及在y轴上的分向量.
解：
向量 a = 4 m + 3 n − p = 4 × ( 3 i + 5 j + 8 k ) + 3 × ( 2 i − 4 j − 7 k ) − ( 5 i + j − 4 k ) = 12 i + 20 j + 32 k + 6 i − 12 j − 21 k − 5 i − j + 4 k = 13 i + 7 j + 15 k ， a 在 x 轴上的投影为 13 ，在 y 轴上的分向量为 7 j . \begin{aligned} &\ \ 向量a=4m+3n-p=4\times(3i+5j+8k)+3\times(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=\\\\ &\ \ 12i+20j+32k+6i-12j-21k-5i-j+4k=13i+7j+15k，a在x轴上的投影为13，在y轴上的分向量为7j. & \end{aligned} 向量a=4m+3n−p=4×(3i+5j+8k)+3×(2i−4j−7k)−(5i+j−4k)= 12i+20j+32k+6i−12j−21k−5i−j+4k=13i+7j+15k，a在x轴上的投影为13，在y轴上的分向量为7j.