数据结构--图(笔记)
文章目录
- 1. 概念
- 2. 分类
- 无向图
- 有向图
- 循环图
- 连通图
- 3. 应用
- 4. 操作(CRUD)
- 5. 图常见的数据结构
- 邻接表
- 邻接矩阵
- 关联矩阵
- 关联矩阵与邻接矩阵
- 6. 内容出处
1. 概念
① 图：在计算机科学中，图（英语：graph）是一种抽象数据类型，用于实现数学中图论的无向图和有向图的概念。-- wiki 图是一种表示关系的数据结构
(树：是一种表示层级的数据结构)
② 遍历一张图时需要同时考虑节点(V)和边(E)，时间复杂度最坏的情况O(V+E)，后续可以通过一些算法降低时间复杂度。
③ 关于图两个常见的遍历算法(最坏情况下时间复杂度都是O(V+E))：深度优先算法(dfs)、广度优先算法(bfs)。
③ 图中最短路径问题常用算法：Dijkstra算法(时间复杂度 O((V+E)logV）)、bellman-ford算法(时间复杂度 O(VE))
2. 分类
补充说明：树是一种特殊的图(堆是一种特殊的树)
(上图来源：wiki)
无向图
无向图：两点之间仅仅是相互连接的关系，表示一种状态(例如：上述节点依次代表一个人abcde，表示a和b互相认识，b和c互相认识等等关系时就可以用无向图)
有向图
有向图：节点之间会有一种指向关系(例如：a喜欢b，b喜欢c，c和d互相喜欢)
循环图
要求：需要有三个及三个以上节点形成闭环
(上图节点之间的关系有向无向都行，即循环图是有向图无向图都行)
节点之间形成闭环的行为被称为：图的循环
连通图
判断图的连通性算法：并查集(也是一种树结构)、深度优先搜索(递归的方式)
3. 应用
- 航班信息(例如：此刻只有A到B的单程票、或者B到A的单程票、或者A到B和B到A的票都有)–有向图
>2. 社交关系模型(例如：A和B互相认识、B和C互相认识、C和D互相认识等关系描述) – 无向图
- 交通网络模型 – 无向图
4. 操作(CRUD)
操作重点：节点、方向(边或者弧）
实现方式：链表(邻接表)、二维数组(邻接矩阵)
(图片来源：wiki)
5. 图常见的数据结构
邻接表
邻接表就是一种链表，用来存储每个节点的相邻节点信息(每个节点也都有一个与之对应的链表)。
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(图片来源：wiki)
优点(链表的优势)：① 节省空间：对于稀疏图，邻接表可以大大节省存储空间，因为它只存储实际存在的边。② 便于添加和删除边：在动态图的情况下，邻接表更容易进行边的添加和删除操作，时间复杂度相对较低。
应用场景：① 社交网络分析：社交网络通常是非常稀疏的图，每个人作为一个顶点，人与人之间的关系作为边。邻接表非常适合存储这种大规模稀疏图，可以高效地存储和处理社交网络中的人际关系。② 地理信息系统：在地理信息系统中，地图可以抽象为图，地点作为顶点，道路作为边。由于实际的地图中地点之间的连接相对较少，邻接表可以有效地存储地图信息，并且在进行路径规划等操作时，可以快速遍历相邻的地点。
邻接矩阵
(图片来源：wiki)
优点(数组的优势)：① 直观：可以直接通过矩阵元素判断两个顶点之间是否有边相连，查询操作简单快速，时间复杂度为O(1) 。② 适合稠密图：当图比较稠密，即边的数量接近顶点数量的平方时，邻接矩阵不会浪费太多空间。
应用场景：① 网络流量分析：在计算机网络中，分析网络节点之间的流量关系时，如果节点之间的连接比较紧密，邻接矩阵可以方便地表示节点间的流量大小，快速查询任意两个节点之间的流量情况。② 有权图且边权变化少：如果图是带权图，且边的权重相对稳定，不经常变化，邻接矩阵可以方便地存储边的权重信息，便于快速查询和处理。
关联矩阵
关联矩阵：元素表示各个节点-边对是否相关
(图片来源：wiki)
关联矩阵与邻接矩阵
定义和元素含义：
① 关联矩阵：是一个n × m的矩阵，其中n是图的顶点数，m 是图的边数。矩阵中的元素表示顶点与边的关联关系。如果顶点 i 与边 j 相关联，则对应元素为特定值（通常为 1 或根据边的方向等有不同取值）；若不相关联，则为 0。
② 邻接矩阵：是一个n × n的矩阵，其中n是图的顶点数。矩阵中的元素表示顶点之间的连接关系。如果顶点 i 与顶点 j 之间有边相连，则对应元素为特定值（如 1 或边的权重等）；若没有边相连，则为 0。
存储信息：
① 关联矩阵：存储了每个顶点与每条边的关联情况，可以清晰地反映出图的结构细节，包括顶点与边的具体连接方式。对于有向图，可以区分边的起点和终点与顶点的关联关系。
② 邻接矩阵：主要存储顶点之间的直接连接关系，侧重于反映顶点之间的邻接状态。对于有向图，可以区分出边的方向。
适用场景：
① 关联矩阵：在电路分析中非常有用，能够清晰地表示电路中的节点和支路之间的关系，帮助分析电流、电压等；在研究图的生成树等问题时，可以通过关联矩阵的性质进行分析。
② 邻接矩阵：适用于需要快速判断两个顶点之间是否有直接连接的情况，查询操作时间复杂度为O(1)。在网络分析中，当关注网络中节点之间的直接交互关系时，邻接矩阵较为方便。
6. 内容出处
数据结构