交错级数如何判断收敛_数学分析|第12章 数项级数交错级数敛散性判别方法总结I:莱布尼茨和拉贝模型...
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摘要: 本文讲解了常见单调数列五个模型以及在交错级数中的应用,其中模型4的单调性并不是很容易证明,例6的敛散性证明需要用到拉贝模型。【岩宝数学考研】
常见单调数列模型
模型1
当时,单调递减趋于1.
模型2
单调递增趋于。单调递减趋于。
模型3
若
且【岩宝数学考研】
则可得
单调递减趋于0。
模型4(01湖师大最后一题)
从某一项开始单调递减趋于0.分析:
由于【岩宝数学考研】
则可得与不在一个数量级上,所以从长远来看,分子并不能影响到数列的单调性,即可猜得单调递减且趋于0,关于单调递减的证明并不是很好证明,下面我们完整写一下步骤。证明:
又因为【岩宝数学考研】
则由数列极限保号性可得存在,当时,有
此时可得
此时可得【岩宝数学考研】
又【岩宝数学考研】
则由数列极限保号性可得存在,当时,有
此时可得【岩宝数学考研】
则可得数列是单调递减数列,又
综上即得证。
模型5
若,且
则可得单调递减趋于0。分析:
由数列极限保号性可得存在,当时,有
则可得
即
可得数列单调递减。
又由数列极限保号性可得存在,当时,有
可得【岩宝数学考研】
可得
可得【岩宝数学考研】
即【岩宝数学考研】
又【岩宝数学考研】
可得
可得【岩宝数学考研】
又
则【岩宝数学考研】
由极限保不等式性可得
即得证。
莱布尼茨判别法
若交错级数
满足下列两个条件:
1.数列单调递减;
2.
则可得收敛。
拉贝模型
设
为正项级数,如果
则可得级数
收敛。
交错级数敛散性判别方法总结I:莱布尼茨和拉贝模型
【例1】.(2004东南大学)
判断级数的敛散性。
分析:
由于【岩宝数学考研】
且【岩宝数学考研】
则可得级数
敛散性与
敛散性相同。又
发散,则可得级数
发散。又因为由模型1可得
则由莱布尼茨判别法可得此级数条件收敛。
【例2】.(东南大学2007)
判别下列级数敛散性。
分析:
先判断
的敛散性。由岩宝数学考研公众号数学分析第12章数项级数--正项级数敛散性判别方法总结I例11可得,此时级数发散。
又由模型2可得
单调递减趋于0,则由莱布尼茨判别法可得此时级数条件收敛。
【例3】.(2008西安电子科技大学、2005上海理工大学、2007暨南大学、2010安徽师范大学)
设
且
证明:级数
是收敛的。分析:
由模型3即可得。【岩宝数学考研】
【例4】.
判断下列级数的敛散性。
分析:
先研究级数
的敛散性。由岩宝数学考研公众号数学分析第12章数项级数--正项级数敛散性判别方法总结II例1可得,此时级数与
敛散性相同。则可得
当时,级数收敛。
当时,级数发散。
下面研究当时,级数
的敛散性问题,由模型4和莱布尼茨判别法可得此时级数收敛。
当时,可得
此时级数发散。
综上可得:时,原级数绝对收敛。时,原级数条件收敛。时,级数发散。
【例5】.(2000北京交通大学、2001上海师大、2012中山大学()、2007北京科技大学())
讨论下列级数的敛散性。
分析:
先讨论级数
的敛散性。
记【岩宝数学考研】
可得
当时,级数
绝对收敛。
当时,级数
发散。【岩宝数学考研】
当时,
则可得级数
发散。
【例6】(2020武汉大学)
讨论级数
的敛散性。分析:
此题和例5稍有区别。
先讨论级数
的敛散性。
记【岩宝数学考研】
可得
当时,可得级数
发散。
当时,可得级数
绝对收敛。
当时,由岩宝数学考研公众号数学分析第12章数项级数--正项级数敛散性判别方法总结III例8结合拉贝模型可得,级数
发散。
但级数【岩宝数学考研】
条件收敛。
综上可得:
当时级数绝对收敛。
当时级数发散。
当时级数条件收敛。
当时级数发散。
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