python计算微积分
本文将使用sympy库计算微积分pip install sympy
符号说明： 默认导入库的方式为from sympy import *
一.计算极限
limit(f,x,h)f是表达式，x是对谁求极限，h是x趋于多少
lim
x
→
0
sin
x
−
tan
x
+
e
tan
x
−
1
x
−
tan
x
+
sin
x
\\ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x-\tan x+e^{\tan x}-1}{x-\tan x+\sin x} \\
x→0limx−tanx+sinxsinx−tanx+etanx−1
from sympy import *
x=Symbol("x")
f=(sin(x)-tan(x)+exp(tan(x))-1)/(x-tan(x)+sin(x))
limit(f,x,0)#如果没有输出结果请print(limit(f,x,0))
输出结果为1
二.求导数
1.求一阶导数
求 x 4 + x 3 + x + 1 的一阶导数 求 x^4+x^3+x+1的一阶导数 求x4+x3+x+1的一阶导数
from sympy import *
x=Symbol("x")
expr=x**4+x**3+x+1
expr.diff(x)#注意如果没有输出任何内容，请使用print(expr.diff(x)),以下同理
2.求高阶导数
求
sin
x
的
100
阶导数
求 \sin x的100阶导数
求sinx的100阶导数
from sympy import *
x=Symbol("x")
expr=sin(x)
expr.diff(x,100)
3.多元函数求导
f ( x , y ) = ( x + 1 ) 3 y 2 ( z − 1 ) ( 其中 z 是常数 ) 求 : ∂ 2 f ( x , y ) ∂ x ∂ y f\left( x,y \right) =\left( x+1 \right) ^3y^2\left( z-1 \right) \left( \text{其中}z\text{是常数} \right) \\ \text{求}:\frac{\partial ^2f\left( x,y \right)}{\partial x\partial y} f(x,y)=(x+1)3y2(z−1)(其中z是常数)求:∂x∂y∂2f(x,y)
#多元函数
from sympy import *
x=Symbol("x")
y=Symbol('y')
z=Symbol("z")
expr=(x+1)**3*y**2*(z-1)
expr.diff(x,y)
4.多元函数求高阶导数
f ( x , y ) = ( x + 1 ) 3 y 2 ( z − 1 ) ( 其中 z 是常数 ) 求 : ∂ 3 f ( x , y ) ∂ x 2 ∂ y f\left( x,y \right) =\left( x+1 \right) ^3y^2\left( z-1 \right) \left( \text{其中}z\text{是常数} \right) \\ \text{求}:\frac{\partial ^3f\left( x,y \right)}{\partial x^2\partial y} f(x,y)=(x+1)3y2(z−1)(其中z是常数)求:∂x2∂y∂3f(x,y)
from sympy import *
x=Symbol("x")
y=Symbol('y')
z=Symbol("z")
expr=(x+1)**3*y**2*(z-1)
expr.diff(x,2,y,1)#注意这里2和1的位置
三.计算积分
1.不定积分
计算 ∫ x 5 sin x d x \text{计算}\int{x^5\sin x}dx 计算∫x5sinxdx
from sympy import *
x=Symbol("x")
expr=x**5*sin(x)
integrate(expr,x)#如果输出为空，就换为print(integrate(expr,x))
2.计算定积分
∫ 0 ∞ ln x sin x d x \int_0^{\infty}{\ln x\sin x}dx ∫0∞lnxsinxdx
无穷大的表示：oo(没错就是两个o)
from sympy import *
x=Symbol("x")
expr=log(x)*sin(x)
integrate(expr,(x,0,oo))
抱歉，他不收敛,返回我输入的表达式了，我们换一个
计算： ∫ 0 ∞ a sin ( x cos x ) d x \displaystyle\int_0^{\infty}{a\sin \left( x\cos x \right)}dx ∫0∞asin(xcosx)dx，其中a为常数
呃呃呃，这个有点难算，又返回原函数了，但是这个是发散的吗？
我有点不服啊，掏出我的Wolfram Mathematic试试，好吧，咱也看不懂，总之就是这样计算的
3.计算二重积分
∬ ( x + sin y ) e x d x d y \iint{\left( x+\sin y \right) e^xdxdy} ∬(x+siny)exdxdy
from sympy import *
x=Symbol("x")
y=Symbol("y")
expr=(x+sin(y))*exp(x)
integrate(expr,x,y)
$$ \int_0^1{\int_0^1{\left( x+\sin y \right) e^xdxdy}} $$
from sympy import *
x=Symbol("x")
y=Symbol("y")
expr=(x+sin(y))*exp(x)
integrate(expr,(x,0,1),(y,0,1))
四.级数展开
cos x 在 x = 0 处 3 阶展开 \cos x\text{在}x=0\text{处}3\text{阶展开} cosx在x=0处3阶展开
from sympy import *
x=Symbol("x")
cos(x).series(x,0,n=3)#偶数项展开为0，所以只有两项
我们可以不写后面的0和n，因为默认是在0处展开：
e x e^x ex的泰勒展开
from sympy import *
x=Symbol("x")
# cos(x).series(x,0,n=3)
exp(x).series(x)
任意表达式的展开
f ( x ) = cos ( x ) 1 + sin ( x y ) 在 x = 0 处展开四阶 f\left( x \right) =\frac{\cos \left( x \right)}{1+\sin \left( xy \right)}\text{在}x=0\text{处展开四阶} f(x)=1+sin(xy)cos(x)在x=0处展开四阶
from sympy import *
x,y=symbols("x,y")#注意这里是symbols
expr=cos(x)/(1+sin(x*y))
expr.series(x,n=4)
