为什么梯度方向一定是函数增大的方向
全微分的定义
如果函数在区域D内各点处都可微分，那么称这个函数在D内可微分。
以上就是为了解释一下为啥 f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) = f x ′ f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)=f_{x}^{'} f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)=fx′△x + f y ′ f_{y}^{'} fy′△y + ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}} (Δx)2+(Δy)2
方向导数与梯度
方向导数
注意：这里的α+β = 90°，即
e
l
=
(
cos
α
,
sin
α
)
e_{l}=(\cos \alpha, \sin \alpha)
el=(cosα,sinα)
方向导数要注意：1.函数f(x,y) 2.具体的某一点(x0, y0) 3.
方向
e
l
方向e_{l}
方向el
有了全微分的知识铺垫，很容易看懂
∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) = f x ( x 0 , y 0 ) cos α + f y ( x 0 , y 0 ) cos β \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \alpha+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \beta ∂l∂f∣ ∣(x0,y0)=fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ
又因为α+β = 90°
所以 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) = f x ( x 0 , y 0 ) cos α + f y ( x 0 , y 0 ) sin α \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \alpha+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \sin \alpha ∂l∂f∣ ∣(x0,y0)=fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)sinα
梯度
以上的重点是从方向导数推导到梯度，指出当方向 e i e_{i} ei与梯度gradf(x0,y0)的方向相同时，函数f(x,y)增加最快。此时函数在这个方向的方向导数达到最大值，这个最大值就是梯度gradf(x0,y0)的模。
即：函数f(x,y)在一点的梯度grad f f f是这样的一个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值。
总结：
方向导数是一个标量，方向导数定义了点 （x,y) 处沿向量 v 方向变化时，对应的函数的瞬时变化率。
方向导数的表达式
∂
f
∂
l
∣
(
x
0
,
y
0
)
=
f
x
(
x
0
,
y
0
)
cos
α
+
f
y
(
x
0
,
y
0
)
sin
α
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \alpha+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \sin \alpha
∂l∂f∣
∣(x0,y0)=fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)sinα
A
=
(
f
x
(
x
,
y
)
,
f
y
(
x
,
y
)
)
,
I
=
(
cos
θ
,
sin
θ
)
A=\left(f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)\right), I=(\cos \theta, \sin \theta)
A=(fx(x,y),fy(x,y)),I=(cosθ,sinθ)
∂
f
∂
l
∣
(
x
0
,
y
0
)
=
A
∙
I
=
∣
A
∣
∗
∣
I
∣
cos
α
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=A \bullet I=|A| *|I| \cos \alpha
∂l∂f∣
∣(x0,y0)=A∙I=∣A∣∗∣I∣cosα
(α为方向导数的方向与梯度方向的夹角, α∈[0, 90])
从上面的式子可以推出来，沿着梯度方向的方向导数的值是最大的(就等于梯度的模)，并且大于0(因为梯度的模肯定是正数)，所以当函数沿着这个方向时一定是以最快速度递增的，也就证明了梯度就是函数值增大最快的方向。
参考博客
方向导数的几何意义