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洛谷2774：[网络流24题]方格取数问题——题解

news 来源：原创 2024/5/6 16:07:28

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2774#sub

在一个有 m*n 个方格的棋盘中，每个方格中有一个正整数。现要从方格中取数，使任意 2 个数所在方格没有公共边，且取出的数的总和最大。

试设计一个满足要求的取数算法。对于给定的方格棋盘，按照取数要求编程找出总和最大的数。

最小割问题（然而我最开始想的是带权二分图……没准他们是一样的……？）

先黑白染色，这样黑点只能影响周围的白点，那么设源点为S，汇点为T。

则黑点向S连边权为其格子数的权值的边，白点向T同理。

然后黑点和其影响的白点连INF的边。

这样的话我们的INF的边不可以被删，就只能在取黑不取白或取白不取黑之间犹豫了，最后的最小割即是我们选择放弃的权值。

格子权值总和-最小割即可。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100100;
const int M=800100;
const int INF=1e9;
inline int read(){
    int X=0,w=0;char ch=0;
    while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return w?-X:X;
}
struct node{
    int nxt,to,w;
}edge[M];
int head[N],cnt=-1,S,T;
inline void add(int u,int v,int w){
    edge[++cnt].to=v;edge[cnt].w=w;edge[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;
    edge[++cnt].to=u;edge[cnt].w=0;edge[cnt].nxt=head[v];head[v]=cnt;
}
int lev[N],cur[N],dui[N];
bool bfs(int m){
    int r=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        lev[i]=-1;
        cur[i]=head[i];
    }
    dui[0]=S,lev[S]=0;
    int u,v;
    for(int l=0;l<=r;l++){
        u=dui[l];
        for(int e=head[u];e!=-1;e=edge[e].nxt){
            v=edge[e].to;
            if(edge[e].w>0&&lev[v]==-1){ 
                lev[v]=lev[u]+1;
                r++;
                dui[r]=v; 
                if(v==T)return 1; 
            }
        }
    }
    return 0;
}
int dinic(int u,int flow,int m){
    if(u==m)return flow;
    int res=0,delta;
    for(int &e=cur[u];e!=-1;e=edge[e].nxt){
        int v=edge[e].to;
        if(edge[e].w>0&&lev[u]<lev[v]){ 
            delta=dinic(v,min(edge[e].w,flow-res),m); 
            if(delta>0){
                edge[e].w-=delta;
                edge[e^1].w+=delta;
                res+=delta;
                if(res==flow)break; 
            }
        }
    }
    if(res!=flow)lev[u]=-1;
    return res;
}
int dx[4]={-1,0,1,0};
int dy[4]={0,1,0,-1};
int main(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    int m=read(),n=read();ll ans=0;
    S=m*n+1,T=S+1;
    for(int i=1;i<=m;i++){
    for(int j=1;j<=n;j++){
        int x=(i-1)*n+j,k=i+j,w=read();
        ans+=w;
        if(k&1){
        add(S,x,w);
        for(int l=0;l<4;l++){
            int nx=i+dx[l],ny=j+dy[l];
            if(nx<1||nx>m||ny<1||ny>n)continue;
            int y=(nx-1)*n+ny;
            add(x,y,INF);
        }
        }
        else add(x,T,w);
    }
    }
    while(bfs(T))ans-=dinic(S,INF,T);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}